Transcript TSA_11

TEORIA SISTEMELOR
AUTOMATE
Prof. dr. ing. Valer DOLGA,
Cuprins_11
1.
2.
Abaterea de regim stationar
Exemple
Prof. dr. ing. Valer DOLGA
2
Introducere
Soluţia unei ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi:
•O componentă tranzitorie;
•O componentă staţionară.
În cazul sistemelor automate este de dorit a se stabili abaterile staţionare
generate de de mărimea de intrare.
Abaterea staţionară = mărimea de ieşire staţionară prescrisă – mărimea de
ieşire reală
Cerinţe de proiectare pentru un sistem de reglare automat:
•Sensibilitate;
•Stabilitate;
•Abaterile la frecvenţă joasă;
•Precizie;
•Abaterile staţionare etc
Prof. dr. ing. Valer DOLGA
3
Eroarea de regim stationar
x +
e
y
G (s )
Transformata Laplace a abaterii este:
X ( s)
E (s) 
1  G(s)
E ( s)  X ( s)  Y ( s)
Se consideră adecvate pentru proiectarea sistemelor automate trei tipuri
de funcţii de intrare:
•Funcţia treaptă de poziţie:
xA
•Funcţia rampă de poziţie (funcţia treaptă de viteză):
•Funcţia treaptă de acceleraţie
x  vt
1 2
x  at
2
Prof. dr. ing. Valer DOLGA
4
Teorema valorii finale – permite determinarea funcţiei de timp la
momentul t → ∞
lim y(t )  lim sY (s)
t 
s 0
Teorema valorii iniţiale – permite determinarea funcţiei de timp la
momentul t → 0
lim y(t )  lim sY ( s)
t 0
s 
K 1s  1 3 s  1   
G( s)  n
s  2 s  1 4 s  1   
n= 0 – sistem tip “zero”
n= 1 – sistem tip “1”
n= 2 – sistem tip “2”
…
Prof. dr. ing. Valer DOLGA
5
Abaterea staţionară pentru o funcţie treaptă aplicată unui sistem
închis
X ( s)  L
A
A

s
 0  lim  (t )  lim s  E ( s)  lim s 
t 
s 0
s 0
A
A
A
s 

1  G ( s) lim
1  lim G ( s)
s 0 1  G ( s )
s 0
sistem tip “0”
A
A
0 

1  lim G ( s) 1  K
s 0
sistem tip “1”
lim
s 0
K
G( s) 

0 1
0 
A
1  lim G( s)

A
0
1 
s 0
Prof. dr. ing. Valer DOLGA
6
sistem tip “2”
lim
s 0
0 
G( s) 
K

0 1
A
1  lim G( s)

A
0
1 
s 0
OBS.:
•Pentru un sistem tip 0 , abaterea este finita si depinde de valoarea
semnalui treapta si amplificarea K a obiectului reglat;
•Pentru sistemul tip 1, 2, …abaterea stationara in timp la semnal
treapta este zero
Prof. dr. ing. Valer DOLGA
7
Exemplu_1
Prof. dr. ing. Valer DOLGA
8
Prof. dr. ing. Valer DOLGA
9
Abaterea staţionară pentru o funcţie rampa aplicată unui sistem
închis
X ( s)  L vt 
v
s2
v
 0  lim  (t )  lim s  E (s)  lim
t 
s 0
s 0
2
v
v
s
s
 lim

1  G( s) s0 s  sG ( s) lim sG ( s)
s 0
v
0 
Kv
sistem tip “0”
0 
v
v


lim sG(s) 0  K
Kv  0
s 0
Prof. dr. ing. Valer DOLGA
pentru un sistem tip 0 ,
abaterea este infinită;
acest sistem nu poate
urmări urmări o funcţie
rampă
10
Exemplu_2
Prof. dr. ing. Valer DOLGA
11
sistem tip “1”
lim
s 0
K
sG ( s)   K
1
0 
v
v

lim sG (s) K
Kv  K
s 0
OBS.: pentru un sistem tip 1, abaterea este
proporţională cu viteza;
sistem tip “2”
lim
s 0
K
sG ( s) 

0 1
0 
v
v
 0
lim sG (s) 
Kv  
s 0
OBS.: un sistem tip 2 sau ordin superior, abaterea este
zero; aceste sisteme urmăresc funcţia rampă cu precizie
Prof. dr. ing. Valer DOLGA
12
Exemplu_3
Prof. dr. ing. Valer DOLGA
13
Prof. dr. ing. Valer DOLGA
14
Abaterea staţionară pentru o funcţie parabolica aplicată unui sistem
închis
 n  n!
F ( s)  L t   n1
  s


