Transcript 10 Sroubovy a sfericky pohyb. Staticke charakteristiky

Obecný prostorový pohyb
- prostorové křivky, plochy
- jednotlivé body tělesa vytváří při svém pohybu
(obecně různé) prostorové křivky.
- Šroubový pohyb
- Sférický pohyb
Šroubový pohyb
Šroubový pohyb
Je-li v prostoru dána přímka o, pak pohyb, který vznikne
složením dvou rovnoměrných pohybů – otáčení kolem přímky o
a posouvání podél přímky o – se nazývá šroubový pohyb.
Šroubový pohyb je pohyb složený z rotace (otáčení) a translace (posunutí).
Křivka, která je dráhou bodu A při šroubovém pohybu se nazývá
šroubovice.
Dva typy šroubového pohybu:
pravotočivý a levotočivý
Jednoznačné určení šroubovice
Závit – část šroubovice vzniklá při otočení o úhel 2p
Výška závitu v – velikost posunutí při otočení o úhel 2p
Redukovaná výška závitu vo – velikost posunutí při otočení o úhel 1 rad
Platí v=2pvo.
Jednoznačné zadání šroubovice:
osa o, typ pohybu, bod A,
výška závitu v
nebo redukovaná výška závitu vo
Aplikace
• architektura a stavitelství - schodiště
• elektrotechnika – zesilovače, kabely,
pružiny,topné spirály
• biologie – zvířecí rohy, stonky
popínavých rostlin, také honící se veverky
Pravotočivá šroubovice:
• strojírenství - standardní šrouby,
matice, vruty (kde se otáčivý pohyb mění
na posuvný nebo obráceně)
• lékařství - molekula DNA
Statické geometrické
charakteristiky
Statický moment, těžiště, momenty setrvačnosti
Jsou funkcí geometrických a hmotnostních parametrů tělesa, říká se jim
proto také geometricko-hmotnostní charakteristiky.
Tuhá tělesa
• volné těleso má 6 stupňů volnosti v prostoru,
• 3 stupně volnosti v rovině
Jsou definována svou:
• hmotností m [kg],
• polohou těžiště [m]
Statický moment tělesa (hmotného bodu) [ kg.m ] vzhledem k
bodu, přímce nebo rovině, je součin hmotnosti tělesa (hmotného bodu) a
jeho kolmé vzdálenosti k danému bodu, přímce nebo rovině.
Statický moment plochy U [ m3, mm3 ]
je statická veličina třetího stupně, která se používá při určování
souřadnic těžiště u ploch průřezů nebo při určování polohy neutrální
osy průřezů namáhaných současně tahem a tlakem apod.
Početně je statický moment plochy rovný součtu součinů
plošných elementů dS a jejich vzdálenosti od bodu nebo osy.
U x   y.dS
U y   x.dS
Jestliže se plocha dá rozdělit na konečný počet částí
n, pak celkový statický moment se rovná součtu
jednotlivých statických momentů, tzn. matematicky:
n
U x   Si . yi
i 1
n
U y   Si .xi
i 1
x
dS
S
y
Těžiště
Těžiště je velmi důležitý bod tělesa, se kterým se budete v mechanice často
setkávat.
Těžiště je působiště výslednice tíhových sil.
Představme si, že těleso je složeno z několika menších těles (v některých
případech dokonce z nekonečně mnoha nekonečně malých těles).
Na každé dílčí těleso působí dílčí tíhová síla. Jejich součet pak dává tíhu
celého tělesa. Ta však, jako výslednice silové soustavy, má i své působiště; a
to je právě těžiště.
Je zřejmé, že pro stanovení těžiště využijeme poznatky, se kterými jsme se
seznámili při určování výslednice silové soustavy s různými působišti.
Určování polohy těžiště:
• U stejnorodého geometrického pravidelného tělesa leží těžiště v jeho geometrickém
středu (geometrickém těžišti).
• Těžiště leží v průsečíku těžnic při postupném zavěšení tělesa v nejméně dvou různých
bodech (experimentální zjišťování).
• Výpočtem (jednotlivé souřadnice xT, yT, zT těžiště se počítají nezávisle na sobě):
xT
x.dm


