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Instabilità nucleare
Nuclei stabili e instabili
I nuclei stabili sono concentrati in
una banda stretta nel piano N-Z
Tutti gli altri nuclei sono instabili
e decadono sponteneamente
 Decadimento = trasformazione per
raggiungere uno stato stabile (o più
stabile).
I processi di decadimento nucleare
sono di diversi tipi:
 Decadimento a = emissione di nuclei
di elio
 Decadimento b = emissione di
elettroni (o positroni) e neutrini
 Decadimento g = emissione di
radiazione elettromagnetica
 Fissione = scissione in 2 o piu’ nuclei
2
Decadimento b
Decadimento b-:
 Nuclei che nel piano N-Z hanno un
eccesso di neutroni rispetto a
quanto previsto dalla curva di
stabilità, tendono a “trasformare”
un neutrone in un protone

( Z , A )  ( Z  1, A )  e   e
Decadimento b+:
 Nuclei che nel piano N-Z hanno un
eccesso di protoni rispetto a
quanto previsto dalla curva di
stabilità, tendono a “trasformare”
un protone in un neutrone

( Z , A )  ( Z  1, A )  e   e
3
Cattura elettronica
Un nucleo ricco di protoni può catturare un elettrone
atomico e trasformare un protone in un neutrone
 Stesso effetto di un decadimento b+
 L’elettrone viene tipicamente catturato dalla shell K che è
caratterizzata da una funzione d’onda sensibilmente diversa da
zero nel volume del nucleo

e  ( Z , A )  ( Z  1, A )   e
 Es.
40

Ke 
40
Ar   e
4
Decadimento a
Nei nuclei piu’ pesanti del Fe e
Ni, l’energia di legame per
nucleone B diminuisce al crescere
del numero di massa A
 Nuclei con alte masse sono instabili
per fissione e decadono in 2 o più
nuclei più leggeri
 La somma delle masse dei prodotti di
decadimento deve essere minore della
massa del nucleo originale
 Caso più frequente: decadimento a 2
corpi in cui uno dei nuclei prodotti è
un nucleo di elio
Decadimento a:
( Z , A )  ( Z  2 , A  4 )  2 He
4
5
Bilancio energetico (I)
Un nucleo (Z,A) di massa M1 decade in un nucleo di massa
M2<M1 e la differenza di massa si converte in massa e
energia cinetica dei prodotti di decadimento
Il decadimento è un caso particolare di reazione nucleare
Si introduce il Q-valore di una reazione nucleare
 Differenza tra le energie (masse) dello stato iniziale e le masse
dello stato finale

i
Q    M iniz   M
j
 i
j
fin
 2
c

Nel caso di decadimento nucleare
 Una sola particella nello stato iniziale
 Perché il decadimento possa avvenire deve essere Q > 0
6
Bilancio energetico (II)
Decadimento a:


