Transcript МОДУЛЬ 9 КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 2014

УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ
«ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ»
•
•
•
Основные понятия квантовой
механики
корпускулярно-волновой дуализм
волны де-Бройля
соотношение неопределенностей
•
•
•
•
Квантовая механика –
представляет собой
физическую теорию, которая
описывает явления атомного
масштаба, т.е. явления,
лежащие в основе свойств
атомов и молекул
(механика микромира)
•
•
Уравнение Шредингера
волновая функция и ее
свойства
стационарные состояния
движение свободной
частицы
частица в потенциальной
яме
прохождение частицы
через барьер
гармонический осциллятор
КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ
Интерференция
гипотеза планка –
излучение
света может
и дифракция
происходить
только
света
- порциями
(квантами,
энергия которых
волновые
пропорциональна
эффекты
частоте света)
теория
Эйнштейна -и
Фотоэффект
любой пучок
монохроматического
эффект
Комптона
света состоит из квантов – или
(рассеяние фотонов
представляет собой пучок фотонов
на электронах)2 2 эффекты
2 2
квантовые
0
E m c p c
E  h
E  pc
Существует однозначная
зависимость между волновой
характеристикой - света длиной волны 
и его квантовой характеристикой
- импульсом p
Двойственная природа света –
корпускулярно-волновой
дуализм
E h h
p 

c
c

ТЕОРИЯ де-БРОЙЛЯ
предположение Луи де Бройля
как свету присущи одновременно свойства частицы (корпускулы) и волны
(двойственная корпускулярно-волновая природа света), так и электроны как и
любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают
также волновыми свойствами.
• Каждому объекту присущи как корпускулярные характеристики — энергия E и
импульс p , так и волновые характеристики — частота ν и длина волны λ.
• Любой частице, обладающей импульсом сопоставляется
h
h
волновой процесс с длиной волны, определяемой
 
по формуле де Бройля:
p
n  2r
Де Бройль предложил,
что каждая орбита в атоме
n
водорода соответствует волне, распространяющейся
по окружности около ядра атома. Стационарная
орбита возникает в том случае,
когда волна
n
непрерывно повторяет
себя после каждого оборота
e n
вокруг ядра. Другими словами, стационарная орбита
соответствует круговой стоячей волне де Бройля на
длине орбиты. Это явление очень похоже
e n на
n
стационарную картину стоячих волн в струне с
закрепленными концами.
e n n
h
n
 2r
mv
h
n
mv r
2
n  m v r
mv
ТЕОРИЯ де-БРОЙЛЯ
• Дифракция медленных электронов (опыты Дэвиссона и Джермера)
• Просвечивающая электронная микроскопия (Томсон и Тартаковский)
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
основной носитель
информации о
корпускулярных и волновых
свойствах микрочастицы волновая функция комплексная функция,
содержащая действительную
и мнимую части
  A cost  kx  iA sint  kx   2  2 E  E
i t  kx 
  Ae

 Ae
i
 Et  px 
h
1. Если для физической системы возможно
состояние с функцией 1 и 2, то возможно и
смешанное состояние с волновой функцией
 = a1 + b2
h
2

2p p
k



h


h
2
i  1
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
2. Квадрат модуля волновой функции
определяет плотность вероятности того, что в
заданный момент времени квантовая частица
будет находится в точке с координатами x,y,z.
Волновая функция имеет статистическую
(вероятностную) интерпретацию
  f  x, y , z , t 
2
  *   f1  if 2  f1  if 2 
2
3. Вероятность dp того, что частица находится в элементарном
объеме dV равна плотности вероятности, умноженной на этот
объем
Полная вероятность найти частицу в объеме V
Полная вероятность найти частицу во всем
пространстве равна 1
Волновая функция, удовлетворяющая этому
условию называется нормированной функцией
dp  fdV
p   dp    dV
2
V