m
n
xT 
 mi .xi
i 1
m
- neboli podíl integrace x-ové souřadnice bodu tělesa podle
hmotnosti pro celou hmotnost tělesa m (statický moment)
a hmotnosti tělesa
Pro konečný počet částí:
kde mi je hmotnost i-té části tělesa, xi je poloha těžiště v i-té části,
Σ představuje součet pro všechna i, m je hmotnost celého tělesa.
Těžiště může ležet i mimo těleso (například v jeho dutině).
Jestliže spojíme dvě tělesa v jedno, bude jeho těžiště ležet na úsečce spojující
těžiště obou částí.
Těžiště plochy
Určení těžiště u složené plochy
Momentová věta
Momentová věta
Na dvou příkladech jsme ukázali postup určení souřadnic těžiště
tělesa, které lze považovat za dvourozměrný objekt (plochu).
Zobecníme-li tento postup, dospějeme ke vztahům pro souřadnice těžiště
v podobě:
Výraz ve jmenovateli je celková hmotnost tělesa. Plocha, která je ve skutečnosti
prázdná,se jak v čitateli, tak ve jmenovateli dosazuje jako záporná. Pokud je
celé těleso ze stejného materiálu, lze hustotu v čitateli a jmenovateli vykrátit.
Vztahy pak mají tvar :
V tomto případě představuje výraz ve jmenovateli celkový objem tělesa.
Pokud je tloušťka tělesa všude stejná, lze ji vykrátit. Dostáváme pak výrazy
v nejjednodušší možné podobě.
Suma ve jmenovateli je přirozeně celková plocha tělesa.
Těžiště čáry
Posledním typem objektu, jehož těžištěm se budeme zabývat, je čára.
I v tomto případě bude základní postup stejný, jako u plochy a objemu
(čáru si můžeme představit jako drát určitého tvaru).
I v tomto případě bude základní postup stejný, jako u plochy
(čáru si můžeme představit jako drát určitého tvaru).
Existuje prakticky jediný typ jednoduché čáry, jejíž těžiště je přímo známo - úsečka
s těžištěm ve svém středu. Těžiště jiných typů čar (kruhový oblouk apod.) je třeba
stanovit (vypočítat).
Jestliže jednotlivé jednoduché čáry jsou dráty odlišných průřezů, je třeba do výrazů
pro souřadnice těžiště doplnit průřez jednotlivých čar Si.
Těžiště čáry
Postup si ukážeme na výpočtu souřadnic těžiště dvakrát zalomené čáry o rozměrech
B=40 cm, H=30 cm, b=20 cm a h=10 cm (viz obrázek).
Momenty setrvačnosti
Při řešení pohybu těles mají základní fyzikální význam osové momenty
setrvačnosti. Jestliže bude s tělesem pevně spojený kartézský souřadnicový
systém (O, x, y, z) a v bodě tělesa o souřadnicích x, y, z bude bodové těleso
o elementární hmotnosti dm, pak osové momenty setrvačnosti k osám
souřadnicového systému jsou pak definovány vztahy
kde rx, ry, rz představují vzdálenosti elementární hmotnosti od os x, y, a z.
Moment setrvačnosti je fyzikální veličina, která vyjadřuje míru setrvačnosti
tělesa při otáčivém pohybu. Její velikost závisí na rozložení hmoty v tělese
vzhledem k ose otáčení.
Body (části) tělesa s větší hmotností
a umístěné dál od osy
mají větší moment setrvačnosti.
Při otáčivém pohybu soustavy hmotných bodů kolem nehybné osy opisují
jednotlivé hmotné body kružnice, jejichž středy leží na ose otáčení.
Úhlová rychlost ω všech bodů je stejná.
Moment setrvačnosti lze vypočítat ze vztahu:
J =  mi ri2
[kg . m2 ]
Příklady momentů setrvačnosti
Snadno určíme například moment setrvačnosti malé kuličky o
hmotnosti m, kterou točíme na tenkém provázku délky l. Jestliže je
kulička dostatečně malá a hmotnost provázku můžeme zanedbat je
moment setrvačnosti kuličky
Podobně uhádneme bez počítání i moment setrvačnosti tenkého
prstence o hmotnosti m a poloměru R, který se otáčí kolem osy
procházející středem kolmo na rovinu prstence.
Všechna hmota je soustředěna (je-li prstenec zanedbatelně silný) ve
vzdálenosti R od osy otáčení a moment setrvačnosti bude tedy
Z uvedeného vyplývá, že moment setrvačnosti není dán pouze tvarem tělesa, ale také
polohou osy kolem které těleso rotuje. Pokud by se prstenec otáčel vůči jiné ose, byla
by každá jeho část jinak vzdálena od osy a výpočet momentu setrvačnosti vůči této
ose by byl složitější.
U těles jiného tvaru než jsou zmiňované příklady už se výpočtu nevyhneme.
Ukažme si, jak takový výpočet vypadá například při určování momentu
setrvačnosti homogenního disku o hmotnosti m a poloměru R vzhledem k ose
procházející kolmo k disku jeho středem.
Využijeme toho, že známe moment setrvačnosti tenkého prstence a rozdělíme si
disk na mnoho tenkých soustředných prstenců. Ty budou představovat kousky
hmoty rozprostřené stejně daleko od osy a sečtením jejich momentů setrvačnosti
tedy získáme celkový moment setrvačnosti disku viz vztah J =  mi ri2.
(
1
2
)
Zbývá vyřešit problém, na kolik prstenců máme rozdělit disk. Čím přesněji
chceme počítat, tím větší počet prstenců musíme zvolit a sečíst jejich momenty
setrvačnosti. Pokud chceme počítat zcela přesně, musíme disk rozdělit na
nekonečně mnoho nekonečně tenkých prstenců. To jde skutečně udělat,
použijeme-li takzvaný určitý integrál, který nám v tomto případě zjednodušeně
řečeno nahrazuje sumu a umožňuje sčítání nekonečně malých kousků.
Hmotnost m(r) prstence o poloměru r můžeme vyjádřit jako m(r) = ρ.2π.r.dr
kde symbol dr znamená nekonečně malou tloušťku prstence.
Součin 2π.r.dr vyjadřuje plochu prstence a veličina

