SKALARNY BOZON HIGGSA

Zbigniew Jacyna-Onyszkiewicz Zakład Fizyki Kwantowej UAM

Wstęp 1. Spinorowe pole Diraca 2. Elektrodynamika kwantowa 3. Chromodynamika kwantowa 4. Mechanizm Higgsa 5. Model standardowy cząstek elementarnych Podsumowanie

Wstęp

Na konferencji prasowej 4 lipca 2012 roku europejski ośrodek badań jądrowych CERN ogłosił, że znaleziono oznaki istnienia bozonu Higgsa. Czym jest ta od ponad 40 lat poszukiwana cząstka i jakie znaczenie może mieć jej odkrycie?

(źródło: Wikipedia)

(źródło: Świat Nauki)

FOTONY

Każdy detektor zawiera system kalorymetrów, czyli urządzeń mierzących energie cząstek. Kalorymetr umieszczony w samym centrum jest szczególnie czuły na fotony. Ich absorpcji wewnątrz kalorymetrów towarzyszy pojawienie się słabych sygnałów elektrycznych. Jeżeli higgs rozpada się na dwa fotony, detektor z olbrzymią dokładnością może zmierzyć ich łączną energię, co radykalnie ułatwia wyznaczenie masy nowo odkrytej cząstki.

(źródło: Świat Nauki)

BOZONY Z

Higgs może rozpaść się na parę bozonów Z, z których każdy rozpada się dalej na parę elektron – pozyton (antyelektron, cząstka o ładunku dodatnim) albo dwa miony. Wewnętrzny kalorymetr i układ śledzenia torów umożliwia pomiar energii elektronów. Miony oddalają się ze środka, pozostawiając po sobie możliwy do zmierzenia ślad. Silne pole magnetyczne zagina tory elektronów i mionów, umożliwiając dokładny pomiar ich energii, a tym samym masy higgsa.

(źródło: Świat Nauki)

KWARKI b (niskie)

Higgs może również rozpaść się na kwark b i jego antycząstkę, które dalej rozpadają się w postaci ukierunkowanych „dżetów” hadronów (złożone cząstki zbudowane z kwarków). Hadrony przelatują przez wewnętrzne obszary detektora i tracą energię w zewnętrznych kalorymetrach. Niestety, wiele zwykłych zderzeń protonów również prowadzi do powstania dżetów hadronów, co niezmiernie utrudnia oddzielenie zdarzeń związanych z higgsem od tła.

(źródło: Świat Nauki)

BOZONY W

Inną możliwością jest rozpad higgsa na dwa bozony W, które dalej rozpadają się na elektron, pozyton albo mion oraz odpowiednio neutrino lub antyneutrino. Wykrycie neutrin jest praktycznie niemożliwe i cząstki te niezauważone wylatują poza detektor, zabierając ze sobą część energii. Stwierdzając deficyt energii, badacze wyciągają wniosek o udziale neutrin w procesie, ale nie mogą dokładnie wyznaczyć masy higgsa.

1. Spinorowe pole Diraca

Leptony i kwarki są fermionami opisywanymi przez równanie Diraca (h = c = 1) ( i      m )   0 .

(1) Równanie to możemy traktować jako równanie swobodnego spinorowego pola Diraca    ( x ), (2) gdzie      1  2  3  4      , j  1 , 2 , 3 , 4 ,    (  0 , ) ,      t , , x  .

Równanie Diraca można otrzymać z zasady stacjonarnego działania δS = 0 , (3) S   M  d 4 x , (4)    ( i      m )  , (5) gdzie   (  1 * ,  * 2 ,   * 3 ,   * 4 ) .

(6)

Zastąpienie funkcji falowych operatorami (tzw. operacja drugiego kwantowania)  j   j *  j , j  (7) działającymi na wektory stanu przestrzeni Focka i spełniającymi fermionowe reguły antykomutacji oznacza przejście od opisu jednocząstkowego do wielocząstkowego.

W ten sposób równanie w obrazie Heisenberga ( i      m )  0 , gdzie (8)  opisuje swobodne kwantowe pole Diraca, którego wzbudzeniami elementarnymi są fermiony o spinie s=1/2 i masie m.