2
dV  1
V
4. Волновая функция и ее первые производные должны быть конечными,
непрерывными и однозначными функциями своих аргументов
ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Двойственная корпускулярно-волновая
природа микрочастиц определяет
невозможность одновременно точно
определить координату и импульс
частицы. В общем случае это свойство
микрообъектов называется принципом
неопределенностей Гейзенберга
Микрочастица не может иметь
одновременно определенную
координату и определенную
соответствующую проекцию
импульса, причем неопределенности
этих величин удовлетворяют
соотношениям
xpx  
Et  
yp y  
zpz  
Для неопределенности энергии ∆E
некоторого состояния системы и
промежутка времени ∆t, в течение
которого это состояние существует,
также выполняется соотношение
неопределенностей: система, имеющая
среднее время жизни ∆t , не может
быть охарактеризована определенным
значением энергии; разброс энергии
∆E = h/∆t возрастает с уменьшением
времени жизни системы и частота
излученного фотона также должна
иметь неопределенность ∆ν = ∆E/ h, т.е.
спектральные линии должны иметь
конечную ширину: δv = v ± ∆E /h
Соотношение неопределенностей —
квантовое ограничение применимости
классической механики к микрообъектам.
СПИН ЭЛЕКТРОНА.
1. Электрон обладает собственным неуничтожимым
механическим моментом импульса, не связанным с
движением электрона в пространстве — спином. Спин
был обнаружен в экспериментах Штерна и Герлаха
2. Спин электрона наглядно представляют, как
момент импульса, связанный с вращением электрона
— твердого шарика —вокруг своей оси, но такая
модель приводит к абсурдному результату — линейная
скорость на поверхности электрона в 200 раз
превышает скорость света.
3. Следует рассматривать спин электрона (и всех
других микрочастиц) как внутреннее неотъемлемое
квантовое свойство микрочастицы: подобно тому как
частицы имеют массу, а заряженные частицы заряд, они
имеют еще и спин.


4. Спин частиц пропорционален постоянной Планка и
 s s 1
равен
s – спиновое квантовое число, характерное для каждого сорта частиц
(нулевой, полуцелый, целый). Спин электрона, протона и нейтрона
равен ½ а фотона 1.
Принцип неразличимости тождественных частиц.
Фермионы и бозоны
В квантовой физике частицы, имеющие одинаковые физические свойства — массу,
Частицы
с полуцелым спином
Частицы сэлектрический
нулевым или заряд, спин и т.д. являются
тождественными.
(например, электроны,
протоны, 2
целочисленным спином (например, 2
Принципфотоны)
неразличимости
тождественных
нейтроны) описываются
мезоны,
описываются
1
2
2
1
частиц: тождественные
частицы
антисимметричными волновыми
симметричными
волновыми
экспериментально
различить невозможно.
функциями
и2подчиняются
функциями
и подчиняются
где x1 и x
— соответственно
Этот
фундаментальный
статистике
Ферми–Дирака:
эти
статистике Бозе–Эйнштейна; эти
совокупность
пространственных
(основополагающий)
квантовой частицы
называются
фермионами.
частицы
называются принцип
бозонами.
и спиновых
координат
первой и
физики не имеет аналога в классической
второй частиц.
физике.
 x , x
x1 , x2   x2 , x1 

  x , x
x1 , x2   x2 , x1 
Во этом случае при перемене
В этом случае волновая функция
частиц местами знак волновой
системы при перемене частиц
функции изменяется; такая
местами не меняет знака; такая
Согласно
принципу
Паули
–
в
функция называется
функция называется симметричной.
системе фермионов две или более
антисимметричной.
частиц не могут одновременно
Симметрия
находится волновых
в одном и функций
том же определяется спином частиц, поэтому
характер
симметрии
не меняется со временем, Свойство симметрии
квантовом
состоянии
или антисимметрии — признак данного типа частицы.

