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Cours n° 5 : Grandeurs
énergétiques
1
Cas général
2
Caractérisation des pertes
Les pertes (par cycle) sont égales à la surface du cycle B-H.
Si on est passé pour le calcul des champs à des caractéristiques
univoques, les pertes ne sont plus prises en compte dans ce
calcul !
On peut les réintroduire
a posteriori sous forme
graphique.
Sur un graphe
bilogarithmique, on
considère souvent que
les caractéristiques sont
des droites (soupçons si
trop juste).
3
On peut aussi utiliser des expressions analytiques.
Si on admet que les relations deviennent linéaires quand on
utilise des échelle logarithmiques, on a une dépendance vis à
vis de la fréquence f et du champ de crête Bp de la forme
densité de perte = A fa Bpb
où A, a et b sont des constantes à déterminer empiriquement
pour chaque matériau.
Exemple tiré d ’un catalogue (pour le matériau dont le graphe a
été montré). For frequenties < 10 kHz
Core loss = 4.63 x 10-8 f0.964 B2.03 (mW/cm3)(Hz)(gauss)
For frequenties > 10 kHz
Core loss = 2.16 x 10-9 f1.31 B2.03 (mW/cm3)(Hz)(gauss)
4
Milieux linéaires en harmoniques
temporels
5
A partir des valeurs complexes des champs, on peut former une
densité d’énergie complexe qui vaudra
1

Wm  Bp H p
2
si
le module des champs est égal à
leur valeur de crête
et
Wm  B H

si
le module des champs est égal à
leur valeur efficace
On montre facilement que la surface du cycle magnétique est
égale à
 2  Im( W )
m
Puisque cette surface est l’énergie perdue à chaque cycle, on
en déduit que la densité de puissance perdue vaut
 2   Im( Wm )    Im( Wm )
6
La densité de pertes magnétiques vaut (cas linéaire)
  Im( Wm )
avec
1

Wm  Bp H p
2
On peut exprimer cette puissance perdue en utilisant la
perméabilité magnétique complexe ou la réluctivité
magnétique complexe
1
1
2
  Im ( Wm )    Im(  ) || H p ||   Im(  ) || Bp ||2
2
2
Notes :
1. La partie imaginaire de la perméabilité est négative
2. On peut aussi utiliser ces formules « à l’envers » pour
déterminer la partie imaginaire de la perméabilité
magnétique ou de la réluctivité magnétique connaissant
l’expression des pertes magnétiques.
7
Les pertes par courants de Foucault locaux (limités par la
taille des grains ou l’épaisseur des plaques…) sont classées
- comme pertes Joule dans un modèle fin
- mais comme pertes magnétiques dans un modèle
macroscopique
Même dans le modèle fin, on peut avoir une perméabilité
magnétique complexe, de façon à tenir compte des pertes
qui ne sont pas dues à des courants de Foucault à l’échelle
de ce modèle.
Cela n’empêche pas l’utilisation des formules
d’homogénéisation vues au cours précédent !
8
Ainsi, dans le cas d’un empilement de tôles, nous avons vu en
semaine 3 que l’on peut remplacer la perméabilité  des tôles
par une perméabilité équivalente complexe e : la partie
complexe correspond à une densité de pertes magnétiques.
L’expression reste valable si  est déjà un nombre complexe.
Même remarque pour la formule d’homogénéisation relative
à un faisceau de cylindres.
9
Rappel : on a défini la profondeur de peau
2
d
 
