Transcript Wykład14

MECHANIKA 2
Wykład Nr 14
Teoria uderzenia
DYNAMIKA PUNKTU NIESWOBODNEGO
Punkt, którego ruch ograniczony jest jakimiś więzami,
nazywamy punktem nieswobodnym.
Więzy oddziaływają na poruszający się punkt pewnymi
siłami, które nazywamy reakcjami więzów. Istnienie
więzów powoduje więc pojawienie się w równaniach
rucha dodatkowych sił – reakcji więzów.
Równanie ruchu przyjmie postać
(1)
Ruch punktu po gładkiej równi pochyłej
Równania ruchu:
Po przekształceniu otrzymujemy:
Ruch wahadła matematycznego
Równania ruchu:
Rys. 7
gdzie:
Po podstawieniu:
Przy małych wychyleniach wahadła sin =  , wówczas
więc równanie ruchu przybiera postać:
Jest to równanie ruchu harmonicznego prostego.
Przypomnijmy, że równanie ruchu harmonicznego
prostego ma postać:
Zatem dla wahadła:
Równanie ruchu ma postać:
Po scałkowaniu względem czasu otrzymamy wzór na prędkość:
Warunek początkowy:
 0
dla
t  max
Po wyznaczeniu stałej c i podstawieniu do wzoru na v:
Ponieważ
Załóżmy, że dla t = 0,
to
 0
wówczas:
Zderzenie proste środkowe
Zderzenie zachodzi w przypadku działania na siebie dwu ciał
siłą o skończonej wartości w bardzo krótkim przedziale czasu.
Zderzenie środkowe charakteryzuje się tym, że
normalna do płaszczyzny styku w punkcie styku obu
ciał przechodzi przez środki masy tych ciał.
Rys. 2
Okresy zderzenia
W procesie zderzenia rozróżniamy dwa charakterystyczne okresy:
a)
- pierwszy okres: od chwili zetknięcia się ciał aż do chwili
największego zbliżenia ich środków mas, przy
równoczesnym odkształcaniu się obu ciał,
b)
- drugi okres: od chwili rozpoczęcia oddzielania się obu mas.
Pęd zderzających się mas
Rys. 2
Pęd przed po zderzeniu jest taki sam
Stąd
c – wspólna prędkość obu mas przy końcu pierwszego okresu.
Energia kinetyczna
W wyniku odkształcania się ciał przy zderzeniu występuje zmiana
energii kinetycznej układu w pewnej jej części na pracę
odkształcenia. Strata ta może być pozorna lub rzeczywista, w
zależności od tego, czy zostanie zwrócona w drugim okresie
zderzenia. Oznaczmy ją przez
(23)
Uwzględniając wzór
otrzymamy
(23a)
Pęd układu w drugim okresie zderzenia
Przechodząc do drugiego okresu zauważamy, że obowiązuje nadal
zasada zachowania pędu badanego układu, czyli że
(24)
Zderzenie sprężyste i plastyczne
Prędkości
w1
oraz
w2
zależeć będą od tego, czy strata energii
kinetycznej została:
a) zwrócona w 100% (zderzenie ciał doskonale sprężystych),
b) pochłonięta w 100% (zderzenie ciał idealnie plastycznych),
c) pochłonięta częściowo (zderzenie ciał rzeczywistych).
Współczynnik zderzenia
(25)
przy czym oczywiście
Wartości graniczne współczynnika k odpowiadają:
k  1 dla ciała idealnie sprężystego,
k  0 dla ciała idealnie plastycznego.
Prędkości po zderzeniu
Uwzględniając równania (24) i (25) otrzymamy po podstawieniu i
przekształceniu
(26)
Dla zderzenia ciał idealnie sprężystych
k  1
(27)
k  0
Dla zderzenia ciał idealnie plastycznych
(28)
Rzeczywista strata energii kinetycznej
Rzeczywista strata energii kinetycznej wynosi
Po podstawieniu wartości w1 oraz
w2
ze wzoru (26) otrzymamy
ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE
ŚRODKOWE
Charakterystyczne przypadki:
1. m1  m2 k  1 (ciało doskonale sprężyste).
Ze wzorów (27) otrzymamy:
Po zderzeniu nastąpiła więc wymiana prędkości
pomiędzy obiema masami.
2. 2  0 ,
m2  
(nieruchoma ściana), k  1 .
Ze wzorów (27) otrzymamy:
Masa m1 odbija się z tą samą prędkością.
ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE
ŚRODKOWE
3. 2  0 ,
m2   (nieruchoma ściana), k  0 (ciało rzeczywiste).
Wykorzystując wzory (26) napiszemy:
Masa m2 odbije się z prędkością zmniejszoną o k .
Przypadek ten podaje zarazem prosty sposób wyznaczania współczynnika
zderzenia k. Jak wiadomo bowiem z kinematyki, ciało spadające z
wysokości H na stałą podstawę ma w początkowej chwili zderzenia
prędkość 1 
2gH . Po odbiciu wznosi się na wysokość h, czyli przy
końcu drugiego okresu zderzenia miało ono prędkość w1  2gh .
Ponieważ w1  – k1 (pomijając znak minus, gdyż interesuje nas tylko
moduł), zatem
k=
ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE
ŚRODKOWE
Przejdźmy teraz do omówienia zderzenia ukośnego środkowego (rys. 3).
Rozkładamy wektory prędkości na składowe normalne i styczne do
płaszczyzny styku
Rys. 3
ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE
ŚRODKOWE
Jeżeli pominiemy straty tarcia przy zderzeniu i możliwości, ewentualnych
obrotów mas (przyjęto je jako punkty materialne) w wyniku na ogół różnych
wartości składowych stycznych 1t oraz 2t (przyjmując idealnie gładkie
powierzchnie styku mas), to w wyniku zderzenia zmienią się tylko składowe
normalne.
Do oceny zmian składowych normalnych wykorzystamy wzory (26),
wprowadzając jedynie odpowiednie wskaźniki n, składowe zaś styczne
pozostaną bez zmiany, czyli:
oraz
Ostatecznie składając wektorowo otrzymamy po zderzeniu
Oddziaływanie strumienia padającego na przegrodę
Do wyznaczenia reakcji R przegrody na działanie strumienia,
padającego pod kątem  (rys. 4), wykorzystamy zasadę pędu i
impulsu według wzoru
Rys. 4
Załóżmy, że dane są ponadto
przekrój strumienia A, gęstość ρ
(niezmienna
w
czasie)
oraz
średnia prędkość strumienia v.
Oddziaływanie strumienia padającego na przegrodę
W czasie dt wystąpi przemieszczenie przekroju ab w położenie a'b'
(rys. 4) o od vdt. Równocześnie strumień rozdzielając się na
przegrodzie przemieści się w swych strugach z położeń ef w e'f' oraz z
położeń cd w c'd' (rys. 4). Zauważmy, że kierunki wektorów prędkości
tych rozdzielonych na przegrodzie strug są przeciwne i styczne do
przegrody.
Rys. 4
Oddziaływanie strumienia padającego na przegrodę
Zgodnie więc z zasadą pędu i impulsu (19) napiszemy rzutując
wektory pędów pulsu na oś x , prostopadłą do przegrody
Oddziaływanie strumienia padającego na przegrodę
oraz
Gdyż wektory pędów tych strug są styczne do przegrody, zatem
Stąd ostatecznie otrzymujemy
reakcję przegrody w kierunku osi
x