Q  M ( Z , A )  M ( Z  2 , A  4 )  M ( 2 He ) c  0
4
2
Decadimento b:
Q  M ( Z , A )  M ( Z  1, A )  m e  c  0
2
Decadimento b:
Q  M ( Z , A )  M ( Z  1, A )  m e  c  0
2
Cattura elettronica:
Q  M ( Z , A )  m e  M ( Z  1, A )  c  0
2
 Ha un Q-valore più alto del decadimento b+ e quindi più energia
cinetica a disposizione delle particelle nello stato finale
 Ci sono casi in cui la differenza di massa tra (Z,A) e (Z-1,A) è troppo
piccola per consentire il decadimento b+, ma la cattura elettronica può
invece avvenire
7
Esempi (I)
Come può avvenire il decadimento di un nucleo di
 Candidati:
23Na
 Masse in gioco:
sum =
21423.99 MeV
Nessuno dei
decadimenti è
possibile, il 23Na è
stabile
8
Esempi (II)
Come può avvenire il decadimento di un nucleo di
 Candidati:
22Na
 Masse in gioco:
Sono possibili il
decadimento b+ e la
cattura elettronica
sum =
20494.90 MeV
9
Legge del decadimento
Fin dai primi anni di studio delle sostanze radioattive si è
scoperto che:
 L'attività (definita come il numero di decadimenti nell'unità di
tempo di una sostanza) decresce nel tempo con legge esponenziale
 1900: Rutherford e Solvay, studiando quantitativamente la variazione temporale
di attività del Radio-224.
 Crookes ottenne lo stesso andamento studiando la variazione di attività del
Thorio-234
 Il processo di decadimento è
di natura casuale.
 Deve essere trattato in modo
statistico/probabilistico
 La radioattività rappresenta
un cambiamento dell’atomo
individuale
234Th
10
Legge del decadimento (I)
Ipotesi
 La probabilità di decadimento nell'unità di tempo è una proprietà
della sostanza e del processo di decadimento e non dipende dal
tempo;
 in una sostanza contenente N nuclei, la probabilità di decadimento
nell'unità di tempo del singolo nucleo non dipende da N.
Si definisce rate di transizione (w) la probabilità che uno
stato X transisca in uno stato Y in un’unità di tempo
 Nell’ambito della radioattività viene chiamato anche costante di
decadimento
La probablità di transizione nel tempo dt vale quindi
dP  w dt
 Il rate w ha dimensioni [s-1]
11
Legge del decadimento (II)
Se la sostanza contiene N nuclei e se il numero N è grande in
modo da poterlo trattare come una variabile continua  la
variazione (diminuzione) del numero di nuclei nell'intervallo di
tempo dt vale:
dN   w Ndt
Conoscendo il valore di N0 all’istante t=0 e integrando si
ottiene la legge del decadimento radioattivo
N (t )  N 0 e
wt
L’attivita’ vale quindi:
A (t )  w N (t )  w N 0 e
wt
 si misura in Becquerel (Bq) cioè numero di decadimenti al secondo
 Storicamente si è usato spesso il Curie (Ci) equivalente all’attività di
un grammo di radio che vale 3.7  1010 Bq
12
Vita media
La vita media vale:
 



t N ( t ) dt
0


0
N ( t ) dt

N 0  te
wt
dt
0

N0 e
0
wt
dt


1

w

t d (e
0


e
w t
w t
)

dt
0
1
w t
 t e
w 


0

0

e


0
wt
dt
e
w t
dt 

1
 w


e
wt
dt
0


e
w t

dt
1
w
0
Si usa spesso il tempo di dimezzamento(= tempo dopo il
quale l’attività del radionuclide è dimezzata)
t1 / 2   ln( 2 )
13
Decadimenti multi-modali (I)
Un particolare processo di decadimento si chiama canale (o
modo) di decadimento.
Consideriamo un materiale radioattivo per cui sono possibili più
modi di decadimento
 Ad esempio il 212Bi che può decadere sia a che bSi definiscono dei rate di transizione parziali (wi) per i singoli
modi di decadimento
 Siccome i canali sono indipendenti, il numero di decadimenti al sec è:


  w 1 N  w 2 N  ...  w n N     w i  N
dt
 i

dN
 Il nucleo decade quindi seguendo la legge di decadimento esponenziale
con un rate di transizione:


w    wi 
 i

14
Decadimenti multi-modali (II)
La frazione fi di nuclei che decade nel canale i si chiama
branching fraction:
fi 
wi
w
La vita media è data da:


 
   wi 
w  i

1
1
15
Decadimenti in cascata (I)
Se i nuclei prodotti nel decadimento sono instabili, essi
stessi decadono  decadimento a cascata
X A  X B  X C  ...  X N
 con XN stabile
Consideriamo come esempio il caso in cui XA->XB->XC
 Sistema di 3 equazioni differenziali
 dN A ( t )
 w A N A (t )
 dt

 dN B ( t )
 w A N A (t )  w B N B (t )

 dt
 dN ( t )
C
 w B N B (t )

 dt

w t
N A (t )  N A 0 e 1


 dN B ( t )
w At

w
N
e
 w B N B (t )

