Estatística Básica Aula 2 Medidas de Dispersão

PROFESSORES:EDU /VICENTE

Complementos de Estatística

• Medidas de Dispersão: • Considere a seguinte situação: • Dois candidatos disputam uma única vaga em uma empresa. Foram realizados vários testes com esses dois candidatos: Eduardo e Vicente. A tabela a seguir mostra os desempenhos dos dois candidatos nesses testes:

Tabela de Desempenho

Português Matemática Física Inglês Espanhol Eduardo 8,5 9,5 8,0 7,0 7,0 Vicente 9,5 9,0 8,5 8,0 5,0

Note que as médias de Eduardo e Vicente são iguais:

• Eduardo:

x E

 8 , 5  9 , 5  8  7  7 5  8 , 0 • Vicente:

x V

 9 , 5  9  8 , 5  8  5 5  8 , 0

Os dois candidatos obtiveram a mesma média!

• Como proceder matematicamente para determinar qual dos dois teve o melhor desempenho na avaliação?

• A comparação entre os dois desempenhos pode ser feita através das seguintes medidas estatísticas:

I) Desvio absoluto médio(D.AM.) :

• Determina o quanto cada nota está afastada da média. Essas diferenças são chamadas de desvio: • Exemplo: D.A.M(Eduardo)

D

.

A

.

M

 8 , 5  8  9 , 5  8  8  8  7  8  7  8  0 , 8 5

Vicente:

D

.

A

.

M

 9 , 5  8  9  8  8 , 5  8  8  8  5  8  1 , 2 5

Conclusão:

• As notas de Eduardo estão, em média, 0,8 acima ou abaixo da média, enquanto as notas de Vicente estão, em média, 1,2 acima ou abaixo da média aritmética (8,0).

• Isso mostra que as notas de Eduardo são menos dispersas que as notas de Vicente. Então: Eduardo merece a vaga.

VARIÂNCIA

• É uma outra medida estatística que indica o afastamento de uma amostra em relação a média aritmética. (  ) aritmética dos quadrados dos desvios dos elementos da amostra:

Exemplo:

• Eduardo  2  ( 8 , 5  8 ) 2  ( 9 , 5  8 ) 2 5  ( 8  8 ) 2  2 ( 7  8 ) 2   2  0 , 9 • Vicente:  2  ( 9 , 5  8 ) 2  ( 9  8 ) 2  ( 8 , 5  8 ) 2 5  ( 8  8 ) 2  ( 5  8 ) 2   2  2 , 5

Conclusão

• Por esse processo, as notas de Eduardo são menos dispersas que as notas de Vicente.

• Quanto menor a variância, menos dispersas são as notas.

• Logo, Eduardo teve um desempenho mais regular.

Desvio Padrão

• Desvio Padrão é a raiz quadrada da Variância.

• Eduardo:   0 , 9  0 , 94868 • Vicente:   2 , 5  1 , 58114

Conclusões

• Logo, por esse processo, as notas de Eduardo são menos dispersas que as notas de Vicente.

• Quanto menor for o desvio padrão, menos dispersas são as notas.

• Conclusão: Eduardo é sempre melhor que Vicente.

Exercício

• Considere as seguintes medidas descritivas das notas finais dos alunos de três turmas:

B C Turma A Número de Alunos Média 15 6,0 15 14 6,0 6,0 Desvio Padrão 1,31 3,51 2,61

• Com base nesses dados, considere as seguintes afirmativas: • 1. Apesar de as médias serem iguais nas três turmas, as notas dos alunos da turma B foram as que se apresentaram mais heterogêneas.

• 2. As três turmas tiveram a mesma média, mas com variação diferente.

• 3. As notas da turma A se apresentaram mais dispersas em torno da média.

• Assinale a alternativa correta.

• a) Somente a afirmativa 3 é verdadeira.

• b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira.

• c) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.

• d) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.

• • e) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.

• (1) Verdadeira. Como o desvio padrão dessa turma é o mais alto, as notas são as mais dispersas, portanto mais heterogêneas.

• (2) Verdadeira. Cada turma tem um desvio padrão diferente, logo as variações são diferentes.

• (3) Falsa. Como o desvio padrão dessa turma é o menor, suas notas são menos dispersas.

• OPÇÃO D

ENEM 2010

A) B) C) Marco, pois a média e a mediana são iguais.

Marco, pois obteve o menor desvio padrão.

Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 pontos em Português.

D) Paulo, pois obteve a maior mediana.

E) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.

Resposta certa letra....

B

FUVEST-SP

• A distribuição dos salários de uma empresa é dada na tabela a seguir:

Salário(em Reais)

500,00 1.000,00 1.500,00 2.000,00 5.000,00 10.500,00 Total

Número de Funcionários

10 5 1 10 4 1 31

• a) Calcule a média, a mediana e a moda dos salários dessa empresa?

• b) Suponha que sejam contratados dois novos funcionários com salários de R$2.000,00 cada, A variância da nova distribuição de salários ficará menor, igual ou maior que a anterior? Justifique.

•

Solução:a) A média (aritmética) é o quociente entre o produto das variáveis pela frequência em que ocorreram e o total de dados:

x E

 500  10  1000  5  1500  1  2000  10  5000  4  10500  1  31  2000 , 00

A mediana é o elemento que ocupa a posição que divide os valores ordenados em subconjuntos de mesma quantidade. Como há 31 dados. A Mediana ocupará a 16ª posição ou seja, R$1.500,00.

Moda= R$500,00 e Moda =R$2.000,00(BIMODAL)

• Como os dois novos funcionários tem salário igual a média, no cálculo da nova variância, o valor do numerador não se altera, uma vez que os dois novos valores,(x média), são iguais a zero e o denominador aumenta, de 31 para 33. Logo a variância diminui.