Dans le cas d’un empilement de tôles dont chacune
a une épaisseur d est petite par rapport à cette
profondeur de peau, le calcul se simplifie car on
peut supposer le champ B uniforme dans les tôles
(effet de peau négligeable).
Cette hypothèse
d << d
est souvent vérifiée car elle s’impose pour avoir des
pertes faibles !
10
Si d << d , on peut partir des formules calculées précédemment
et chercher leur expression à la limite où d est petit, mais on
peut aussi établir directement les formules simplifiées.
Soit Bc le champ de crête à l’intérieur des tôles, supposé
uniforme. Ce champ est légèrement supérieur au champ
macroscopique à cause de l’intervalle vide entre les tôles.
On calcule aisément la puissance perdue par unité de volume.
 2 d 2 2 2
PMagn .Foucault  a
Bc 
6
où a est le coefficient de remplissage,  la conductivité des
tôles,  la fréquence et d = a l l’épaisseur des tôles. On voit
la perméabilité n’intervient plus dans ce calcul. On peut donc
calculer séparément les pertes par courant de Foucault et les
pertes dues à la nature du matériau. Ces dernières sont
souvent traitées comme pertes par hystérésis.
11
A Bp fixé, les pertes par hystérésis sont proportionnelles à la fréquence,
alors que les pertes par courants de Foucault sont à peu près
proportionnelles au carré de la fréquence. On a donc la formule
Densité de pertes magnétiques = A f Bph + C f2 Bp2
où A, h et C sont des constantes empiriques, h portant le nom de
coefficient de Steinmetz.
(le premier terme représente les pertes par hystérésis et le
second les pertes par courants de Foucault locaux)
Cette expression n’a que trois coefficients à déterminer. Elle
n’est donc pas plus difficile à utiliser que la formule empirique
vue au début du cours et qui ne sépare pas les deux types de
pertes.
Elle est valable pour d’autres structures que les empilements de
tôles (agglomérat de grains isolés les uns des autres par
exemple)
12
Densité de pertes magnétiques = A f Bph + C f2 Bp2
Attention ! Manifestement, le premier terme n’est pas valable
asymptotiquement, car la surface du cycle d’hystérésis
n’augmente pas indéfiniment ! Il vaudrait mieux y utiliser la
polarisation magnétique au lieu de Bp .
La formule n’est valide que si la profondeur de peau est
grande par rapport à l’épaisseur des tôles, de sorte que le
champ B soit uniforme sur toute la section des tôles. Le
coefficient C du second terme peut alors se calculer en
fonction de la conductivité des tôles et de leur épaisseur, donc
sans recours à l’expérimentation.
13
Attention : Btôle  B (le champ macroscopique)
Btôle kf + 0 H (1 – kf ) = B , donc
B   0 (1  k f )H
Btôle 
kf
où kf est le coefficient de remplissage du paquet de tôles.
14
Btôle z  Bp cos(t)
L’équation de Maxwell
rot E  
B
t
devient compte tenu des symétries
 Ey
 Bz


x
t
donc Ey = Bp  x sin(t) + cst
et Jy =  Bp  x sin(t) + cst
La cst est nulle car on ne s’intéresse
ici aux courants à grande échelle,
donc le courant total dans la tôle est
15
supposé nul.
Jy =  Bp  x sin(t)
1 2
2
J   Bp 2 x 2 sin 2 (t )

soit en valeur moyenne

1 2
1
2
J    B p 2 x 2

2
En intégrant sur le volume de la tôle, on trouve une
puissance


1 2
2 d
2
J  dV   Bp 2 ( ) 3 S

6 2
La puissance perdue par
unité de masse est donc
2 d 3
 2 d 2 2 2
 Bp  ( ) S /(Sd r) 
Bp f
6 2
6r
où r est la masse volumique
2
2
16
Pertes par courants de Foucault =
 2 d 2 2 2
Bp f
6r
Exemple numérique : tôles M235-35A
d = 0.35 10-3 m
r= 7600 kg / m3
 = 1690000 S/m
Les pertes par courant de Foucault valent donc
44.8 10-6 Bp2 f2 en W/kg , soit, pour f = 50 Hz et Bp = 1.5 T ,
0.252 W/kg
Par ailleurs, les pertes par hystérésis de ces tôles valent
16.5 10-3 Bp2 f , soit dans les conditions standard 1.856 W/kg
Soit au total : 2.11 W/kg au lieu de la valeur nominale 2.35 W/kg
Note : d  1.4 10-3 m
17
Milieux sans pertes
En l’absence de pertes, on peut utiliser la fonction énergie ou d’autres
fonctions énergétiques.
Rappel de théorie des circuits
pour un circuit filiforme
avec
(+ wcm0 s ’il y a des aimants)
Note : on a pour les circuits glissants (cfr chapitre 2)
pour un circuit glissant
18
Pour profiter de ce type de formalisme, on effectue
souvent les calculs de champ sans tenir compte des
pertes. On obtient ainsi une valeur approchée des champs,
mais l’erreur est minuscule si les pertes sont petites ….
Et on calcule ensuite la valeur des pertes en se basant sur
cette valeur approchée des champs.
19
Caractérisation par une fonction
énergétique
Densité d ’énergie :Wm (B) =  H . dB donc H =  Wm / B
Wm (Bi )    Hi dBi donc Hi =  Wm / Bi
i
Densité de coénergie :Wcm (H) =  B . dH
Wcm (Hi )  

