Pólya György és a sík 17 elemű kristálycsoportjának vizualizációja

Transcript Pólya György és a sík 17 elemű kristálycsoportjának vizualizációja

Pólya György és a sík 17 elemű kristálycsoportjának vizualizációja

Kántor Sándorné Varga Tünde

Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet e-mail: [email protected]

Pólya György (1887-1985 )

     Pólya György (1887-1985) kiváló tudós és nagyszerű tanáregyéniség volt.

A matematika különböző területeivel foglalkozott: kombinatorika, valószínűségszámítás, valós- és komplex függvények, analízis, geometria, számelmélet, algebrai egyenletek elmélete, matematikai fizika.

Neve összeforrt a modern heurisztikával, a felfedezés tudományával, Munkásságának egy érdekes színfoltja a rajznak, mint a geometria nyelvének az alkalmazása . A sík 17 kristálycsoportjáról készített rajzai ihlették meg M. C. Escher holland grafikust. Így Pólya és Escher ugyanazt a nyelvet beszélték, a geometriai alakzatok nyelvét.

Pólya György (1887-1985 )

Pólya György ismertebb munkái

      A probléma megoldás iskolája A gondolkodás iskolája A matematika gondolkodás művészete I-II. ( Indukció és analógia, A plauzibilis következtetés) Matematikai módszerek természettudomá nyokban 250 cikke és társszerzőkkel együtt 10 könyve, illetve monográfiája jelent meg, közülük számosat több nyelvre lefordítottak. Összegyűjtött műveit 4 kötetben adták ki Cambridge ben 1974 és 1984 között.

Életrajza

   Pólya György 1887. december 13-án született Budapesten.. Édesapja Pólya (Pollák) Jakab kiváló közgazdász, aki számos könyvet írt, az MTA levelező tagja volt. Édesanyja Deutsch Anna. Hatan voltak testvérek 4 fiú és 2 lány. Testvérei közül kiemelkedő munkásságot fejtett ki a matematikához is erősen vonzódó Pólya Jenő sebészprofesszor (1876-1944?), akiről sebészi eljárást neveztek el. Középiskolai tanulmányait a híres II. kerületi Markó utcai főreáliskolában folytatta. 1905-ben érettségizett. Beke Manó tanította matematikára. Beke Manó a 20. század elején a magyarországi matematikatanítási reformtörekvések fő képviselője volt.

Pólya György (1887-1985

Életrajza

 Diákkorában jó volt matematikából is, fizikából is. Bár szerette a matematikát, de szeretete nem volt kizárólagos.

  A földrajz, a latin nyelv, a magyar nyelv és irodalom is kedvenc tantárgya volt.

Egyetemi tanulmányait orvostanhallgatóként kezdte el, félévig jogot, hallgatott, majd magyar-, latin és görög nyelvszakos volt, 1907-ben pedig filozófiát tanult. Az alapvizsga letétele után fordult vissza érdeklődése a matematika felé.  A későbbiekben úgy jellemezte saját magát, hogy nem volt elég jó a fizikához, de túl jó volt a filozófiához, és a matematika a kettő között helyezkedik el.

Munkái

  Közvetlenül az egyetemi tanulmányainak befejezése után 1912-ben benyújtotta

bizonyos velük összefüggő határozott integálokról A valószínűségszámítás néhány kérdéséről és

című doktori disszertációját. A disszertáció érdekessége, hogy benne olyan elméleti kérdésekkel is foglalkozott, mint pl. milyen eseményeknek tulajdoníthatunk valószínűséget, mi legyen a valószínűség fogalmának intuitív megfelelője.

Élete

   1940 ben barátja professzor.1953-

Szegő Gábor

meghívására a fasizmus elől kivándorolt az USA-ba Először a Rhode Island Brown Egyetemen tanított, utána a Smith College vendégprofesszora volt. 1942-től a Stanford Egyetemen ban vonult nyugdíjba, de egyetemi előadásait és kutatómunkáját ezután is tovább folytatta. Egyre növekvő energiával fordult a matematikatanítás kérdései felé.Beteljesedett egykori matematika tanárának, későbbi professzorának,

Beke Manó

nak a jóslata.

Úgy, úgy, maga a filozófiától jön a matematikához. Vissza fog térni a filozófiához. De ne térjen vissza túl korán.”

Legutolsó egyetemi előadássorozatát 91 éves korában tartotta kollégái számára.



