Transcript Riippuvuuden mittarit - Aalto

Riippuvuuden mittarit
Dependence Measures
Normal Mixture Copulas
Kpl 5.2-5.3.4
Kaisa Parkkila, 19.10.2011
Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään.
Riippuvuuden mittarit
2
Gaussinen
Meta-Gumbel
Meta-Clayton
Meta-normaali
3
Normaalit sekoitekopulat
• Tärkeitä markkinariskin
mallinnuksessa.
• Käytetään aina, kun
normaalisia sekajakaumia
sovitetaan moniulotteisiin
jakaumiin.
Li’n malli
4
Kuva kopioitu lähteestä:
http://blogs.reuters.com/felixsalmon/2011/05/13/the-gaussiancopula-function-tattoo/
Vino normaali
sekoite kopula
• Kopula funktio
normaaliselle sekoite
jakaumalle, joka ei ole
elliptisesti symmetrinen.
Esimerkiksi vino tkopula.
• Mahdollistaa
asymmetrisyyden, missä
eri ”kulmissa” jakaumaa
on erilainen
häntäriippuvuus.
5
Kuva kopioitu lähteestä:
”The t copula and related copulas”,
Demarta, S. and McNeil, A.J.,
International Statistical Review, 2005
Riippuvuuden mittarit
• Pearsonin lineaarinen korrelaatiokerroin (Pearson linear
correlation)
• Järjestyskorrelaatiokertoimet (rank correlation)
– Kendallin järjestyskorrelaatiokerroin (Kendall’s tau)
– Spearmanin järjestyskorrelaatiokerroin (Spearman’s rho)
• Häntäriippuvuuden kertoimet (coefficients of tail
dependence)
6
Lineaarinen korrelaatio
7
Lineaarinen korrelaatio
• Järkevä ainoastaan elliptisten mallien yhteydessä, joille
keskiarvo ja varianssi määrittelevät rajajakaumat ja
kopulafunktiot riippuvat ainoastaan
korrelaatiomatriisista.
• Määritelty ainoastaan äärellisten varianssien
tapauksessa
– Ongelma, jos jakaumalla on paksut hännät
• Summan VaR ei ole määritetty rajajakaumien ja
parittaisten korrelaatioiden avulla yleisesti.
8
Lineaarinen korrelaatio
9
Järjestyskorrelaatiokertoimet
• Järjestyskorrelaatiokertoimet ja häntäriippuvuuden
mittarit ovat kopuloihin perustuvia riippuvuuden
mittareita. Niitä voidaan käyttää kopulafunktioiden
parametrisoinnissa.
• Riippuvat ainoastaan kopuloista, eivät reunajakaumista.
– Invariantteja aidosti kasvavien transformaatioiden (myös eilineaaristen) suhteen.
• Vain aineiston järjestys (rankit) vaikuttavat.
10
Järjestyskorrelaatiokertoimet
Kendallin järjestyskorrelaatiokerroin
Concordant
11
Disconcordant
Järjestyskorrelaatiokertoimet
Spearmanin järjestyskorrelaatiokerroin
12
Järjestyskorrelaatiokertoimet
13
Häntäriippuvuuden kertoimet
Tarjoavat mittarin häntien riippuvuudella (extremal dependence)
kvantiilien ylitysten avulla.
14
Häntäriippuvuuden kertoimet
15
Standard normal
margins
Student tmargins
Elliptisiä
16
Kuva kopioitu lähteestä:
”The t copula and related copulas”,
Demarta, S. and McNeil, A.J.,
International Statistical Review, 2005
Standard normal
margins
Student tmargins
Eivät elliptisiä, eikä
välttämättä lineaarista
50% korrelaatiota,
sillä reunajakaumat
vaikuttavat
lineaariseen
korrelaatioon.
17
Kuva kopioitu lähteestä:
”The t copula and related copulas”,
Demarta, S. and McNeil, A.J.,
International Statistical Review, 2005
Tulkinta yhdistetystä
häntäriippuvuudesta
18
Häntäriippuvuuden kertoimet
• Gaussin kopula on asymptoottisesti riippumaton
molemmissa hännissä ja t-kopulalla on sekä ylä- että
alahäntäriippuvuutta.
• Riippumatta siitä kuinka suuri korrelaatio valitaan
Gaussisen jakauman tapauksessa ääri ilmiöt tapahtuvat
riippumattomasti rajalla.
19
Häntäriippuvuuden kertoimen
laskeminen Gumbelin kopulalle
20
Häntäriippuvuuden kertoimen
laskeminen Gumbelin kopulalle
L’Hôpitalin sääntö
21
Kotitehtävä
22