Bi dH i
i
donc
donc
B =  Wcm / H
Bi =  Wcm / Hi
Idem en électricité : We (D) et Wce ( E)
On définit aussi la densité de lagrangien (au sens de Maxwell)
L ( H , D) = Wcm (H) - We (D)
fonction de grandeurs du même volet
attention au signe -
20
On peut aussi utiliser l ’énergie
pour un circuit filiforme
avec
(+ wm0 s ’il y a des aimants)
Donc, une possibilité pour calculer le couple en l’absence d’aimants est de
calculer le flux pour un grand nombre de positions et de valeurs des
courants. Choisir la forme d’une fonction d’énergie (ou de coénergie).
Déterminer les coefficients de cette fonction par régression non linéaire.
Puis calculer la force en cherchant la dérivée partielle et en calculant sa
valeur numérique.
Possible … mais fastidieux, surtout si on ne voulait pas le couple pour
toutes les positions et valeurs des courants ! En présence d’aimants, il
existe un couple de crantage mais la formule ci-dessus ne le fournit pas !
En effet :
Ccrant. 
 w cm0

ou 
 w m0

21
Densités d ’énergie et de coénergie
On définit
Utilisant les règles de correspondance entre les champs et les
grandeurs « circuit » y et i , on obtient (sous hypothèses
normalement vérifiées, en particulier quasistatisme magnétique)
y di =    B . dH dV
et donc
wcm =    Wcm dV
Possible même si le calcul n’est
fait que pour un jeu de valeurs
des courants ! Mais il faut
considérer plusieurs valeurs de 
pour calculer le couple
(interpoler puis dériver !!!). 22
Procédures de calcul
La caractéristique magnétique des matériaux isotropes est souvent mise en
mémoire sous la forme de en fonction de B2 , car on évite ainsi la prise de
racines carrées lors du calcul de H en fonction de B .
Wm  


1
 B  dB    dB 2
2
L ’intégrale est tabulée à l ’avance. Une fois le champ calculé, on
obtient facilement B2 . Il reste à lire la table en chaque « point » et à
intégrer sur tout l ’espace pour obtenir wm =  Wm dV .
La coénergie peut s ’obtenir par différence des deux intégrales.
 
w cm   H.B dV   Wm dV
23
Attention !
Si matériau dur = matériau doux + aimantation
Les logiciels calculent parfois l ’énergie et la coénergie du « matériau
doux ». Le résultat n ’est pas le même.
Pouvez-vous dire ce que serait un modèle gaussien ?
24
On définit aussi We(D) et Wce (E)
Note :
La densité de lagrangien peut se définir
L1 = Wcm - We
(analogie de Maxwell :
Wcm  coénergie cinétique
We  énergie potentielle)
ou
L2 = Wce - Wm (analogie de Darrieus)
25
Attention !
Si on leur demande de calculer l ’énergie, certains logiciels offrent 5
possibilités non équivalentes.
½   J.A dV
 correct s. si linéaire, quasistatique et sans aimants
 correct seulement si linéaire
 dépend du modèle si aimants (B-H, ampère, gauss …?)
    H.dB dV  c’est la définition générale
 mais dépend du modèle si aimants (B-H, ampère, gauss ?)
    B.dH dV  = la coénergie…
   B2 dV
 n ’a pas la dimension d ’une énergie !
Aucune des 5 possibilités ne donne l ’énergie à coup sûr !
Réaction stupide à proscrire (mais fréquente) : faire une
moyenne entre les trois premiers résultats !
26
Relations énergétiques locales
Conservation de l ’énergie
Rappel : flux d’énergie (Poynting) S = E x H
t W + div S = - J.E + (t) W
ou
t W + div S = -J.E - (t) Wc
ou
t W + div S = -J.E - (t) L
où (t) signifie que l ’on dérive à champ constant
27
(donc terme nul si matière invariable)
Conservation de l ’impulsion
Rappel : densité d ’impulsion G = D x B
-u . tG + Si,ji ( Tij uj ) = u . (J x B + r E ) + £(u) W
ou
-u . tG + Si,ji ( Tij uj ) = u . (J x B + r E ) - £(u) Wc
ou encore
-u . tG + Si,ji ( Tij uj ) = u . (J x B + r E ) - £(u) L
où le symbole £ désigne la dérivée de Lie, soit
par exemple en référentiel holonome £(u) W = (i) ( W ui) car W est une densité.
(u) signifie dérivation à champ constant (donc terme nul dans un milieu uniforme).
28
Dans ces expressions, T est un tenseur, le tenseur
de Maxwell, qui se décompose en une partie
électrique et une partie magnétique :
Teij = Di Ej - Wce dij
Tmij = Bi Hj - Wcm dij
où dij = 1 si i = j et est nul sinon (donc ses
composantes forment une matrice unité).
Beaucoup d ’autres expressions …. la plupart plus
compliquées et valables uniquement dans le cas
linéaire ! Les expressions ci-dessus sont les plus
générales que je connaisse.
29
Densités volumiques de force dans le cas linéaire
Dans l ’équation de conservation de l ’impulsion, le
membre de droite comporte, outre le terme de force
« sur les sources » J x B + r E , un terme
£(u) W = - £(u) Wc qui tient compte de la force exercée
sur les matériaux magnétiques. Dans un référentiel
cartésien, ce terme correspond à une densité de force
(i) W = (i) Wc . Dans le cas linéaire, on a
ou
Pour rappel, pas de telles forces dans un matériau
uniforme ...
30
… Mais il y a des forces à la surface
des matériaux magnétiques.
Passant au cas limite d ’une variation brutale de
perméabilité, on obtient une force perpendiculaire à la
surface et de valeur (avec orientation de 1 vers 2)
où on a utilisé comme variables les composantes de B et
de H qui se conservent sur l ’interface.
Si 1 =  , H// est nul et il reste f12 = B2 / (2 2)
31
Calcul de la force par l ’intégrale
de Maxwell
Plutôt que d ’utiliser le membre de droite de la conservation de
l ’impulsion
-u . i G + Si, j i ( Tij uj ) = u . (J x B + r E ) + £(u) W
pour calculer la force, il est souvent plus facile d ’utiliser le
membre de gauche. En intégrant sur tout un volume le terme
relatif au tenseur de Maxwell, on obtient la force (généralisée).
32
Et la dérivée de l ’impulsion ?
Dans le membre de gauche de la conservation de
l ’impulsion
-u . t G + Si, j i ( Tij uj ) = u . (J x B + r E ) + £(u) W
, il y a aussi le terme en tG .
Pas de problème en quasistatique car
G = D x B est toujours nul dans ce cas
quasistatique magnétique D = 0
quasistatique électrique B = 0
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Si on ne s’intéresse qu’à une position et un jeu de
valeurs des courants, on peut ne calculer que pour
cette position et ce jeu de valeurs des courants.
La méthode de Maxwell est simple. Pour s ’en convaincre,
essayer sur quelques exemples.
Exemple 1 :
Avec dans la partie
« corrodée »
34
Autre exemple.
35
Par la méthode du tenseur de Maxwell, on peut retrouver
f=qE
et
f=ILxB
Il suffit de superposer un champ
uniforme au champ de la source et
de calculer la force sur une surface
entourant la source (facile si on
choisit une sphère dans le premier
cas, un cylindre dans le second).
Brˆ  B0 cos 
Bˆ   B0 sin    0
I
2r
2
Fy 