2. Elektrodynamika kwantowa

Gęstość lagranżjanu (5) prowadząca do równania Diraca (1) jest niezmiennicza nie tylko względem transformacji Lorentza, inwersji czasu i odbicia przestrzennego, lecz także względem transformacji cechowania (fazy bispinora)    '  U  , (9) U  e ie  oraz stałe e = e* i λ = λ*.

Dla bispinora sprzężonego po dirakowsku  transformacja cechowania (ang. gauge transformation) ma postać    '   U  , U   e  ie  oraz UU   U  U  1 .

Łatwo można zauważyć, że U spełnia następujące relacje U (  1 ) U (  2 )  U (  2 ) U (  1 ) , U (  1   2 )  U (  1 ) U (  2 ) , U (   0 )  1 , gdzie U (  1 )  e ie  1 , U (  2 )  e ie  2 .

Widzimy, że zbiór transformacji cechowania {U} tworzy grupę abelową i unitarną G macierzy jednoelementowych, którą przyjęto oznaczać jako G = U(1) .

Transformacja (9) oznacza zmianę fazy bispinora jednakową w każdym punkcie czasoprzestrzeni . Taką transformację nazywamy transformacją globalną.

Załóżmy teraz, że zmiany fazy bispinora są różne w różnych punktach czasoprzestrzeni    '  U ( x )  ,    '   U  ( x ) , gdzie U ( x )  e ie  ( x ) , U  ( x )  e  ie  ( x ) , a λ = λ(x) jest funkcją współrzędnych czasoprzestrzennych x. Taką transformację nazywamy lokalną transformacją cechowania (ang. local gauge transformation).

Gęstość lagranżjanu prowadząca do równania Diraca i niezmiennicza względem lokalnej transformacji cechowania    '  U ( x )  ,    '   U  ( x ) jest postaci    '     ( i   D   m )  , gdzie D      ieA  ( x ) oraz A  ( x )  A '  ( x )  A  ( x )     ( x ) tworzą pewne pole czterowektorów. Uwzględniając człon w gęstości lagranżjanu, opisujący swobodne pole czterowektorów A  ( x ) uzyskujemy    ( i   D   m )   1 4 f  f  , (10) gdzie f     A     A  .

Korzystając z zasady stacjonarnego działania (3) uzyskujemy równania ( i   D   m )   0 ,  ( i    D   m )  0 ,   f    j  , (11) (12) (13) gdzie  D     ieA  , (14) j   e     , stanowiące sprzężony układ 12 cząstkowych równań różniczkowych.

(15)

Antysymetryczny tensor f    f  , f   0 spełnia tożsamość (tzw. tożsamość Bianchiego – ang. Bianchi identity)   f     f     f   0 .

(16) Równania (13) i (16) przedstawiają równania Maxwella w niezmienniczej relatywistycznie formie.

Wykonując analogiczną zamianę jak w wyrażeniu (7), tzn.   ,   , A   A  w równaniach (11-13) otrzymujemy podstawowy układ równań elektrodynamiki kwantowej w obrazie Heisenberga, w którym mają one postać relatywistycznie niezmienniczą ( i     m )  0 , ( i  ( i   D   ) m  ) 0 , 0 , (17) jˆ jˆ , , gdzie D      ie A  , fˆ          ,  D   jˆ   e   ie   .

 , Stanowią one równania ruchu dla operatorów pola. Z uwagi na ich złożoność nie potrafimy znaleźć ich ścisłych rozwiązań. Z tego powodu operatory pola, które muszą spełniać reguły komutacyjne lub antykomutacyjne mogą być określone tylko w tej samej chwili czasu t = t´.

