Osservazione su numeri fissi In poligoni regolari

apotema / lato area / lato*lato

In un poligono regolare ,circoscritto ,si considera apotema il raggio del cerchio inscritto Notare che tutti i lati sono tangenti al cerchio inscritto Si può verificare, mediante misurazione, che per ogni poligono rimane costante e caratteristico il rapporto tra la lunghezza dell’apotema e il lato del poligono apotema / lato = numero fisso Si può dimostrare che anche il rapporto tra area e quadrato del lato del poligono rimane costante e caratteristica del poligono area / lato*lato = numero fisso

L’area del poligono regolare circoscritto risulta pari alla somma di n triangolini equivalenti (stessa base stessa altezza) area = n * (lato * altezza (raggio) /2) Perimetro = n * lato area = perimetro * raggio / 2 Raggio = 2 * area / perimetro perimetro = 2 * area / raggio

Osservazione :misurando la lunghezza del lato di un quadrato e quella dell’apotema si trova che cambiando le dimensioni del quadrato, cambiano anche quelle del lato e dell’apotema: tuttavia il rapporto tra apotema e lato rimane costante (numero fisso) apotema / lato = costante (0.5

)

Apotema = lato * numero fisso

a l q 10 20 0.5

15 30 0.5

20 40 0.5

a 2.8

5.7

L 10 20 q 0.28

0.28

Misurando la lunghezza del lato del triangolo equilatero e della sua apotema si trova che anche modificando le dimensioni del triangolo, rimane sempre costante il rapporto tra apotema e lato del triangolo: numero fisso apotema / lato = costante (0,289) Apotema = lato * numero fisso

Il rapporto tra apotema e lato del pentagono, modificato, rimane costante

A

Apotema / lato = numero fisso (0,688)

6.88

Apotema = lato * numero fisso

13.7

L 10 20 q 0.68

0.68

Rapporto apotema / lato = costante = 0,866

A 8.66

17.3

25.9

L 10 20 30 q 0.86

0.86

0.06

Rapporto apotema / lato = numero fisso = 1,207

A 12 24 36 L 10 20 30 q 1.20

1.20

1.20

A 10.3

21.5

ettagono

L 10 20 q 1.038

1.038

A 13.7

27.4

ennagono

L 10 20 Q 1.374

1.374

decagono

A 15.3

30.78

L 10 20 q 1.539

1.539

Considerando poligoni regolari di area variabille , si dimostra che il rapporto tra area e quadrato del lato rimane costante:numero fisso caratteristico per ogni poligono( numero di lati) Area / lato*lato = costante area = lato*lato*numero fisso Area = perimetro * apotema / 2 perimetro = n*lato apotema = lato*Ka( numero fisso apotema/lato) area = n*lato * lato * Ka / 2 n*Ka/2 = numero fisso in funzione della costante e numero lati=Ks Area = lato*lato*Ks

lati 3 4 5 Ka 0.289

0.5

0.688

Ks 0.433

1 1.72

Area / lato*lato = 100 / 100 = 1 Lato = 10 Area = 100 Lato al quadrato = 10*10 = 100 Rapporto area /quadrato lato = costante =1 Area / lato*lato = 400*400 = 1 Lato = 20 Area = 400 Lato al quadrato = 20*20 = 400

Numero fisso Ks = numero lati * costante apotema / 2 Ks = lati *Ka / 2

Lati 3 4 5 Ka 0.289

0.5

0.688

Ks 0.43

1 1.72

6 7 8 9 0.866 2.59

1.038 3.63

1.207 4.82

1.374 6.18

Rapporto tra area e quadrato del lato = costante 2.6

Lato*lato = 10*10 = 100 Lato = 10 Area = 260 Area / lato*lato = 260 / 100 = 2.6

Lato = 20 Area = 1040 Area / lato*lato = 1040 / 400 =2.6

Lato*lato = 20*20 = 400