Transcript A Modelagem Matemática na Engenharia

Ensino Superior
Introdução aos Sistemas Dinâmicos
4 – Sistemas de Controle
Amintas Paiva Afonso
Modelagem de Sistemas
 Objetivos
• Construir modelos matemáticos para descrever
sistemas simples.
 Sistemas estudados
•
•
•
•
Sistemas mecânicos
Sistemas elétricos
Sistemas fluídicos
Sistemas térmicos
Sistemas de Controle
 Para controlar é preciso conhecer!!
• Entretanto, faz parte do desafio controlar sistemas mal
conhecidos.
“Para controlar é necessario “conhecer” o desconhecido”
• Um modelo é necessário – Muitas vezes são complexos
e interligados.
Exemplo: Controle de tráfego, processos químicos,
sistemas robóticos, úteis e interessantes ligados à
automacão industrial.
Sistemas de Controle
 Base para Análise de um Sistema:
• Fundamentos da teoria de sistemas lineares.
• Relação de causa e efeito.
– Relacão de entradas e saídas representa esta relacão.
– Processamento de um sinal de entrada para fornecer um
sinal de saída.
Sistemas de Controle
 Modelo Matemático:
• É a descricão matemática das características dinâmicas
de um sistema;
• Um sistema é um conjunto de expressões matemáticas
que determinam o valor de sinais saída a partir de um
valor de sinal de entrada;
• Blocos são utilizados para representar sistemas;
• Em engenharia, tais blocos representam equações
diferenciais (ou recursivas) lineares;
Sistemas de Controle
 Sistemas Lineares:
• São aqueles nos quais as equações do modelo são
lineares;
• Uma equação diferencial é linear se os coeficientes são
constantes ou apenas funções da variável independente;
• Princípio da superposição: a resposta produzida pela
aplicação simultânea de duas forças de excitação diferentes
e igual à soma das duas respostas individuais;
• Em uma investigação experimental de um sistema dinâmico,
se a causa e o efeito são proporcionais, considera-se o
sistema linear.
Sistemas de Controle
 Se um sistema tem a resposta Y1 para uma
entrada X1 e uma resposta Y2 para uma
entrada X2, então, se tiver uma entrada
X3 = X1 + X2 terá uma resposta Y3 = Y1 + Y2
 f(X1 + X2) = f(X1) + f(X2)
Sistemas de Controle
 Sistemas Lineares Invariáveis no Tempo (SLIT):
• Sistemas lineares descritos por equacões diferenciais
com coeficientes constantes;
• A invariância no tempo implica simplesmente que a
definição das operações dos blocos não pode mudar ao
longo do tempo;
• Suas expressões dependem somente das entradas, não
depende do tempo;
• “Reage sempre da mesma maneira”
Sistemas de Controle
 Sistemas Lineares Invariáveis no Tempo (SLIT):
Modelos Matemáticos
 Transformada de Laplace:
• Como vimos no exemplo anterior, o comportamento da
maioria dos sistemas físicos podem ser representados
através de equações diferenciais;
• A transformada de Laplace transforma uma função da
variável tempo f(t) numa função F(s), onde S = σ + jw
(variável complexa).
Modelos Matemáticos
Transformada de Laplace
f(t) = uma função de tempo t em que f(t) = 0 para t < 0
s = uma variável complexa
L = Operador de Laplace - um símbolo operacional que
indica que a grandeza que ele antecede vai ser

tranformada por meio da integral de Laplace
e  st dt
F(s) = transformada de Laplace de f(t)