A
A0
 dt
 dN ( t )
C
 w B N B (t )

 dt
16
Decadimenti in cascata (II)
Lavoriamo sulla specie XB:
dN B ( t )
dt
e
w Bt
dN B ( t )
dt
d
dt
N
N B (t ) e
 w A N A0 e
wB e
(t ) e
B
w Bt
N B (t ) 

w Bt
w Bt
w At
 w B N B (t )
N B (t )  w A N A 0 e
 w
wA
wB  wA
wA
wB  wA
N A0 e
A
N A0 e
N A0 e
( w A w B )t
( w A w B )t
w At
( w A w B )t
 Ce
C
w B t
17
Decadimenti in cascata (III)
Il valore della costante C si ricava da NB(t=0)=NB0:
N B (0) 
wA
wB  wA
N A0  C  N B 0
C  N B0 
wA
wB wA
N A0
 Da cui:
N B (t )  N B 0 e
w B t

wA
wB  wA

N A0 e
w At
e
w B t

Caso particolare: XB stabile, quindi
wB=0

N B (t )  N B 0  N A 0 1  e
 Se NB0 = 0, allora:

 w At
N B (t )  N A 0 1  e

 w At

18
Decadimenti in cascata (IV)
Passando ai nuclei stabili XC:
dN C ( t )
dt
 w B N B (t )  N B 0 w B e

N C (t )  N C 0   N B 0 e

w B t
N C (t )  N C 0  N B 0 1  e

t
0
w B t
w B t

w Aw B
wB  wA

N A0 e
w At
e
w B t

t
t

 wA
wB
w At 
w B t 
 
N A0 e
N A0 e
 

w

w
w

w
B
A
A

0  B
0


wA
wB
w B t
w t

 N A0 1 
e

e A
wB wA
wB  wA





19
Decadimenti in cascata (V)
Nel caso particolare in cui NB0=0 e NC0=0:
N A (t )  N A 0 e
N B (t ) 
w At
wA
wB wA

N A0 e
w At
e
w B t


wA
wB
w B t
w t
N C ( t )  N A 0  1 
e

e A
wB  wA
wB wA





20
Catene di decadimenti
Per una catena di decadimenti X1 -> X2 -> … -> XN si ha:
dN 1 ( t )
dt
 w 1 N 1 (t )
dN i ( t )
...
dt
 w i 1 N i 1 ( t )  w i N i ( t )
...
dN N ( t )
dt
 w N 1 N N 1 ( t )
 dove XN è un nucleo stabile, quindi wN=0
Se per t=0 si ha: N2_0= N3_0 = … =NN_0 le abbondanze sono:

N i (t )  N 1 _ 0 C 1 e
 con:
C1 
i
C2 
i
i
 w 1t
 C 2e
i
 w 2t
 ...  C i e
i
 w it

w 1w 2 ... w i 1
(w 2  w 1 )( w 3  w 1 )...( w i  w 1 )
w 1w 2 ... w i 1
(w 1  w 2 )( w 3  w 2 )...( w i  w 2 )
...
C 
i
i
w 1w 2 ... w i 1
(w 1  w i )( w 2  w i )...( w i 1  w i )
21
Equilibrio secolare
Tornando al caso di X1 -> X2 -> X3 con X3 stabile: se 1>>2,
cioè w1<<w2, allora:
N 2 (t ) 
 cioè:
w1
w 2  w1

N 1_ 0 e
 w 1t
e
w 2t

w1
w2
N 1_ 0e
 w 1t

w1
w2
N 1 (t )
w 2 N 2 (t )  w 1 N 1 (t )
In una catena di decadimenti, quando per un elemento Xi
risulta wi<<wi+1 e <<wi+2 e … <<wN, allora tutti i nuclei che
seguono l’i-esimo decadimento hanno la stessa attività:
w i N i ( t )  w i 1 N i 1 ( t )  w i  2 N i  2 ( t )  ...  w N N N ( t )
 Questa condizione si chiama equilibrio secolare
Se la condizione è vera a partire dal capostipite X1, allora
tutta la catena radioattiva si trova in equilibrio secolare 22
Famiglie radioattive (I)
Vi sono tre famiglie radioattive presenti in natura, in
equilibrio secolare i cui capostipiti sono radionuclidi la cui
vita media è >≈ di quella della Terra (109 anni) e >> di quella
dei discendenti:
 Serie dell’Uranio
(famiglia 4n+2)
 Capostipite: 238U,
t1/2 = 4.5 109 anni
 Serie dell’Attinio
(famiglia 4n+3)
 Capostipite: 235U,
t1/2 = 7.13 108 anni
 Serie del Torio
(famiglia 4n)
 Capostipite: 232 Th,
t1/2 = 1.4 1010 anni
23
Famiglie radioattive (II)
In più, c’è una serie non più esistente in natura, che
può essere prodotta artificialmente:
Serie del Neptunio (famiglia 4n+1)
 Capostipite 241Pu
 Elemento più longevo: 237Np con t1/2 ≈ 106 anni
24
Radio-nuclidi naturali
25
Decadimento a
Caratteristiche dei decadimenti a
La maggior parte degli isotopi creati artificialmente con
numero di massa maggiore del Piombo sono emettitori a.
Non vi sono emettitori a con A<146 (146Sm, con Z=62)
 Dovuto all’andamento
dell’energia di legame
per nucleone (B/A) in
funzione di A
 Emettendo una particella a,
un sistema nucleare
guadagna energia solo se
si trova a valori di A
maggiori del massimo
della curva B/A
27
Caratteristiche dei decadimenti a
Perché il decadimento avvenga, deve essere