3. Chromodynamika kwantowa

Doświadczenia przeprowadzone pod koniec lat sześćdziesiątych XX wieku pokazały, że cząstki uważane za elementarne zwane hadronami zbudowane są z cząstek jeszcze bardziej podstawowych nazwanych przez Gell-Manna (Murray Gell układami związanymi trzech kwarków 10  się na bariony (B) – cząstki o spinie ułamkowym, które są fermionami i mezony (M) – cząstki o spinie całkowitym, należące więc do bozonów. Najważniejszymi barionami są proton i neutron, stanowiące składniki jader atomowych. Bariony B są B  ( q f q f ' q f " ) , gdzie f , f ' , f "  1 , 6 q f M  ( q f q f ' ) .

Liczba f nosi nazwę zapachu (ang. flavor). Charakterystyczną cechą kwarków jest to, że ich ładunki elektryczne są ułamkowe i wynoszą – 1/3 lub + 2/3 bezwzględnej wartości ładunku elektronu. Tabela 1. przedstawia podstawowe właściwości wszystkich kwarków.

Zapach f 1 2 3 4 5 6

Tabela 1. Kwarki

Ozna czenie kwarku u d t c s b Nazwa kwarku górny dolny powabny dziwny szczytowy spodni Ładunek elektryczny masa kwarku masa protonu +2/3 -1/3 +2/3 -1/3 +2/3 -1/3 0,0047 0,0074 1,6 0,16 189 5,2 Rodzina I Rodzina II Rodzina III

kwarków 10  się jak obiekty bezstrukturalne. Na przykład proton p stanowi układ trzech p = (uud) a neutron n n = (udd) .

kwarków    = (uuu) .

  Składa się on z trzech jednakowych kwarków górnych. Jednak z uwagi na to, że kwarki są fermionami obowiązuje je zakaz Pauliego. W jednakowym stanie może być tylko jeden fermion – a nie trzy. Z tego powodu powinna istnieć wewnętrzna liczba kwantowa różnicująca kwarki u w barionie . Ta wewnętrzna liczba kwantowa została nazwana kolorem (ang. colour), ponieważ przyjmuje trzy wartości i nie ujawnia się na zewnątrz hadronu.

Stąd     ( u c u z u n ), u niebieski kwark górny. Podobnie jak zmieszanie trzech kolorów: czerwonego, zielonego i niebieskiego daje w rezultacie kolor biały, barion jest „biały” na zewnątrz, tzn. nie ujawnia właściwości koloru na zewnątrz. Antycząstka jest układem trzech antykwarków górnych u z u  n     ( u c u z u n ), gdzie c – to kolor antyczerwony, z – antyzielony oraz n – antyniebieski.

Z tego powodu stan kwarka f określony jest przez macierz trzech bispinorów  f     cf  zf  nf   , gdzie f = 1, 2, ..., 6.

Na podstawie wzoru (5) gęstość lagranżjanu dla swobodnych kwarków ma postać (w przyjętych jednostkach )   f 6   1   f ( i      m f )  f .

(17) Gęstość lagranżjanu (17) jest niezmiennicza względem globalnej transformacji cechowania  f   f '   U  f , (18) gdzie  f    f '     U  , (19)  U  e ig  , g   U    U e  ig  , g * ,   U U    U   U   I .

gdzie  j   * j a  T l  l 8   1  T l  l są tzw. macierzami Gell-Manna.

,  T 1    0 1  T  T 3 5  T 7  0    1 0  0    0 0  i    0 0  0 1 0 0 0   , 0 0  1 0  0 0   , 0 0 0 0 0   i 0   , 0  i 0 0 0  i   , 0   T 2  T 4  T 6  T 8    0 i  0 i  0    0 0 0 0 0  1    0 0 0 0 0   0 1 1   1 0 3  0 0 0   , 0  1 0   , 0  0 1   , 0  0 1 0 0 0   .

 2 

Macierze te są bezśladowe, tzn.

 l Tr  [ T l ]  0 .

Stąd wynika, że det  U  1 .

Nietrudno zauważyć, że  U (  l )  U (  l ' )   U (  l ' )  U (  l ) .

 Oznacza to, że zbiór macierzy tworzy unitarną, specjalną grupę nieabelową G  SU c ( 3 ) , gdzie c oznacza „grupę kolorową” spełniającą warunki nałożone na liczbę kwantową zwana kolorem, prowadzącą do macierzy Gell-Manna.

gdzie  U ( x  f   f '   U ( x )  f ,   f    f '    f  U  ( x ) ,  U ( x )  e ig  ( x ) ,  U  ( x )  e  ig  ( x ) , ( x )  l 8   1  T l  l ( x ) .

