Transcript Poligoni inscritti, circoscritti e regolari

Poligoni inscritti,
circoscritti e regolari
De Berardinis Floriana-Dea
Il centro O e il raggio della
circonferenza circoscritta
sono rispettivamente il
CIRCOCENTRO e il RAGGIO
del poligono in essa inscritto
Il centro O e il raggio della
circonferenza inscritta
sono rispettivamente
l’ INCENTRO e l’ APOTEMA
del poligono ad essa circoscritto
TRIANGOLI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
Un triangolo si può sempre INSCRIVERE e CIRCOSCRIVERE a una
circonferenza; in esso sono infatti unici il circocentro e l’incentro.
QUADRILATERI INSCRITTI in una
circonferenza
Un quadrilatero può essere inscritto in una circonferenza se gli angoli
opposti sono supplementari e viceversa.
Aˆ  Cˆ  180
Bˆ  Dˆ  180
Si possono inscrivere in una circonferenza il rettangolo, il quadrato ed il
trapezio isoscele.
QUADRILATERI CIRCOSCRITTI a una
circonferenza
Un quadrilatero può essere circoscritto a una circonferenza se la somma
dei lati opposti è uguale e viceversa.
AB + CD = BC + DA
Si possono circoscrivere a una circonferenza il quadrato e il rombo.
AREA DI UN POLIGONO CIRCOSCRITTO
Un poligono circoscritto è equivalente ad un triangolo avente come base il
perimetro 2p e per altezza il raggio r (apotema) del cerchio inscritto.
L’area di un poligono circoscritto a una circonferenza si ottiene moltiplicando il
perimetro per la misura del raggio e dividendo tale prodotto per due.
A = 2p x r /2 = p x r
I POLIGONI REGOLARI
Un poligono regolare si può sempre inscrivere e circoscrivere a una
circonferenza. In esso circocentro e incentro coincidono in un unico punto,
che è il centro sia della circonferenza inscritta sia della circonferenza
circoscritta e si chiama CENTRO DEL POLIGONO.
Il raggio della circonferenza circoscritta è il raggio del poligono.
Il raggio della circonferenza inscritta è l’apotema del poligono.
OSSERVAZIONI SU ALCUNI POLIGONI
REGOLARI
In un esagono regolare il lato è congruente al raggio
della circonferenza circoscritta.
C
Nel triangolo equilatero il raggio della circonferenza
circoscritta è il doppio del raggio della circonferenza
inscritta e quindi l’apotema è la metà del raggio o 1/3
dell’altezza.
O
CO = 2 OH
A
H
B
oppure OH = 1/3 CH
OH = apotema
AREA DEI POLIGONI REGOLARI
l
a
a
l
l  a 5l  a
A  5

2
2
ma
5l  2p
2pa
A
 pa
2
2p = perimetro
p = semiperimetro
L’area di un poligono regolare si ottiene moltiplicando il perimetro per la misura
dell’apotema e dividendo tale prodotto per due.
RELAZIONE LATO-APOTERMA DI UN
POLIGONO REGOLARE
Ogni poligono regolare è caratterizzato da un valore costante (cioè che non
cambia) del rapporto tra l'apotema e il lato; tale rapporto viene definito
costante o numero fisso e viene indicato con la lettera f.
In simboli avremo:
a
 f
l
a1 a2 a3


 0,866
l1
l2
l3
IL RAPPORTO TRA L'APOTEMA E IL LATO DI UN POLIGONO REGOLARE
È COSTANTE. TALE COSTANTE DIPENDE DAL NUMERO DEI LATI DEL
POLIGONO.
Nella seguente tabella riportiamo i valori delle costanti f per i poligoni regolari
che incontreremo più frequentemente: