Transcript Standardimenetelmät markkinariskien mallintamiseen - Aalto

Standardimenetelmät
markkinariskien mallintamiseen
Elina Lepomäki
14.9.2011
Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään.
Yhteenveto
•
•
Rahoitusmarkkinoilla käytetään erilaisia menetelmiä markkinariskin mittaamiseen
lyhyellä aikavälillä
Ongelma yhtenevä tappiojakauman mallintamisen kanssa
Lt 1  l[t ] ( X t 1 )
–
•
•
•
Missä X t 1 on vektori riskitekijöiden muutoksista ajanhetkestä t ajanhetkeen t+1 ja
tappio-operaattori ajanhetkellä t
l[t ] on portfolion
Riskimittarit Value-At-Risk (VaR) ja odotettu vaje (expected shortfall)
Riskien mittaamisessa on olennaista käytetäänkö ehdollistamatonta vai ehdollista
tappiojakaumaa
Menetelmät:
–
–
Varianssi-kovarianssi, historiallinen simulaatio, Monte Carlo, Usean periodin tappiot ja skaalaus
Näiden yhteydessä usein sovellettu ennustekyvyn testaus (backtesting)
Varianssi-kovarianssi
•
Oletus. Riskimuuttujien muutokset noudattavat monimuuttujaista normaalijakaumaa
X t 1 ~ N d ( , )
–
•
•
Missä μ on keskiarvo-vektori ja Σ kovarianssimatriisi
Oletus. Lineaarinen tappio riskitekijöiden osalta on riittävän tarkka approksimaatio
todellisesta tappiosta
l[t ] ( x)  (ct  btx)
–
Lineaarinen tappio-operaattori
–
Missä ct on vakio ja bt vakiovektori
Yleisistä lineaarikombinaatioiden keskiarvoa ja varianssia koskevista säännöistä
saadaan
Lt 1  l[t ] ( X t 1 ) ~ N (ct  bt, bt  bt )
•
•
Tästä tappiojakaumasta on helppo laskea VaR ja odotettu vaje
Menetelmän hyvät ja huonot puolet
–
–
–
Yksinkertainen analyyttinen ratkaisu
Linearisaatio ei tarpeeksi hyvä approksimaatio tappiojakauman ja riskitekijöiden muutosten suhteesta
Normaalisuusoletus ei välttämättä realistinen riskitekijöiden muutoksille, etenkään päivätasolla
Historiallinen simulaatio (1/2)
•
•
Sen sijaan että estimoidaan tappiojakaumaa parametrimallin avulla, tappiojakaumaa
haetaan riskitekijän historiallisen (empiirisen) jakauman avulla
Muodostetaan yhden muuttujan datajoukko: lisätään tappio-operaattori jokaiseen
riskimuuttujien muutosvektorin historialliseen havaintoon
~
{LS  l[t ] ( X S ) : s  t  n  1,...,t}
•
•
•
~
Ls :n arvot kertovat mitä nykyiselle portfoliolle tapahtuu mikäli päivän s
riskitekijämuutokset toistuvat
Ehdollistamaton menetelmä
Jos oletetaan, että riskitekijöiden muutokset ovat stationäärisiä jakaumafunktiolla Fx,
silloin datan empiirinen jakaumafunktio on Fx:n konsistentti estimaattori
–
Tällöin tappioiden jakaumafunktio on tappio-operaattoreiden konsistentti estimaattori Fx:ssä
Historiallinen simulaatio (2/2)
•
•
Käytännössä esimerkiksi VaR estimoidaan empiirisellä kvantiili-menetelmällä jossa
tappiojakauman teoreettisia kvantiileja estimoidaan datan kvantiiliotoksilla
Merkitään datan järjestetyt alkiot
~
~
Ln,n  ...  L1,n
–
–
•
~
Tällöin VaR (L) :n mahdollinen estimaattori on L[ n (1 )], n , missä [n(1-α)] merkitsee suurinta n(1-α)
pienempää kokonaislukua
Esimerkki: n=1000, α=0.99, VaR estimoidaan ottamalla 10:ksi suurin arvo
Menetelmän hyvät ja huonot puolet
–
–
–
Helppo ottaa käyttöön, redusoi riskimittarin estimoinnin yksiulotteiseksi ongelmaksi; ei tarvita X:n
monimuuttujajakauman estimointia eikä riskimuuttujien riippuvuuksista tarvita oletuksia
Vaikeuksia voi olla löytää tarpeeksi historiallista dataa
Ehdollistamaton menetelmä: ehdollinen menetelmä yleensä sopivampi päivittäisen markkinariskin hallintaan
Monte Carlo
•
•
Simuloidaan eksplisiittinen parametrimalli riskitekijän muutoksille
1. askel: mallin valinta ja sen kalibrointi historialliseen dataan
2. askel: generoidaan m riippumatonta riskitekijän muutostoteumaa
Historiallisen simulaatiomenetelmän tavoin tappio-operaattori liitetään simuloituihin
vektoreihin, jotta saadaan simuloidut toteumat tappiojakaumasta
~
~
{Lt(i )1  l[t ] ( X t(i 1) ) : i  1,...,m}
•
Menetelmän hyvät ja huonot puolet
–
–
–
–
–
Historiallisen simulaatiomenetelmään verrattuna voidaan simuloida enemmän mahdollisia toteutumia m
kuin mikä oli alkuperäisen historiallisen datan lukumäärä n
Ei ratkaise ongelmaa löytää monimuuttujainen jakauma X t 1 :lle
Kaikki saadut tulokset ovat korkeintaan yhtä hyviä kuin malli jota käytetään
Markkinariskien yhteydessä jokin dynaaminen malli on yleensä toimivin (lisäksi GARCH ja esimerkiksi jokin
paksuhäntäinen monen muuttujan ehdollinen jakauma)
Suurille portfoliolle Monte Carlosta aiheutuva laskentatkustannus voi olla liian raskas
Usean periodin tappiot ja skaalaus (1/2)
•
•
•
•
Toistaiseksi käsitelty yhden periodin tappiojakaumia ja niiden riskimittareita
Tarve on kuitenkin mallintaa myös pidemmän aikavälin muutoksia
Skaalaus: yksinkertaiset säännöt yhden periodin riskimittareiden muuntamiselle hperiodisiksi (h>1)
)
Merkitään tappio h periodin yli L(h
t  h :lla
h
( h)
t h
L
–
•
Missä
: l ( X t i )
l[(th] )
(h)
[t ]
i 1
on tappio-operaattori h periodille ajanhetkellä t
(h )
Kysymys kuuluu miten Lt  h :lle käytetyt riskimittarit skaalautuvat h:n mukana
–
–
Vastaus ei ole yksinkertainen paitsi erikoistapauksissa
H-periodillinen tappio-operaattori eroaa yksiperiodillisesta silloin kun siirtymä riippuu eksplisiittisesti ajasta
(esim. johdannaisportfoliot)
Usean periodin tappiot ja skaalaus (2/2)
•
Esimerkki. Ajan neliöjuuri –skaalaus
–
•
Skaalaussääntöä käytetään paljon, etenkin varianssi-kovarianssi-menetelmän
yhteydessä
–
–
–
•
Jakauman kvantiilit sekä odotetut vajeet skaalautuvat alemmalle frekvenssille ajan neliöjuuren mukaan
Empiirinen data ei kuitenkaan tue riskitekijöiden muutosten normaaliutta tai oletusta riippumattomista ja
identtisesti jakautuneista muuttujista (iid)
Vaikka rahoitusriskitekijöiden muutokset ovatkin usein (vähäisesti) korreloituneita, niin niiden volatiliteetti ei
ole vakio. Jälkimmäinen havainto on ristiriidassa iid-oletuksen kanssa
Järkevämpien mallien aikaansaamiseksi kaivataan dynaamisia aikasarjamalleja esim. GARCH
Myös Monte Carlo –menetelmää käytetään usein h-periodillisen tappiojakauman
riskimittareiden selvittämiseen
–
–
–
(Dynaaminen malli) Simuloidaan riskimuuttujaprosessin tulevaisuuden polkuja
Lisätään h-periodillinen tappio-operaattori dataan
Monte Carlo –simuloituja tappioita käytetään tilastollisten päätelmien tekemiseen tappiojakaumasta ja
siihen liittyvistä riskimittareista
Backtesting
•
Edellä esitettyjä menetelmiä voi vertailla kehityksen tiedon valossa
–
–
•
Ajanhetkellä t tehdään VaR- ja odotettu vaje –estimaatit (ES) yhdelle sekä h periodille
Ajanhetkellä t+1 ja t+h voidaan selvittää mitä todellisuudessa tapahtui
Todennäköisyys VaR:n rikkeelle (violation), seuraa määritelmästä
P(Lt h  VaRt h )  1  
•
Indikaattorit VaR-estimaattien rikkeestä
Iˆt 1 : I
•
t
{ Lt 1 VaR }
, Iˆt(h1) : I
t h
{ L(t hh) VaR }
1
Mikäli estimointimenetelmät ovat järkeviä, indikaattorit käyttäytyvät kuin satunnaiset
Bernoulli-muuttujat joilla erotus (rike)
Kotitehtävä
•
•
•
•
•
Valitse kaksi riskitekijää A ja B joista sinulla on saatavilla n havainnon historiallinen
aikasarja (esim. jonkin osakkeen tai hyödykkeen hinta) ja kalibroi näihin sopivat
parametrimallit
Oleta salkku, jossa 50% riskitekijää A ja 50% riskitekijää B
Simuloi mallin avulla m toteumaa salkun arvosta (m > n)
Laske salkun tappiojakauma ja valitsemasi riskimittarit
Dokumentoi askeleet kaavioin ja R-komennoin