2
1
 a
X (s)  L  at   3
s


2

a
 0  lim  (t )  lim s  E ( s)  lim
t 
s 0
s 0
3
a
a
s
s
 lim 2 2

1  G( s) s0 s  s G( s) lim s 2G( s)
s 0
a
0 
Ka
Prof. dr. ing. Valer DOLGA
15
sistem tip “0”
0 
lim
s 0
a
a


2
0

K
s G( s)
Ka  0
OBS.: pentru un sistem tip 0 , abaterea este infinită; acest
sistem nu poate urmări urmări o funcţie treaptă de
acceleraţie
•sistem tip “1”
lim
s 0
0 
K
s G( s)  0   0
1
2
lim
s 0
Ka  0
a
a
 
2
s G( s) 0
OBS.: pentru un sistem
tip 1, abaterea este
infinită;
Prof. dr. ing. Valer DOLGA
16
sistem tip “2”
lim
s 0
K
s G( s)   K
1
2
0 
lim
s 0
a
a

s 2G ( s ) K
Ka  K
OBS.: un sistem tip 2 sau ordin superior, abaterea
este proporţională cu acceleraţia
Denumire
Intrare
Abaterea
Treaptă
u(t )
A
1
1 K p
Rampă
tu (t )
1
KV
1
Ka
vt
Parabolă
1
u (t )t 2
2
1 2
at
2
Sistem
tip “0”
Const. Eroare
1
K p K
1 K
Sistem
tip “1”
Const. Eroare
0
Kp  
Sistem
tip “2”
Const. Eroare
0
Kp  
Kv  0
Kv  K
Kv  
0
Ka  K
1
Ka
Ka  0


Ka  0
Prof. dr. ing. Valer DOLGA
1
KV

17
Exemplu_4
X (s) 
1
s
G(s) 
4
s 2  6s  8
X ( s)
E (s) 

1  G( s) 1 
1
s
4
s 2  6s  8
 0  lim sE ( s)  lim
s 0
s 0
1 s 2  6s  8
  2
s s  6s  12
1 s 2  6s  8
8 2
s  2


s s  6s  12 12 3
Prof. dr. ing. Valer DOLGA
18
Exemplu_5
Să se determine eroare staţionară pentru intrările:
10u (t )
X(s)
50s  4 
s  5s  6
+
10tu (t )
Y(s)
-
10t 2u(t )
Funcţia de transfer a sistemului este
50( s  4)
G(s) 
( s  5)(s  6)
10
X(s)  L 10u (t ) 
s
Prof. dr. ing. Valer DOLGA
19
10
X ( s)
1 10( s 2  11s  30)
s
E ( s) 

  2
1  G( s) 1  50( s  4)
s s  61s  230
( s  5)(s  6)
 0  lim sE (s)  lim
s 0
s 0
1 10( s 2  11s  30) 300 30
s  2


s s  61s  230
230 23
10
X(s)  L 10tu(t )  2
s
10
2
2
X ( s)
1
10
(
s
 11s  30)
s
E ( s) 

 2 2
1  G( s) 1  50( s  4)
s
s  61s  230
( s  5)(s  6)
Prof. dr. ing. Valer DOLGA
20
 0  lim sE ( s)  lim
s 0
s 0

1 10( s 2  11s  30) 1 300
s 2  2
 

s
s  61s  230 0 230

2! 20
X(s)  L 10t u (t )  10  3  3
s
s
2
20
2
3
X ( s)
1
20
(
s
 11s  30)
s
E ( s) 

 3 2
1  G( s) 1  50( s  4)
s
s  61s  230
( s  5)(s  6)
 0  lim sE ( s)  lim
s 0
s 0
1 20( s 2  11s  30) 1 600
s 3  2
 

s
s  61s  230
0 230
Prof. dr. ing. Valer DOLGA
21
Exemplu_6
Sistemul din figura are o eroare staţionară permisă de 15 %. Să se
determine valoare K pentru cazul dat.
X(s)
E(s)
+
K s  4
s s  5s  6 ( s  7)
Y(s)
-
•Sistem tip “1”
•Posibilă aplicarea unei intrări de tip rampă;
1
0 
 0.15
KV
1
KV 
 6.66
0.15
Prof. dr. ing. Valer DOLGA
22
KV  lim sG ( s)  lim
s0
s0
K  ( s  4)
4K
4K
s


s( s  5)(s  6)(s  7) 5  6  7 210
210 KV 210  6.66
K

 310
4
4
Prof. dr. ing. Valer DOLGA
23
Exemplu_7
Obiect
neindificat
Antena
O antena trebuie sa urmareasca un obiect cu o viteza maxima :
1
si cu o eroare de pozitie maxima de:
  20 rad / min  rad / s
3
0.50  0.0087 rad
Ce sistem se poate utiliza si care este coeficientul abaterii stationare ?
• din tabelul cu coeficienti rezulta ca este necsar un sistem de tip “1”
1
v
3  38.2 s 1
KV 

 0 0.0087
Prof. dr. ing. Valer DOLGA
24