(20) (21)

Niezmiennicza względem lokalnych transformacji cechowania (20), (21), postać gęstości lagranżjanu jest następująca    1 2 f 6   1   f Tr [ f   ( x ) ( x ( i  ) f    (  D  x )] ( x ) ,  m f )  f ( x ) (22) gdzie  D  ( x )     ig  G  ( x ) ,  G  ( x )  l 8   1  T l G l  ( x ) ,  G  ( x )   G '  ( x )   U ( x  )( G  ( x )  i g   )  U  ( x ) .

Niezmienniczość ta jest osiągnięta przez sprzężenie kwarków z ośmioma polami kompensującymi (polami cechowania) G lμ (x) . Drugi człon (22) opisuje swobodne pola kompensujące G lμ (x) , gdzie f    D ( x  )  G      D  G    G ( x  ) .

    G  ( x )  ig [  G  ( x ),  G  ( x )]  Pola G lμ (x) nazywa się polami gluonowymi (od ang. glue – klej). Jest ich osiem, wszystkie są bezmasowymi polami wektorowymi.

Można wykazać dla macierzy tensorów natężeń prawdziwość tożsamości Bianchiego D  f    D  f    D  f    0 , analogicznej do tożsamości (16).

(23) Wychodząc z zasady stacjonarnego działania, gdzie S   M  d 4 x

gdzie oraz ( i    D  ( x )  m f )  f ( x )  0 ,   f ( x )( i    D  ( x )  m f )  0 ,   f   ( x )    j  ( x ) ,  D  ( x )     ig G  ( x )  j  ( x )  g f 6   1   f    f   [ G  , f   ]  .

(24) (25)

Układ równań (24) wykazuje daleko idące podobieństwo do układu równań (17), których interpretacja fizyczna jest znana. Umożliwia to zinterpretowanie otrzymanych równań.

Wyrażenie określa macierz czterowektorów gęstości prądu kolorowego , którego źródłem jest kolorowy ładunek g niesiony przez kwarki opisywane przez oraz przez pole gluonowe (drugi wyraz w (25)) opisywane przez  gluonowych .

Osiem pól gluonowoych, opisywanych jest przez osiem czterowektorów G lμ (x), niosących ładunek kolorowy. Na tej podstawie można powiedzieć, że układ równań (24) opisuje kwarki oddziałujące ze sobą za pośrednictwem ośmiu pól gluonowych.

Analogicznie jak w przypadku elektrodynamiki kwantowej zastąpimy macierze bispinorów i macierz pól gluonowych przez odpowiednie operatory działające w przestrzeni Focka. W tym celu  f   f    ˆ cf ˆ zf ˆ nf   ˆ    H F ,   f   f  ( cf , zf , nf ) oraz  G      l 8   1  T l l  ( x ) ,

Po tej zamianie układ równań (24) przyjmuje postać: ( i   f    ( i    D  m f  ) m f f )   0 0 , ,   fˆ      jˆ  , (26) gdzie  fˆ   jˆ      D       D           ig G  ,   ig   G   , ig [ G  ,   ]   g f 6   1  f    f   [ G  ,  fˆ  ]  .

, Układ równań (26) stanowi podstawowe równania chromodynamiki kwantowej (ang. quantum chromodynamics – QCD) zapisane w obrazie Heisenberga. Jest to złożony układ wzajemnie sprzężonych 176 równań różniczkowych cząstkowych pozwalający na wyznaczenie czasowej ewolucji operatorów kwantowych pól kwarków i gluonów.

4. Mechanizm Higgsa

Pole Higgsa określa gęstość lagranżjanu gdzie oraz  H          V      1  2   V  4    2  v 2  2 ,  2     .

  0   0 min V   v min V  4 0 4 dla dla   0   v .

(27) (28) (29)

Globalna transformacja cechowania   H     ' H '  U    H , U  SU ( 2 ).