Q  M ( Z , A )  M ( Z  2 , A  4 )  M ( 2 He ) c  0
4
2
Energia cinetica della particella a
 Dalla conservazione dell’ impulso-energia, se il nucleo decade a
riposo:
2
0  p a  PDauNucl
Q  Ta  T DauNucl 
2
pa 
ma
1 
Q 
2 m a 
M DauNucl
pa
2 ma
2

PDauNucl
2 M DauNucl






M DauNucl
Q
Ta  Q 

 M DauNucl  m a 
28
Caratteristiche dei decadimenti a
L’energia delle particelle a emesse varia tra 4 e 9 MeV
I tempi di dimezzamento dei nuclei che le emettono variano
invece tra 1010 anni e 10-7 secondi.
 In altri termini, i rate di transizione w variano di 24 ordini di
grandezza pur trattandosi dello stesso processo fondamentale
Geiger e Nuttal osservarono fin dal 1911 una correlazione tra
l’energia cinetica della particella a e il tempo di dimezzamento
 Ad energie minori corrispondono tempi di dimezzamento maggiori e
viceversa
 Legge empirica di Geiger-Nuttal:
log w  k log Ta  c
 La relazione fu originariamente formulata usando il tempo di dimezzamento e il
range in aria (a 15°C e 1 atm) delle particelle a
log t1 / 2  K log Ra  C
 Le due formulazioni sono equivalenti se si considera che il range RaTa3/2 e quindi
log(Ra ) log(Ta)
29
Legge empirica Geiger-Nuttal (1)
log
10
t1 / 2   57 . 5 log
10
Ra  C
30
Legge empirica Geiger-Nuttal (2)
A parità di energia cinetica Ta, la vita media aumenta con peso
atomico A
31
Teoria del decadimento a
Teoria elementare sviluppata da Gamow e
indipendentemente da Condon e Gurney nel 1929
Energia potenziale U(r) per una particella a in funzione
della distanza tra la particella a stessa e il centro del
nucleo rimanente
Per r<R (R=raggio del nucleo)
 Prevalgono le forze nucleari
 Particella a in una buca di
potenziale costante a simmetria
sferica
Per r> R
 Le forze nucleari sono inefficaci
 Prevale il campo coulombiano
U (r ) 
zZe
2
4  0 r
32
Teoria del decadimento a
Due casi per l’emissione di una particella a con energa Ta:
 Ta > U(R): la particella a è libera di lasciare il nucleo e lo farà
quasi istantaneamente
 Istantaneamente = in un tempo comparabile con quello che impega la
particella a ad attraversare il nucleo: t = R/va = R*√(ma/2Ta) ≈ 10-21 s
 Ta < U(R): la particella a classicamente è confinata nel nucleo.
Quantisticamente può penetrare la barriera di potenziale per
effetto tunnel ed emergere con energia cinetica = 0 a distanza
r=b e poi muoversi a grande r dove avrà energia cinetica Ta
U (r ) 
2 Ze
2
4  0 r
U (b ) 
2 Ze
2
4 0 b

b
2 Ze
2
4 0 Ta
Free a-particle
b
33
Tunneling della barriera coulombiana (I)
Si può pensare la barriera coulombiana discretizzandola in
una serie di barriere di spessore Dr e altezza costante
Dr
Per ogni elemento discreto della barriera si può scrivere
l’equazione di Schroedinger per la componente radiale:
2
d u
dr
2