0
T rˆ rˆ
L r d 0 0  x
x

T rˆ ˆ
x
x
x   sin  

x  cos 
x   0 
36
Brˆ  B0 cos 
Bˆ   B0 sin    0
2
Fy 
I
2r

0
T rˆ rˆ
L r d 0 0  x
x

T rˆ ˆ
x
x
x   sin  

x  cos 
x   0 
soit
2
Fy  Lr

0

[
1
1
I
1
I 2
2
2
B0 cos2  sin  
B0 sin 3   B0
sin 2    0 (
) sin 
2 0
2 0
2r
2
2r
1 2
I
B0 cos2  sin   B0
cos2 ] d
0
2r
Seuls les troisième et sixième termes sont non nul
2
Fy  Lr

0
B0
I
d  L B 0 I
2r
On montre de même que Fx = 0 . La loi de Laplace est donc
vérifiée !
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L’expression de la force basée sur le tenseur de
Maxwell est plus générale que les lois de Coulomb et
Laplace. On peut en effet en déduire ces lois, ainsi que
l’expression des forces sur les matériaux.
Un bémol : avec les logiciels commerciaux, les erreurs
numériques sont parfois importantes (dues à une
programmation mal adaptée).
38
Complément sur les lois de similitudes
Si toutes les dimensions sont proportionnelle à une
longueur caractéristique L et que l ’on compare deux
régimes correspondant aux mêmes champs B et H.
La densité de force sur une surface de Maxwell est
inchangée.
Donc, les forces augmentent en L2 et les couples en L3 .
La densité de puissance dégagée par pertes magnétiques
est inchangée, donc chaleur perdue en L3. Par contre,
densité de pertes ohmiques en L-2 donc pertes en L.
Attention ! Rayonnement thermique en L2 , convection
naturelle en L7/4 , conduction en L seulement .
39
Facteur d ’échelle sur le régime nominal
Pas toujours possible !
Si les grandeurs dimensionnantes sont les pertes ohmiques et
la conduction thermique en volume, comme ils sont tous deux
en L , la similitude fait se correspondre les deux régimes
nominaux…….. Mais c ’est loin d ’être toujours le cas.
On peut exploiter les catalogues des fabricants en cherchant
une loi reliant certaines caractéristiques (la puissance nominale
notamment) à la taille des machines (possible seulement si la
technologie est la même pour toutes les machines examinées).
Attention ! D’autres grandeurs, par exemple la tension
40
nominale, ne peuvent pas être liées à la taille !