m
p .R 2
je tedy plošná hustota disku, to je hmotnost disku o ploše jednoho metru čtverečního.
Moment setrvačnosti disku pak vypočítáme jako
Moment setrvačnosti jsme počítali pro tenký disk, ale je zřejmé
že tloušťka disku by na výpočtu nic nezměnila, protože hmotnost
jsme vyjadřovali pomocí plošné hustoty ρ závisející pouze na
ploše podstavy (tloušťka disku se nám vykrátila).
Vypočítali jsme tak zároveň moment setrvačnosti pro
libovolně vysoký válec o hmotnosti m a poloměru podstavy R
vzhledem k ose válce.
Podobným způsobem bychom mohli vypočítat moment setrvačnosti
dalších homogenních těles. Například moment setrvačnosti tenké tyče
o hmotnosti m a délky L vůči ose procházející kolmo na tyč jejím
středem vyjde
Moment setrvačnosti koule o hmotnosti m a poloměru R vzhledem
k ose procházející jejím středem je
Příklady momentů setrvačnosti
tenká obdélníková deska
tenká kruhová deska
JT   m  r
1
4
2
z
y

JTz  121  m  a2  b2

JTy  121  m  a 2
2
1
J


m

b
Tx
12
x
r
m
m
b
a
koule
r
JT  52  m  r 2
m
kužel
válec
jehlan
r
m
a

JT  14  m  r 2  13  a 2
m
m

r
JT  103  m  r 2
a
b

JT  201  m  a2  b2

Někdy se moment setrvačnosti k určité ose o vyjadřuje pomocí tzv.
poloměru setrvačnosti i. To je vzdálenost od osy o, ve které když
soustředíme celou hmotnost tělesa dostaneme k příslušné ose stejný
osový moment setrvačnosti jako má těleso.
Moment setrvačnosti pak je tedy součin celkové hmotnosti tělesa m
a čtverce jisté střední vzdálenosti i.
J=m.i2
Vzdálenost i se nazývá poloměr setrvačnosti nebo gyrační poloměr.
Poloměr setrvačnosti i tělesa je definován jako vzdálenost od osy rotace,
v níž by musela být soustředěna veškerá hmotnost tělesa m, aby moment
setrvačnosti byl jako při daném rozložení hmoty.
poloměr setrvačnosti se
vynáší kolmo k ose, které se týká
J
i
m
Moment setrvačnosti plochy [ m4, mm4 ]
Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k rovině  plošný
moment setrvačnosti.
U plošného momentu setrvačnosti se obvykle jedná o moment rovinné plochy. Pro
výpočet můžeme použít vztahy pro výpočet momentu setrvačnosti k ose, přičemž
položíme z = 0. Hmotnostní element dm je pak nahrazován plošným elementem dS.
Plošné momenty setrvačnosti k osám x,y:
Jx =S∫ y2 dS
Jy =S ∫ x2 dS
Deviační moment, je moment vztažený
současně k ose x a y.
Dxy = S∫ xy dS
x
dS
y
Vztahy pro momenty setrvačnosti průřezů (ploch) různých tvarů k ose x, y:
x
x
x
x
Moment setrvačnosti Jx (Jy) je vztažen k ose, která
prochází těžištěm a je rovnoběžná s osou X (Y).
b
y
y
y
y
h
Polární moment setrvačnosti
Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k bodu, kdy
se jedná o tzv. polární moment setrvačnosti.
Jp = Jx + Jy + Jz = ∫ (x2 + y2+ z2) dm = ∫ ρ3 dm
m
m
Polární moment setrvačnosti části rovinné plochy (vzhledem k ose
totožné se souřadnicovou osou z) je
Jp = Jx + Jy = ∫ (x2 + y2) dS = ∫ ρ2 dS
S
S
x
ρ
P
dS
y
Momenty setrvačnosti při změně souřadnicového systému
Transformace při posunutých souřadnicových systémech
Momenty setrvačnosti pro sytém (O1, x1, y1, z1)
lze určit z momentů setrvačnosti k systému O, x, y, z
přičtením momentu setrvačnosti hmoty tělesa
soustředěné v těžišti. Tuto skutečnost
formulujeme jako tzv. Steinerovu větu
01
0
Steinerova věta umožňuje vyjádřit
moment setrvačnosti libovolného tělesa
vůči ose o, jestliže známe moment
setrvačnosti J tohoto tělesa vůči jiné ose,
procházející těžištěm, která je s osou o
rovnoběžná ve vzdálenosti rT.
ω
J = JT + m.rT2
Kde
J je moment setrvačnosti vůči ose, vzdálené rT od těžiště
JT je moment setrvačnosti tělesa pro osu procházející těžištěm,
která je s ní paralelní
m je hmotnost tělesa,
rT je vzdálenost obou rovnoběžných os.