Transcript Elliptiset jakaumat - Aalto

Elliptiset jakaumat
Esitys 6
kpl 3.3-3.5
28.9.2011
Tuomas Nikoskinen
Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään.
Päivän teemat
• Pallosymmetriset jakaumat
– Johdantona elliptisille jakaumille
• Elliptiset jakaumat
• Elliptisyyden testaaminen
Pallosymmetria
Jakauma
Tasa-arvokäyriä
Pallosymmetria
Määritelmiä 1
• Satunnaisvektori
pallosymmetrisesti jakautunut
1. Olemassa karakteristinen generaattori
ja merkitään
2. Lineaarikombinaatiot myös pallosymmetrisiä
3. Tiheysfunktio
muotoa
Pallosymmetria
Määritelmiä 2
• Jos X pallosymmetrinen, se voidaan esittää myös
– S tasajakautunut yksikköympyrälle
– R radiaalinen satunnaismuuttuja (säteen pituus)
– R ja S riippumattomia toisistaan
• Oletetaan
, silloin
– Pohjana myöhemmin elliptisyyden numeeriselle testaamiselle
Pallosymmetriasta elliptisyyteen
Y
u + AY
Affiinimuunnos
Pallosymmetriasta elliptisyyteen
Elliptiset jakaumat
Formaalisti
•
elliptisesti jakautunut, jos
• Karakteristinen funktio
• merkintä tapa
Elliptiset jakaumat
• Muistetaan
, jolloin
(1)
– S tasajakautunut yksikköympyrälle
– R radiaalinen satunnaismuuttuja
• Ratkaisemalla yhtälöstä (1)
– Elliptisyyden testaaminen pallosymmetrian avulla
– Yleinen tiheysfunktion muoto elliptiselle
Elliptiset jakaumat
• Elliptiselle :
• Pallosymmetrisesti jakautuneen tiheysfunktio muotoa
• Yleinen muoto elliptisen jakauman tiheysfunktiolle
Data elliptistä?
• Onko havaittu data X elliptistä?
– Tarvitaan estimaattorit
– Testataan
, ja
Elliptiset jakaumat
Parametrien estimointi: M-estimaattorit
• Yksinkertainen iteratiivinen prosessi, tuloksena robustit
estimaattorit
ja
• Jokaiselle havainnolle Xi lasketaan suure
• Estimaattoreiden päivitys painotettuna otoskeskiarvona
ja kovarianssimatriisina
– Painot
ja
pienentävät suuren
saaneiden havaintojen merkitystä
arvon
Elliptiset jakaumat
Parametrien estimointi: Kendall’s tau
• Keino estimoida korrelaatio
satunnaismuuttujan välille
kahden
– Tämä muoto elliptisesti jakautuneille
–
teoreettinen korrelaatio, joka voidaan laskea standardi
estimaattorilla (kirja 5.50)
• Muunnetaan kovarianssimatriisiksi esim.
Elliptiset jakaumat
Estimaattoreiden robustisuus - esimerkki
0.0 0.5 1.0
-1.0
Pearson
• Elliptisestä 2 muuttujan t-jakaumasta estimoitu
korrelaatiota, (kirja ex. 3.31)
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
2000
2500
3000
0.0 0.5 1.0
-1.0
Kendall-Transform
Index
0
500
1000
1500
Index
Elliptisyyden testaaminen
• Onko data
kun on estimoitu
ja
• 3 lähestymistapaa
1. Vakio korrelaatio
2. Kvantiili-Kvantiili tarkastelu
3. Numeerinen testaus
Elliptisyyden testaaminen
Vakio korrelaatio
• Estimoidaan korrelaatio
annettuna ellipsi
• Jos data elliptistä, korrelaation tulisi pysyä vakiona c
arvoa kasvatettaessa
• ”Elliptiset tasa-arvokäyrät samanmuotoiset, vain skaala
muuttuu”
• Tulokset tulkitaan graafisesti piirtämällä
korrelaatioestimaatti määrätyn ellipsin ulkopuolelle
jääneiden pisteiden funktiona
Elliptisyyden testaaminen
Kvantiili-Kvantiili
• Ideana testata Y:n pallosymmetrisyyttä
• Toteutetaan vertaamalla testisuureen T(Y)
ja Y:n kvantiili-kvantiili kuvaajaa (QQplot)
• Kun
, voidaan T(Y) valita esim s.e.
• Tästä helppo laskea teoreettiset kvantiilit ja verrata niitä
empiiriisiin datasta laskeuttuihin
Elliptisyyden testaaminen
Numeerinen testaus
• Ideana testata Y:n pallosymmetrisyyttä
• Merkitään
ja
ja selvitetään
1. Onko S tasajakautunut yksikköympyrälle?
•
Kolmogorov-Smirnov test
2. Ovat R ja S riippumattomia?
•
Spearman’s rank correlation coefficient
• Jos vastaus yllä oleviin kysymyksiin 1 ja 2 on kyllä, data
on elliptisesti jakautunut
Kotitehtävä
Onko havaittu data elliptisesti jakautunut?
• Generoi elliptisesti jakautunut 2 ulotteinen datajoukko X
– (esim. t-jakaumasta, ks. ?rmt)
• Estimoi
ja
(tyyli vapaa)
• Ota X:stä muunnos Y (ks. kalvo 18)
• Testaa X:n elliptisyys (siis Y:n pallosymmetrisyys)
numeerisesti
– Kalvon 18:n testi
• Raportoi käyttämäsi koodi ja sopivat kuvaajat
• HUOM! R:ssä matriisi potenssi hankala, lataa paketti
”expm”, jolle: %^% ottaa matriisi potenssin