Lokalna transformacja cechowania    '  U ( x )  ,  H    ' H A      A (  D '      U ) (   D   x )  A   V   U  1 ( x ) 1 2 g 2  (  Tr   [ U  F  v )  U  F  v ( x ), ] , gdzie  T a  D       A  ,  A   F  v   ig ig a 3   3 1 a   1 A f a  a  v  T a  T a , , – to trzy generatory grupy SU(2). (30) (31) (32)

 0    0 v   , co oznacza łamanie symetrii SU(2).

Rozwijamy wokół stanu próżni (cechowanie unitarne)   

U

(

x

) 

v

 0  2   , gdzie  A μ   U (x)  μ  U  1 (x)  (  μ  U (x))  U  1 (x),  A   ig 2 a 3   1 ~ A a  a , (33) (34) (35) (36)

Podstawiając (34 - 36) do (32) otrzymujemy:  H  a 3   1   1 4 Tr [ f a  v f a v ]  1 4 g 2 ( v   1 2         2 2 ( v  2  2 ) 2 .

 2 ) 2 A A  a (37)

Z dwóch pól zostało jedno masywne pole rzeczywiste , natomiast  wynosi  1 i  A a  m 2    v 2 , (38) a masa pól cechowania m 2 A  1 2 v 2 g 2 .

(39) Higgsa. Mechanizm Higgsa nie niszczy lokalnej symetrii cechowania względem grupy SU(2), lecz ją ukrywa (hidden symmetry).

5. Model standardowy cząstek elementarnych

Zakładamy, że wszystkie leptony i kwarki są cząstkami bezmasowymi. Mogą one występować jako cząstki lewoskrętne (L) i prawoskrętne (R)

Cząstki lewoskrętne L spin wektor pędu Cząstki prawoskrętne R spin wektor pędu

Oddziaływania słabe wykazują tylko cząstki L (lewoskrętne).

Wybieramy pola spinorowe dla wszystkich znanych cząstek o spinie s = ½.

Leptony L  r L   r  r 1 L , gdzie r = 1, 2, 3 numeruje trzy rodziny cząstek.

Leptony R  r R  (  r  1 ) R .

Kwarki L  r L   2 r / 3  1 / 3 L .

Kwarki R  r R  (  2 r / 3 ) R ,  r  R  ( r  1 / 3 ) R .

Przyjmujemy także istnienie skalarnego zespolonego pola Higgsa o postaci      1  2   .

Gęstość Lagranżjanu dla powyższych bezmasowych pól ma postać    r 3   1 [  r L      r L  r L      r L   r R   r R       r R     r R   r R      r R ]   H   I , (40) gdzie to gęstość lagranżjanu pola Higgsa dana wzorem (27), a

 I  r 3 3    1 r '  1 [  r L  Y 1 rr '  r R '  r L  Y 2 rr '   h .

c .

r R '   r L  Y 3 rr '  r  ' R ] (41) opisuje sprzężenie pól leptonów i kwarków z polem Higgsa, gdzie zespolone macierze to tzw. macierze stałych Yukawy.

Gęstość Lagranżjanu (40) stanowi fundament modelu standardowego (Standard Model – SM) cząstek elementarnych. Jest on niezmienniczy względem globalnych transformacji cechowania tworzących grupę G  SU c ( 3 ) x SU ( 2 ) x U ( 1 ).

(42)

Następnie wykonujemy 3 kroki: 1. Żądamy aby gęstość lagranżjanu (40) była niezmiennicza względem lokalnych transformacji cechowania tworzących grupę (42). Stąd otrzymujemy:    r 3   1 [  r L   (    r R   (    ig  1 B  i 2 g 1 B )  r R    W  )  r L   r L   (     r  R   (     r R   (      i 6 g 1 B    W    G  )  r L i 2 i g 1 B  3 3 g 1 B    G  )  r R   G  )  r R ]  1 4 B  v B  v  1 2 g 2 2 Tr [ W  v W  v ]  1 2 g 2 3 Tr [ G  v G  v ]   ' H   I , (43)

gdzie  ' H   [(    i 2 g 1 B    4 (  2  v 2 ) 2 ,   W  )  ]  (    i 2 g 1 B    W  )  to gęstość lagranżjanu Higgsa oraz  G  W     ig ig 2 3 G l  W a   T l  T a , , B  , l  1 , 2 ,..., 8 a  1 , 2 , 3 ( SU c ( 3 )), ( SU ( 2 )), ( U ( 1 )), to bezmasowe pola cechowania.

