Transcript Fizyka_w09
WYKŁAD 09
dr Marek Siłuszyk
Plan wykładu:
ELEKTRYCZNOŚĆ
Atom
Ładunek elektryczny
Metody rozwiązywania
obwodów/układów elektrycznych:
Prawo Coulomba
prawa Kirchhoffa
Prawo Gaussa
prądów oczkowych
Prąd elektryczny
Zasada superpozycji
Napięcie elektryczne
Napięć węzłowych
RLC
Twierdzenia o źródle zastępczym
(Thevenina)
Kondensatory
Łączenie kondensatorów: szeregowe, równoległe
Prawo Ohma
Prawa Kirchhoffa (prawo prądowe & prawo napięciowe)
Oporniki (rezystory)
Ładunek elektryczny ciała (lub ich układu) – własność materii przejawiająca się w
oddziaływaniu elektromagnetycznym ciał obdarzonych tym ładunkiem.
Oddziaływanie ciał obdarzonych ładunkiem odbywa się poprzez pole
elektromagnetyczne. Związek między ładunkiem a polem jest istotą oddziaływania
elektromagnetycznego.
Ładunek elektryczny jest wewnętrzną własnością części cząstek elementarnych. Jest
wielkością skwantowaną, co oznacza, że każdy ładunek jest całkowitą wielokrotnością
ładunku elementarnego, za który uznaje się ładunek elektronu. Rozróżnia się dwa rodzaje
ładunków, ładunek elektronu określa się jako ujemny (-1), a protonu dodatni (+1). Ładunki
tego samego rodzaju odpychają się, a różnego przyciągają. W ramach Modelu
Standardowego cząstek elementarnych kwarki mają ładunek ułamkowy równy -1/3 lub +2/3
ładunku elementarnego, a antycząstki posiadają ładunek o znaku przeciwnym. Kwarki nigdy
jednak nie występują osobno, lecz zawsze tworzą układy złożone z co najmniej dwóch
cząstek, które razem nie posiadają ładunku, lub mają sumaryczny ładunek elementarny.
Całkowita suma ładunków w układzie zamkniętym jest stała, twierdzenie to nosi nazwę
zasada zachowania ładunku elektrycznego. Oznacza to w praktyce, że ładunki w układzie
zamkniętym nie mogą "znikać", a zmiany sumy ładunku elektrycznego układów otwartych
muszą być związane z przepływem ładunku z lub do otoczenia.
W układzie SI jednostką ładunku jest kulomb (C) równy około 6,24 *1018 ładunków
elementarnych (ładunków elektronów lub protonów). Istnienie najmniejszych porcji
(kwantów) ładunku odkrył w 1909 roku Robert Millikan w doświadczeniu z ruchem kropel
oleju w polu elektrostatycznym.
Prąd elektryczny – każdy uporządkowany (skierowany) ruch ładunków elektrycznych.
Wielkością opisującą prąd elektryczny jest natężenie prądu elektrycznego I, które definiuje
się jako pochodną ładunku elektrycznego q, który przepływa przez poprzeczny przekrój
przewodnika, po czasie t przepływu tego ładunku
Równania Kirchhoffa
Najprostszy obwód elektryczny - oczko.
Obwód rozgałęziony składa się z kilku zamkniętych oczek, które
zaznaczone są jako I, II i III. Każdy punkt obwodu, w którym
schodzą się co najmniej trzy jego gałęzie nazywa się węzłem.
Obliczenie wartości prądów płynących w gałęziach, przy znanych
rezystancjach tych gałęzi i siłach elektromotorycznych źródeł
prądu, może być dokonane przy wykorzystaniu równań
Kirchhoffa. Pierwsze równanie Kirchhoffa odnosi się do węzłów
obwodu elektrycznego. Prądy płynące do węzła będziemy
traktować jako dodatnie, a prądy skierowane od węzła jako
ujemne. Ponieważ ładunek elektryczny nie ma możliwości
zgromadzenia się w węźle, to suma algebraiczna prądów w węźle
jest równa zeru. Opisuje to równanie:
Drugie równanie Kirchhoffa odnosi się do zamkniętych oczek, które
można wydzielić w obwodzie rozgałęzionym. Stosując do tych
oczek prawo Ohma łatwo da się zauważyć, że w dowolnym oczku
suma sił elektromotorycznych jest równa iloczynowi prądów przez
rezystancje odpowiednich elementów oczka. Innymi słowy: jest
równa sumie spadków napięć na rezystancjach oczka, łącznie z
rezystancjami wewnętrznymi źródeł prądu. Opisuje to równanie:
W podanym równaniu prądy i siły elektromotoryczne traktuje się
jako dodatnie, jeżeli ich kierunek jest zgodny z wybranym
kierunkiem poruszania się w oczku i ujemne, jeżeli są przeciwne.
Teraz rozwiążemy metodą „łopatologiczną" przykład.
Należy obliczyć prądy płynące w gałęziach obwodu, wiedząc że:
E1= 12 V i rw1=0,1 Ω, E2= 9 V i rw2=0,2 Ω ; R1 = 10 Ω i R2 = 20 Ω
Przy rozwiązywaniu tego typu zadań należy stosować dwie „żelazne"
zasady:
•
Podczas sumowania w oczku napięć na źródłach prądu wartość
tego napięcia bierzemy jako dodatnią, jeśli znak biegunów
zmienia się z minusa (-) na plus (+). W przeciwnym wypadku
wartość napięcia na ogniwie traktujemy jako ujemną.