Pólya György emlékezete

Emlékét viseli:

az SIAM (Society for Industrial and Applied Mathematics) kombinatorikai Pólya-díja  az Amerikai Matematikai Társulat Pólya-díja, amellyel a College Mathematics Journal ismeretterjesztő cikkeit díjazzák  a London Mathematical Society Pólya-díja   A 29646 Polya kisbolygó, amelyet 1998. november 16 án fedezett fel P: G. Comba és a kisbolygó övben kering a Veszprémi Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kara Pólya György díja a matematikatanárok tehetséggondozás területén elért eredményeiért

Pólya György munkássága

Pólya György munkássága



Pólya György munkássága

A problémamegoldás iskolája

című könyve azok számára szól, akik saját, vagy mások gondolkodási készségét szeretnék fejleszteni. A könyv előszavában itt is azt hangsúlyozza, hogy „

aki problémát megoldani akar tanulni, annak gyakorolnia

”

a problémák megoldását kell

Pólya György és Szegő Gábor

Pólya és Escher kapcsolata

    Pólya György

in der Ebene Über die Analogie der Krystallsymmetrie

( Z. Kristall 60 (1924) 278 282) című cikkében a sík 17 kristálycsoportjával foglalkozott.

A cikk érdekessége az, hogy Pólya mind a 17 kristálycsoportot rajzzal is szemléltette. M. C. Escher testvére geográfus volt. Amikor ezt a cikket meglátta a folyóiratban, felhívta rá grafikus testvére figyelmét. Pólya és Escher ugyanazt a nyelvet értették, a

geometriai alakzatok nyelvét.

Escher a matematikai részt nem értette, de a rajzokból ráérzett a kristálycsoport egyes elemeinek a geometriai tulajdonságaira, a periodikusságra, a szimmetriára és a maga művészi módján Pólya rajzait átformálta, madarakat, kutyákat, stb. helyezett rá Pólya ábráira, majd a színezés bevezetésével tovább is fejlesztette az ábrázolást.

A sík 17 kristálycsoportja

     C1 p1 : 2 eltolás C2 p2 : 3 félfordulat C3 pm : 2 tükrözés és egy eltolás C4 pg : 2 párhuzamos csúsztatva tükrözés C6 cm : 1 tükrözés és egy párhuzamos csúsztatva tükrözés

    

A sík 17 kristálycsoportja

D1kk pmm: téglalap oldalaira való 4 tükrözés D1gg pmg: 1 tükrözés és 2 fél fordu lat D1kg pgg : 2 merőleges csúsztatva tükrözés D2 kkkk cmm : 2 merőleges tükrözés D2gggg p4: 1 félfordulat és egy negyed fordulat

A sík 17 kristálycsoportja

    D2kkgg p4m : 45 – 45 - 90 fokos szögű derékszögű háromszög oldalaira vonatkozó tükrözések D2kgkg p4g : 1 tükrözés és 1 negyed fordulat D*4 p3 : 2 darab 120 fokos forgatás D0 4 p3m1 : 1 tükrözés és 1 darab 120 fokos forgatás

A sík 17 kristálycsoportja

   D*3 p31m : Egyenlő oldalú háromszög oldalaira való vonatkozó tükrözések D0 3 p6 : 1 félfordulat és egy 120 fokos forgatás D6 p6m: 30- 60-90 os szögekkel rendelkező derékszögű háromszög oldalaira való tükrözések

M. C. Escher

Pólya és Escher kapcsolata

Pólya és Escher kapcsolata

Pólya és Escher kapcsolata

Escher egy tétele

Escher rajzainak készítése közben felfedezte a következő geometriai tételt:

Tétel:

Egy tetszőleges háromszög egy tetszőleges oldalát 5, egy másik oldalát 4, a harmadik oldalát 3 egyenlő részre osztjuk. Az osztópontokat egymással és a csúcsokkal összekötő szakaszok között található 3 olyan összekötő szakasz, amely egy ponton megy át, és a metszéspont úgy osztja két részre ezeket a szakaszokat, hogy az osztási arány kis egész számokkal kifejezhető.

Escher egy tétele

     I. csoport: 1-2. eset: a 3 szakasz a 3 csúcsból indul.

II. csoport: 3 - 6. eset : 2 szakasz indul egy csúcsból.

III. csoport: 7-14. eset: 1 szakasz indul a csúcsból.

IV. 15-17. eset: egyik szakasz sem indul csúcsból.

Escher rajza

 Coxeter: Geometriák könyvének fedőlapja

Irodalom

Alexanderson, G. L.: The Polya picture album, Basel, 1987 Pólya György: A matematikai gondolkodás művészete I-II. Indukció és analógia, A plauzibilis következtetés, Gondolat , Budapest, 1988, 1989 Pólya György: A probléma megoldás iskolája I II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1967, 1968) Pólya György: Matematikai módszerek a természettudományokban, Gondolat Kiadó, Budapest, 1984

Irodalom

5. Pólya György, Szegő Gábor: Feladatok és tételek az analízis köréből I-II. Tankönyvkiadó, 1980 6. Pólya György: Über die Analogie der Krystallsymmetrie in der Ebene, Z. Kristall 60 (1924) 278-282 7. Ribár Béla: Híres magyar tudósok, JMTT Kiskönyvtára 8. Schattschneider, D.: Vision of Symmetry Nortebooks, Pweidic Drawings, and Related works of M. C. Echer, W. H. Freeman Company, New York 9. Zaal, Ch.:Escher egy tétele. KöMAL.1998/7, 385-387