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Уравнение Шредингера для стационарных состояний.
Важным частным случаем общего уравнения
Энергия частицы во
Шредингера, является уравнение
внешнем силовом поле
Шредингера для стационарных
состояний, в котором исключена
зависимость
от времени
и, поэтому,
ВолновыеΨ
функции
– решения
значения
этих
состояний являются
этого энергии
уравнения
называют
фиксированными
изменяются со
собственными(не
волновыми
временем). функциями
Оператор Набла
функция U = U (x, y, z ) не зависит
явно от времени и имеет смысл
потенциальной энергии.
ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ.
Для свободной частицы U(x ) = 0 (пусть она движется вдоль оси x
).
непрерывный спектр энергий.
• свободная квантовая частица описывается плоской
монохроматической волной де Бройля.
• этому случаю соответствует не зависящая от времени плотность
вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства
Ψ2 =A2
• все положения свободной частицы в пространстве являются
равновероятными.
ЧАСТИЦА В ОДНОМЕРНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ "ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ
ЯМЕ" С БЕСКОНЕЧНО ВЫСОКИМИ "СТЕНКАМИ".
За пределы "ямы" частица не проникает, поэтому
волновая функция вне "ямы" равна нулю, следовательно,
на границах "ямы" непрерывная волновая функция также
должна обращаться в нуль:
собственные значения энергии.
минимально возможное значение энергии:
ЧАСТИЦА В ОДНОМЕРНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ "ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ
ЯМЕ" С БЕСКОНЕЧНО ВЫСОКИМИ "СТЕНКАМИ".
Энергия частицы в бесконечно
высокой потенциальной
"яме" принимает лишь
определенные дискретные
значения, т.е. квантуется.
Квантованные значения
энергии En называются
уровнями энергии, а
число n , определяющее
энергетические уровни
частицы называется главным
квантовым числом.
Собственные волновые функции
ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
Линейный гармонический осциллятор —
система, совершающая одномерное
движение под действием квазиупругой силы,
является моделью, которая часто
используется при описании классических и
квантовых систем.
Пружинный, физический и математический
маятники — примеры классических
гармонических осцилляторов.
Уравнение Шредингера
Потенциальная энергия
гармонического осциллятора
Классический осциллятор не может
выйти за пределы "потенциальной
ямы" с координатами
− xmax ≤ x ≤ + x max .
собственная
частота
k
m
0  значения энергии
Собственные
энергией нулевых
колебаний.
kx 2
W
2
dW
Fx  
  kx
dx
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР.
ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ.
Вид волновых функций, являющихся
решениями уравнения Шредингера
областей 1, 2 и 3 свидетельствует о
1) В области 1 волновая функция
представляет собой сумму плоских
волн — движущейся в сторону барьера
и отраженной от барьера.
2) В области 2 в случае E < U
3) В области 3 имеется только волна,
прошедшая через барьер (B3 = 0 ), которая
имеет вид волн де Бройля с той же длиной
волны, но меньшей амплитудой.
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР.
ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ.
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР.
ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ.
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР.
ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ.
Квантовая механика приводит к
принципиально новому
специфическому квантовому явлению,
получившему название туннельного
эффекта, в результате которого
микрообъект может "пройти" сквозь
потенциальный барьер.
Для описания туннельного эффекта
используют понятие коэффициента
прозрачности D потенциального
барьера, определяемого как отношение
квадратов модулей прошедшей и
падающей волны. Для случая
прямоугольного потенциального барьера
Для потенциального барьера
произвольной формы
При U=2 эВ, E = 1.8 эВ, l =1Å
для электрона D = 0.82
для протона D = 2.8 10-9
ВОПРОСЫ ВЫНОСИМЫЕ НА КОЛЛОКВИУМ №2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Теория де-Бройля. Корпускуллярно-волновой дуализм.
Основные принципы квантовой механики. Волновая функция
Уравнение Шредингера. Движение свободной частицы.
Линейный гармонический осциллятор
Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме
Туннельный эффект.