2 ma

2 ma
2
d u
dr
2


Ta u  0
(regioni
(Ta  U r ) u  0
1 e 3)
(regione
2)
34
Tunneling della barriera coulombiana (II)
La soluzione risulta:
u1  e
i
r
2 m a Ta

r
u2  a e
u3  a e
2 m a ( U 0  Ta )

i
 Be
r

i
r

2 m a Ta
b e

r

2 m a ( U 0  Ta )
2 m a Ta
 si è posto =1 il coefficiente dell’onda incidente sulla barriera
 si è considerata nella regione 3 solo l’onda uscente
 particella a che si sposta verso r crescente allontanandosi dal nucleo
 Le costanti B, a, b e a si determinano imponendo la continuità della
funzione d’onda e della sua derivata nei punti di discontinuità del
potenziale
La probabilità di trasmissione attraverso la barriera è:
PT 
u3
2
2
u 1 , inc
 a
2
 e

2

2 m a ( U 0  Ta ) D r
35
Tunneling della barriera coulombiana (III)
Sommando i contributi degli elementi Dr e passando al
continuo:
PT 


e
2

Dr
2 m a ( U 0 , r  Ta )
Dr  0
 e

2

b
R
2 m a ( U ( r )  Ta ) dr
e
G
 Dove si è introdotto il fattore di Gamow:
G 
2

 2
b
R
2 m a (U ( r )  Ta ) dr 
m a Ze
 0 
2
b
2
R
2

1 1
   dr  2
r b
b
R
2 ma (
2 Ze
2
4  0 r

2 Ze
2
4  0 b
2
m a Ze b 

 arccos
2
 0  

R
b

) dr 
2
R 

 2 
b
b 

R
 Per eseguire l’integrale si usa la sostituzione r=bcos2
36
Fattore di Gamow (1)
Nell’espressione del fattore di Gamow, appare il rapporto R/b
tra il raggio del nucleo e la distanza b a cui l’energua cinetica
della particella a equivale al potenziale coulombiano U(R)
Se U(R) >> Ta (cosa vera per tutti gli emettitori a noti) si ha
R<<b e quindi si può approssimare sviluppando in serie di
McLaurin l’arccos e la radice :
G  2
 2
2
m a Ze b 

 arccos
2
 0  

2
m a Ze b 
 

 
2
 0  
 2
R

b
R 

b 
2
R 

 2 
b
b 

R
R
1
1 
b 
2
R 

  2
b  

2
m a Ze b  
 2
2
 0   2
R 

b 
37
Fattore di Gamow (2)
Il raggio a cui la particella a esce dalla barriera e’:
b
2
2 Ze
4 0 Ta
Sostituendo:
G  2
2
m a Ze b  
 2
2
 0   2
R 

b 
m a Ze
 0 
Costante di struttura fine:
 1

2 2 2 
2   0   Ta
2
G 
ma Z e
4

4


a 
2
2
 Ze 2

 2  T
0 a

e
 0 
2
2
m a Ze R
 0 
2
2
4  0  c
2
m a Ze R

 4


 4a Z
ma c
2 Ta
2
m a c ZR a
2
8
c
38
Rate di transizione
La probabilità PT dà la probabilità di penetrazione della barriera
coulombiana per una particella a che si avvicina alla barriera
Per avere il rate di transizione, si deve moltiplicare questa
probabilità per la frequenza degli urti della particella a con la
barriera (cioe’ per il numero di “tentativi” fatti dalla particella a
di penetrare la barriera)
Nucleus
w 
va
e
G
2R
 Dove vaNucleus è la velocità della particella a nel nucleo
39
Legge di Geiger-Nuttal (1)
Nucleus
w 
va
e
G
2R
Prendendo i logaritmi si ottiene:

G 


 v aNucleus
ln w  ln 
 2R
 v aNucleus
 ln 
 2R
  4 a Z

 4 a Z






ma c
2
2 Ta

   4 a


ma c
2
2
ma c
Z
Ta
8
2 Ta
 v aNucleus
 ln 
 2R




2

8


  v Nucleus
  ln  a
  2 R
2
m a c ZR a 


c

m a c ZR a
2
c

8



2
m a c ZR a 

c

40
Legge di Geiger-Nuttal (2)
Quindi:
 vaNucleus
ln w  ln 
 2R

  G  g


Z
C
Ta
 Con:
g  4 a
ma c
2
 3 . 97 MeV
1/ 2
2
 v aNucleus
C  ln 
 2R

8


m a c ZR a
2
c
 Dove g è una costante, mentre C dipende da vaNucleus e da R e quindi
varia leggermente per i diversi emettitori a
 Non è esattamente la legge empirica di Geiger e Nuttal perché c’è
1/√Ta invece del logaritmo, ma per valori di Ta compresi tra 4 e 7 MeV
la differenza è minore del 3%
41
Considerazioni
La dipendenza trovata con il modello
Z
ln
w


g
C
elementare (che è chiaramente molto
Ta
semplificato) consente comunque di:
 Riprodurre la dipendenza osservata della vita media dall’energia della
particella a rendendo conto della variazione su più di 20 ordini di
grandezza
 Spiegare come mai l’intervallo di variazione del rate di tranzione w è
molto maggiore di quello dell’energia cinetica Ta
 Una variazione del 10% in Ta cambia il rate w di un fattore 1000
 Spiegare l’osservazione sperimentale per cui a energia cinetica Ta
costante la vita media aumenta col peso atomico.
 All'aumentare di A, aumenta sia la carica elettrica che il raggio del nucleo e quindi
aumenta il fattore di Gamow che dipende dall’altezza e dalla larghezza della
barriera di potenziale
 Spiegare come mai c’è un limite inferiore per l’energia cinetica della
particella a
 Per Ta < 4 MeV la vita media risulterebbe talmente lunga (>1018 s) da rendere questi
decadimenti difficilmente ossevabili
 Questo spiega anche come mai non ci sono nuclei emettitori a con Z<62 dove il Q
42
valore risulta minore di 2 MeV
Soglia di instabilità
A questo punto possiamo
calcolare in modo più
quantitativo i valori di A e
Z per cui il decadimento a
è possibile usando:
 Il Q valore calcolato dalla
linee a Q costante
nel piano Z-A
formula di Weizsacker per la
massa del nucleo
 La considerazione che per
Q≈Ta<4 MeV i decadimenti a
sono estremamente
improbabili
M ( A , Z )  ZM

Q  aS A
2/3
 ( A  4)
p
 ( A  Z )M
2/3
4
2/3

n
 aV A  a S A
2/3
 aC
Z
A
2
1/ 3
 aA
( A  2Z )
2
A
2
 ( A  2Z )2
 Z2
 A  2 Z  8 2 
(Z  2)
2/3 
 aC  1/ 3 
 4   aA 

1/ 3
43 
A
(
A

4
)
A
(
A

4
)