(44)

2. Zastosowanie mechanizmu Higgsa, co powoduje nadanie masy leptonom posiadającym ładunek elektryczny, wszystkim kwarkom i bozonom przenoszącym oddziaływania słabe.

W  , Z 0 3. Wykonanie procedury drugiego kwantowania. Pole Higgsa powoduje, że SM jest renormalizowalną kwantową teorią pola, co udowodnili holenderscy fizycy Gerardus ‘t Hooft i Martinus Veltman w 1971 roku.

Podsumowanie

SM obejmuje wszystko, co aktualnie wiemy o podstawowych właściwościach materii. Opisuje on setki obserwowanych cząstek i ich oddziaływań za pomocą niewielu składników: sześciu leptonów i sześciu kwarków. Każdy lepton czy kwark ma antycząstkę o tej samej masie, lecz z przeciwnymi znakami niektórych liczb kwantowych, na przykład ładunku elektrycznego. SM opisuje trzy rodzaje oddziaływań między cząstkami: oddziaływania elektromagnetyczne, słabe i silne. Oddziaływania silne wiążą kwarki, których nigdy nie zaobserwowano w stanie swobodnym, tworzące cząstki złożone takie jak protony czy neutrony. Oddziaływania słabe powodują niestabilności – na przykład powolne rozpady wszystkich cięższych leptonów i kwarków na lżejsze leptony i kwarki. SM stanowi wersję renormalizowalnej kwantowej teorii pola, w której oddziaływania uzyskuje się z warunku niezmienniczości gęstości langranżjanu względem lokalnych G  U ( 1 )  SU ( 2 )  SU c ( 3 Wszystkie oddziaływania przenoszą się przez bezmasowe bozony cechowania: fotony i gluony oraz przez masywne bozony cechowania: . W SM wszystkie cząstki uzyskują masę proporcjonalną do v (próżniowa wartość oczekiwana pola Higgsa) dzięki mechanizmowi Higgsa – sprzężeniu z polem skalarnym i złamaniu symetrii. Obliczenia pokazują, że zmiana v o kilka procent uniemożliwiałaby powstanie życia na Ziemi.

SM jest jedną z najważniejszych teorii współczesnej fizyki, sformułowaną w latach siedemdziesiątych XX wieku.

SM, mimo że jest bardzo dobrze potwierdzony eksperymentalnie, nie jest w pełni satysfakcjonujący: z punktu widzenia teoretycznego: – zawiera bowiem 18 swobodnych parametrów, które należy wyznaczyć z danych doświadczalnych; – nie określa wartości mas cząstek elementarnych; – nie wyjaśnia niezerowych wartości mas neutrin (rozszerzony SM wyjaśniający ten fakt zawiera 28 swobodnych parametrów); – nie wyjaśnia równości ładunku elektrycznego protonu i elektronu; – SM zawiera trzy generacje cząstek (leptonów i kwarków). Atomy zbudowane są tylko z cząstek pierwszej generacji i SM daje spójny opis tej generacji. SM opisuje także wszystkie trzy generacje cząstek – ale nie wyjaśnia, dlaczego są akurat trzy;

oraz z punktu widzenia kosmologii: – nie wyjaśnia dlaczego wszechświat zbudowany jest tylko z materii, a nie także z antymaterii; – nie jest w stanie określić natury ciemnej materii, stanowiącej 23% wkład w całkowitą gęstość energii wszechświata; – nie tłumaczy istnienia we wszechświecie ciemnej energii, dającej 72% wkład w całkowitą gęstość energii wszechświata, interpretowanej jako stan fałszywej próżni.