0
Então, a transformada de Laplace de f(t) é dada por:
L [f(t)]= F (s) 


0
e  st f (t )dt
Transformada de Laplace
Ex:
y(t) = cos(wt) – sen (wt)
Modelos Matemáticos
 Funcão de Transferência:
• Na teoria de controle “Funcões de transferência” são
extremamente usadas para caracterizar as relações
entrada-saída de sistemas lineares invariáveis no tempo;
• E a relação da transformada de Laplace da saída (função
resposta) para a transformada de Laplace da entrada
(função excitação);
Modelos Matemáticos
 Funcão de Transferência:
• Considere o sistema linear invariante no tempo, definido
pela seguinte equacao diferencial, onde y e sua saida e x
sua entrada:
Modelos Matemáticos
 Funcão de Transferência:
Modelos Matemáticos
 Funcão de Transferência G(S):
G(s) = Y(s) / X(s)  Y(s) = G(s).X(s)
 X(S) – Transformada de Laplace da entrada.
 Y(S) – Transformada de Laplace da saída.
Sistemas de Controle
 Sistemas Mecânicos
As leis fundamentais que governam os sistemas mecânicos
são as leis de Newton:
1ª Lei: Todo corpo em repouso ou em movimento tende a
manter o seu estado inicial.
2ª Lei: A resultante das forças que agem num corpo é igual
ao produto de sua massa pela sua aceleração.
3ª Lei: Para toda força aplicada existe outra de igual módulo
e direção, mas com sentido oposto.
Sistemas Mecânicos
 Sistema massa-mola-amortecedor:
Sistemas Mecânicos
 Sistemas Mecânicos
Sistemas Mecânicos
Sistemas Mecânicos
 Exemplo: Descreva a equacão diferencial do Sistema do
amortecedor viscoso-mola-massa:
Sistemas Mecânicos
Sistemas Mecânicos
 Descreva a equacão diferencial do
Sistema do amortecedor viscoso-mola-massa:
• Um quilograma é uma unidade de massa.
Quando é acionado por uma força de 1N
a massa de 1 kg acelera com 1m/s2.
Aplicando a lei de Newton, temos:
Sistemas Mecânicos
 Sistema se suspensão de um automóvel:
Sistemas Mecânicos
 Encontre a função de transferência do sistema de
massa-mola abaixo, quando aplicada uma força u(t) no
mesmo.
x(t)
u(t)
m
k
b
Sistemas Mecânicos
Resolução:
Primeiramente, determinamos quais forças atuam no sistema:
x(t)
Fb
u(t)
Fm
m
k
Fm
b
Fb
Em seguida, faça o balanço das forças que agem sobre o carrinho:
F = u(t) – Fm – Fb
Sistemas Mecânicos
... Continuação
Sabemos que a força da mola é dada em função de quanto
ela foi distendida, ou seja Fm = k.x(t), e que o amortecimento
gerado pelo amortecedor é função da velocidade do bloco, ou
seja Fb = b.v(t). Sabemos também, pela segunda lei de
Newton, que a resultante das forças é igual à multiplicação da
massa pela aceleração, ou seja F = m.a.
Assim, a equação fica:
m.a = u(t) – k.x(t) – b.v(t)
Colocando tudo em função da posição x(t):
d2
d
m. 2 x(t )  u (t )  k .x(t )  b. x(t )
dt
dt
Sistemas Mecânicos
... Continuação
Fazendo a Transformada de Laplace da equação obtida,
obtemos: :
m.s 2 . X ( s)  m.s.x(0)  m.x (0)  U ( S )  k . X ( s)  b.s. X ( s)  b.x(0)
m.s 2 . X ( s)  k . X ( s)  b.s. X ( s)  U ( s) m.s.x(0)  m.x (0)  b.x(0)
X ( s).(m.s 2  b.s  k )  U ( s) m.s.x(0)  m.x (0)  b.x(0)
Finalizando, considerando que as condições iniciais do
problema são iguais a zero, a função de transferência do
sistema massa-mola (relação entre a saída e a entrada do
sistema) será dada por: X ( s)
1

U ( s) m.s 2  b.s  k
Sistemas Mecânicos
Sistemas Mecânicos
Sistemas Mecânicos
Sistemas Mecânicos
Sistemas Mecânicos
Sistemas Elétricos
Sistemas Elétricos
As leis fundamentais que governam os sistemas elétricos são:
- Leis de Kirchoff. A Lei das Correntes diz que a soma das
correntes que entram em um nó é igual a zero e a das
tensões diz que a soma das quedas de tensão dentro de uma
malha é igual a zero.
- Lei de Ohm. Determina a relação entre tensão e corrente.
Sistemas Elétricos
Componentes:
Resistor: Opõe resistência à passagem da corrente elétrica
vR(t)
por seus terminais. vR (t )  R.i(t )
VR (S )  R.I (s)
i(t)
Capacitor: Acumula elétrons (corrente) entre suas placas.
1
. i (t ).dt
C 
I (s)
VC ( s ) 
C .s
vC (t ) 
vC(t)
i(t)
Indutor: Acumula tensão entre seus terminais em
forma de campo eletromagnético. vL (t )  L. di(t )
dt
VL ( s)  s.I ( s)
vL(t)
i(t)
Sistemas Elétricos
Exemplo: Encontre a função de transferência do circuito RLC
abaixo.
L
ei
R
i
C eo
Sistemas Elétricos
Resolução:
Pela lei de kirchoff das quedas de tensão:
ei
vL
vR
L
R
i
vC
C
e
o
ei = vL + vR + vC
eo = vC
Devemos colocar os valores em
termos da corrente i:
ei  L.
e0 
di
1
 R.i   idt
dt
C
1
idt

C
Sistemas Elétricos
Aplicando a Transformada de Laplace nas equações encontradas,
obtemos:
1 1
Ei ( s )  L.s.I ( s )  R.I ( s )  . .I ( s )
C s
1 1
E 0 ( s )  . .I ( s )
C s
A equação de transferência do sistema é a relação entre a
saída (Eo) e a entrada do sistema (Ei). Portanto, dividindo as
equações uma pela outra:
Eo ( s)
1

Ei ( s) L.C.s 2  R.C.s  1
Sistemas Elétricos
Sistemas Mecânicos
Exercícios:
1) Encontre a função x(t) do sistema de massa-mola abaixo,
quando aplicada uma força u(t) igual a um degrau unitário.
Dados: m = 1kg, b = 4, k = 3
x(t)
u(t)
m
k
b
Sistemas Elétricos
2) Encontre a função eo(t) do circuito abaixo, quando aplicada
uma tensão ei(t) igual a um degrau unitário.
Dados: L = 1 H, R = 2 Ohms, C = 1 F
L
ei
R
i
C eo
Sistema Mecânico e
Sistema Elétrico
Sistemas Elétricos
Sistema Fluídico –
Nível Líquido
Sistema Fluídico –
Nível Líquido
Sistema Fluídico 1
Sistema Fluídico 2
Sistema Térmico
Sistema Fluídico –
Sistema Térmico