Approssimazioni (1)
Va notato che il fattore di Gamow G è grande (≈30-50) quindi
una piccola indetermiazione sui parametri comporta una grande
variazione sul rate w (e-2G)
Si è assunto che il nucleo figlio abbia massa >> della particella a.
 Questa approssimazione è facilmente correggibile usando la massa
ridotta del sistema nucleo+a [ m=maMDauNucl/(ma+MDauNucl) ] e l’energia
cinetica totale (cioe’ Q) invece di Ta.
ln w   gZ
m
 C
ma Q
Si è assunto R/b<<1, mentre si poteva usare l’espressione
completa di G
Il trattamento delle particelle a all’interno del nucleo è
semplicistico: la particella a non esiste stabilmente all’interno
del nucleo
 Un trattamento corretto richiederebbe di usare la funzione d’onda di
tutti i nucleoni nel nucleo “genitore” e calcolare l’ampiezza di
probabilità di trovare una particella a e il nucleo “figlio”.
 Non è possibile fare questo trattamento in modo rigoroso
44
Approssimazioni (2)
La probabilità di trovare una particella a nel nucleo è diversa
tra nuclei pari-pari, pari-dispari e dispari-dispari
 A parità di altre condizioni, i rate di transizione osservati in nuclei
pari-pari sono più alti che negli altri tipi di nuclei
I dettagli della struttura nucleare influiscono sul rate di
transizione w attraverso l’energia di legame per nucleone
 Ad esempio, nel modello a shell si ha la “chiusura” di una shell nucleare
quando N = 126 (numero magico)
 Un nucleo genitore con N=128 avrà un Q-valore per il decadimento a
molto più alto (di molti MeV) di un nucleo con lo stesso Z ma con
N=126
La forma del potenziale assunto è chiaramente idealizzata
 Il fatto che w sia estremamente sensibile a piccole variazioni di Ta
suggerisce che questo sia un effetto importante
Si è assunto che il potenziale nucleare abbia simmetria sferica
 Tuttavia si sa che molti dei nuclei più pesanti del Pb sono deformati e
questo può influire sul rate di transizione
45
Barriera di potenziale centrifugo
Quando il nucleo “genitore” e il nucleo “figlio” hanno spin
diverso
 Lo spin di un nucleo è dato dalla somma vettoriale dei momenti di
spin e momenti angolari dei nucleoni che lo costituiscono
 Sono catatteriazzati da numeri quantici jP jD che sono entrambi
numeri interi per nuclei con A pari e semi-interi per nuclei con A
dispari
Siccome la particella a ha spin 0, e il momento angolare
deve essere conservato, la particella a deve essere
emessa con un momento angolare orbitale non nullo
relativamente al nucleo “figlio” che rincula
 Il momento angolare orbitale della particella a è caratteriazzato
da un numero quantico l che deve essere un numero intero 0.
Conservazione del momento angolare:
jD  jP    jD  jP
46
Momento angolare
Nel caso in cui la particella a venga emessa con l 0,
l’equazione di Schrodinger è:


2
2



2 Ze
  (r ) 
 (r )  Q  (r )
4 0 r
2
2 ma
Separando le variabili si scrive:

u (r )
 ( r )   ( r )Y (cos  ,  ) 
Y (cos  ,  )
r
 La parte angolare ha come soluzione le funzioni armoniche sferiche
Ylm(cos,)
L’equazione di Schrodinger per la componente radiale
diventa:


2
2 ma
2
d u (r )
dr
2
2
 2 Ze 2
 (   1) 


2
4

r
2 ma r
0


u ( r )  Q u ( r )

47
Barriera di momento angolare
Nel caso in cui la particella a venga emessa con l 0, la
barriera dipotenziale a distanza r risulta:
 (   1) 
0
U ( r )    U ( r ) 
2
2 ma r
2
ed è maggiore di quella coulombiana di un termine
l(l +1)ħ2/2mar2
detto barriera centrifuga
La barriera centrifuga dovuta al momento angolare
 Rende la barriera più difficile da superare per effetto tunnel
 Riduce i rate di transizione e quindi aumenta le vite medie
48
Barriera centrifuga
Considerazioni quantitative sulla barriera centrifuga
V (r ) 
2 Ze
2
4 0 r

 (   1) 
2 ma r
2
2
 L’effetto di variazione del potenziale è piccolo
l
 Esempio per =2, Z=90 a distanza r=15 fm il termine coulombiano vale 17.3
MeV, mentre quello centrifugo vale 0.14 MeV (meno dell’1%)
 Tuttavia, un aumento dell’1% del fattore di Gamow porta ad un
aumento di un fattore 2-3 del rate di transizione
 Esempio: Valori numerici calcolati da Blatt e Weisskopf nel 1952 per il caso di
un decadimento a con Z=86, Ta=4.88 MeV, R=9.87 fm
l
0
1
2
3
4
5
6
wl /w0
1.0
0.7
0.37
0.137
0.037
0.0071
0.0011
49
Barriera centrifuga e decadimenti
Consideriamo il decadimento a:
242
94
Pu 
238
92
U a
(  373000
y)
che può avvenire sullo stato fondamentale del
tre stati eccitati
 Il modo dominante è quello nello
238U
o in uno dei
stato fondamentale con spin 0
 I decadimenti sugli stati eccitati
sono meno probabili per il minor Q
e perché il valore di l aumenta
 Dalla teoria elementare con sola
barriera coulombiana ci si aspetta:
 4 Z a
w6
w0