•
Podczas sumowania napięć na opornikach, wartość napięcia na
oporze bierzemy jako dodatnią, jeśli poruszamy się przeciwnie do
kierunku prądu. W przeciwnym wypadku (gdy opornik
przebywamy zgodnie ze zwrotem prądu), spadek napięcia
liczymy jako ujemny. Reguła ta stosuje się także do spadków
napięć na oporach wewnętrznych ogniw.
Rozwiązanie:
W obwodzie wyodrębniamy 2 oczka:
górne - zawierające E1, R2 i E2
dolne - zawierające E2, R2 i R1.
Przyjmujemy kierunek poruszania się w oczkach zgodny z
ruchem wskazówek zegara. Zgodnie z pkt. 1 i 2 jw., dla górnego
oczka zapisujemy:
E1 - I1 ∙ rw1 - I2 ∙ R2 - E2 - I2 ∙ rw2 = 0
a dla dolnego:
E2 + I2 ∙ r w2 + I2 ∙ R2 - I3 ∙ R1 = 0
Równania dla węzłów A i B:
A) I3 + I2 - I1 = 0
B) I1 - I2 - I3 = 0
Równania dla obu węzłów są identyczne, więc użyjemy tylko jednego z
nich, przekształcając je do postaci I3 = I1 - I2.
Po podstawieniu tej zależności do równania dla dolnego oczka
otrzymujemy 2 równania z 2 niewiadomymi:
E1 - I1 ∙ rw1 - I2 ∙ R2 - E2 - I2 ∙ rw2 = 0
E2 + I2 ∙ r w2 + I2 ∙ R2 - (I1 - I2) ∙ R1 = 0
Podstawiamy:
E1 - I2 ∙ R2 - E2 - I2 ∙ rw2 = I1 ∙ rw1 i dalej I1 = (E1 - I2 ∙ R2 - E2 - I2 ∙ rw2)/ rw1
i dalej:
E2 + I2 ∙ r w2 + I2 ∙ R2 - [(E1 - I2 ∙ R2 - E2 - I2 ∙ rw2)/ rw1 - I2]*R1 = 0
Po przekształceniach oraz wstawieniu danych otrzymujemy:
I1=~ 1,3286 A,
I2=~0,1419 A,
I3=~1,1867 A
Zastosowanie praw Kirchhoffa
Obliczenie rozpływu prądu w obwodzie można wykonać z
zastosowaniem I i II prawa Kirchhoffa. Załóżmy, że obwód ma
n gałęzi i k węzłów. Zagadnienie sprowadza się do wyznaczenia n
niewiadomych prądów płynących w poszczególnych gałęziach,
zwanych prądami gałęziowymi obwodu. Na schemacie obwodu
oznaczmy zwroty prądów gałęziowych za pomocą strzałek, które
przyjmujemy zupełnie dowolnie. Jeśli bowiem przyjmiemy
niewłaściwy zwrot prądu, to okaże się po wykonaniu obliczeń, że
prąd ma wartość ujemną.
W celu otrzymania n równań, układamy k-1 równań na podstawie I
prawa Kirchhoffa, a pozostałe n-k+1 równań układamy na
podstawie II prawa Kirchhoffa dla wszystkich niezależnych oczek
obwodu. W wyniku rozwiązania tych równań otrzymuje się n
prądów gałęziowych.
Rozpatrywany obwód ma k = 4 węzły i n = 6 gałęzi.
Na podstawie I prawa Kirchhoffa układamy k-1 = 3 równania dla
węzłów A, B, C:
Na podstawie II prawa Kirchhoffa układamy n-k+1 = 3 równań
dla oczek ADCA, BDCB, ADBA:
Teraz pozostaje podstawić dane (najczęściej R i E) i rozwiązać
układ równań.
W rozpatrywanym obwodzie wprowadzamy prądy oczkowe,
krążące jak gdyby wzdłuż poszczególnych oczek obwodu.
Najwygodniej jest przyjąć, że zwroty prądów oczkowych są
takie same we wszystkich oczkach, na przykład są zgodne z
ruchem wskazówek zegara. Prądy w gałęziach zewnętrznych
obwodu, tj. w gałęziach nie będących wspólnymi dla dwóch
oczek, są równe odpowiednim prądom oczkowym. Prądy w
gałęziach wspólnych dla dwóch oczek równają się różnicy
odpowiednich prądów oczkowych.
Równania oczkowe dla obwodu o n oczkach mają następującą postać:
Wielkości występujące w powyższych równaniach :
-prąd oczkowy oczkowy k-tego oczka
- napięcie źródłowe oczkowe k-tego oczka, równe sumie
napięć źródłowych gałęzi należących do tego oczka.
- rezystancja własna k-tego oczka, równa sumie
rezystancji wszystkich gałęzi należących do tego oczka.
- rezystancja wzajemna oczka k-tego z oczkiem l-tym,
równa rezystancji gałęzi wspólnej oczka k-tego i l-go.
Znak rezystancji zależy od zwrotów prądów oczkowych
we wspólnej gałęzi dwóch oczek - jeżeli zwroty prądów
są zgodne to rezystancji przyporządkowujemy znak
plus, natomiast jeżeli są przeciwne - znak minus.
Rezystancja wzajemna oczka pierwszego z drugim jest
taka sama jak drugiego z pierwszym, drugiego z trzecim
jak trzeciego z drugim , itd.
Równania oczkowe można zapisać w postaci macierzowej:
Jedną z metod obliczenia prądów oczkowych jest metoda
wyznaczników wg. której:
- wyznacznik główny układu równań oczkowych
- wyznacznik otrzymany z wyznacznika głównego przez
zastąpienie k-tej kolumny kolumną napięć źródłowych,
np. dla k=2