2
2 Ta , 0
e
 4 Z a
e
ma c
ma c
2
 5 . 4  10
3
2 Ta , 6
 Il valore misurato è 2.010-5, quindi l’effetto della barriera centrifuga
è un fattore 2/540=0.0037, simile a quanto previsto da Blatt e
Weisskopf
50
Fissione spontanea
Fissione spontanea di nuclei
Fissione spontanea = un nucleo pesante decade in due (o
più) nuclei più leggeri e (spesso) dei neutroni liberi
 Nel caso del decadimento a, è la grande energia di legame della
particella a (B/A=7.08 MeV) che rende possibile il decadimento
La barriera di potenziale da superare per avere fissione
spontanea è così alta che queste reazioni di fissione sono
in generale estremamente improbabili
 Il nucleo più leggero in cui si osserva fissione spontanea è il 226Ra
 I nuclidi più leggeri per i quali la probabilità di fissione spontanea è
paragonabile a quella di decadimento a sono certi isotopi
dell’uranio.
 Caso del 238U: la probabilità di decadimento a per unità di tempo è wa=5·10-18
s-1, mentre quella per fissione spontanea è wfiss=3·10-24 s-1, con un
rapportowfiss/wa di circa 6·10-7.
 All’aumentare del numero di massa A aumenta il branching ratio
per fissione spontanea e la fissione spontanea diventa dominante
per A > 260.
52
Fissione spontanea di nuclei
Fissione spontanea = un nucleo pesante decade in due (o
più) nuclei più leggeri e (spesso) dei neutroni liberi
 Nel caso del decadimento a, è la grande energia di legame della
particella a (B/A=7.08 MeV) che rende possibile il decadimento
 I nucleoni nel 12C sono più legati (B/A=7.6 MeV) che nella particella
a e quindi il decadimento in 12C è energeticamente possibile nei
nuclei pesanti
 Il rate di fissione
spontanea e’
significativamente alto
in nuclei più pesanti
del Torio e soprattutto
nei transuranici
53
Fissione spontanea
Caratteristiche:
 I prodotti di fissione sono normalmente lontani dalla curva di stabilità
dei nuclei (per eccesso di neutroni) e per raggiungere la stabilità
avvengono poi diversi decadimenti b La produzione di frammenti con uguale (o quasi uguale) numero di
massa è poco probabile, l’esito più comune è una fissione asimmetrica
 Il valore più probabile di differenza di numero dimassa tra i prodotti di fissione è
circa 45
54
Modello per la fissione spontanea
Dal modello a goccia:
 Variazione di energia di legame se il nucleo si deforma da sfera a
ellissoide, mantenendo il volume costante (piccola deformazione)
a  R (1   )
a
b
b
R
V 
4
3
 ab
2

3
  R (1   ) 
3

4
2
4

3
  R
3
1  
1
1 
 Effetto sul termine Coulombiano e sul termine di superficie

R  R (1   )
aS  R

aC  R
a S  a S (1   )  a S (1  2  )
2
2
1
aC  aC
1
1 
 a C (1   )
 Variazione dell’energia di legame (attenzione: molto approssimata!)
2
2




Z
Z
2/3
2/3
D M  M ( )  M (  0 )    2 a S A
 aC 1/ 3   A 2 a S  aC

A
A




55
Modello per la fissione spontanea
Basato sul modello a goccia:
 Potenziale in funzione della distanza tra i due frammenti all’interno
del nucleo genitore determinato da due forze antagoniste: tensione
superficiale e repulsione coulombiana
 A piccole separazioni domina la tensione superficiale e l’energia di legame diminuisce
se il nucleo si deforma da sferico a prolato
 Quando la deformazione aumenta si può raggiungere un punto in cui il nucleo si
spezza in due parti
E’ un problema di
penetrazione di una
barriera di potenziale
 L’altezza della barriera si
chiama energia di
attivazione e vale 6-8
MeV per A=238 e
diminuisce al crescere di
Z2/A
 Per Z2/A>49 fissione
immediata
 Per il Fermio (Z=100)
Z2/A~39-40
VC ( s ) 
deformation
Break-up
Z 1Z 2e
2
4 0 s
Separation
56