Transcript 广义相对论效应下的流体静力学平衡方程

2013年脉冲星暑期讲习班
中子星的结构和演化简介
俞云伟 华中师范大学
2013年•北京
内容摘要
• TOV方程
• 理想npe气体
• 相互作用和其它物质组分
• 旋转的影响
• 热演化
流体静力学平衡
GM r  V 
FG  
r2
=  P(r )  P(r  r ) S  P  S
GM
GM 

dP
P
  22rr

drr
rr
dM r
 4 r 2 
dr
Pup
Pdown
FG
P 
• 广义相对论效应下的流体静力学平衡方程
（Tolman-Oppenheimer-Volkoff方程）
GM r  
dP
P   4 r 3 P   2GM 

1 2 
1  2  1 
2
2 
dr
r
M rc  
cr 
 c  
1
广义相对论效应起明显作用的判据（致密性参数）
2GM rg
 1
2
cr
r
TOV方程的具体推导过程：静态球对称度规和理
想流体情况下的爱因斯坦场方程
1
R  g  R  8 GT
2
中子和质子
• 顾名思义：中子星是以中子为主要组成成分的星体。
• 在原子核外，自由中子性质不稳定，半衰期只有15分钟。
n  p  e  e
• 而质子的半衰期比目前宇宙的年龄还要长。
• 为什么是中子星，而不是质子星？
• 中子星的平均密度达到数倍核饱和密度
在一个非常密集的质子环境中，将发生逆beta衰变
p  e  n  e
• 由中子、质子、电子组成的气体（npe气体），其物质的
组分决定于beta衰变和逆beta衰变之间的平衡
n  p  e  e
p  e  n  e
• 物理上反映为三种粒子化学势的平衡
 p  e  n
 F  pF2 c 2  m2c 4
x
pF
mc
me 1  xe2  mn 1  xn2  m p 1  x 2p
2
me 1  xe2  mn  m p  Q
Q
xe     1
 me 
  ne mp  1.2 107 g cm3
富中子化密度
理想npe气体的组分
化学平衡
p  e  n  e

n  p  e  e
m p 1  x 2p  me 1  xe2  mn 1  xn2
局域电中性
me xe  mp x p
n p  ne
2
n 3
h

pF
0
4 p 2 dp 
8 3
1
3
p

x
F
3h3
3 2 ( / mc)3
2
mp
 mp x p 
2
1  x  me 1  

m
1

x

n
n
m
 e 
2
p
4mn2 m2p x 2p (1  xn2 )  (Q 2  me2 )[(mn  m p ) 2  me2 ]
 2 mn2 xn2 ( mn2  m2p  me2 )  mn4 xn4
3/2

 m  m   m  
2
2
2
Q

m


p
2
m

m

m

 n
 
n
p
e 

1


3

n p  m p x p  1 
mn2 xn2
mn4 xn4


  
nn  mn xn  8 

1 

1 2 



 xn 


2
2
e
2
2
e
1
Q  mn , me  mn
0

4Q 4  Q  m

1 
n p 1  mn xn2
mn2 xn4
 
nn 8 

1 
1  2 

 xn 

2
2
e
 
3/2





1
2
3
0.0
 np 
   0.00013
 nn  min
0.2
0.4
 4 Q  m
xn  

mn2

2

1
3 2n3
2
e
0.6
 
0.8
1.0
1/ 4


 0.05
xn3mn  7.8 1011 g cm3
中子星内部，8/9为中子，1/9为质子。
原子核结构对密度的依赖
和中子星的结构分层
• 一般的原子核在核力与库伦力的相互竞争下达到稳定
（ n/p ~1），最稳定的状态出现在A=56时。
• 而在密度大于107g cm-3的情况下，质子可由逆beta衰变过
程转化为中子，原子核富中子化，可使原子核质量数变得
巨大。
• 随着密度的增加，n/p比迅速增加。当达到4*1011g cm-3时，
质量数将大到核力不能束缚，中子从原子核中析出，成为
自由中子。
pi介子？K介子？超子？夸克？
理想npe气体的物态
P  Pn  Pp  Pe

• 压强的计算
1 2
P
3 h3
• 密度的计算
2
n 3
h
• 费米-狄拉克分布
f 
• 色散关系
  p 2c 2  m2c 4


0

0
 f 4 p 2 dp
f 4 p 2 dp
1
exp( / kT )  1
• 是否为简并气体（温度与化学势的比较）
• 是否适用零温近似（温度远小于化学势）
• 是否为相对论性气体（静质量与化学势的比较）
Pnon   5/3
Prel  
4/3
电子：简并、零温、极端相对论性
中子和质子：简并、零温、亚相对论或轻度相对论性
8 m4c5
1 2 pF
p 2c 2
2
P
4 p dp 
3 0
2 4
2 2 1/2
3h
(m c  p c )
3h3

x
0
x4
dx
2 1/2
(1  x )
2

1/2


m c 2 3 
2
x
2
2 1/2  

 2 3  x 1  x  
 1  ln  x  1  x   

 
3  8 
 3

  / mec
2
n 3
h

pF
0
pF
x
mc
8 3
1
4 p dp  3 pF  2 3 x3
3h
3 
2
pe  pn
mec2
mnc 2
 ( xe )  2 3  ( xn )
2 3
8 e
8 n
me4 ( xe )  mn4 ( xn )
me xe  mp x p
m p 1  x 2p  me 1  xe2  mn 1  xn2
 ~ 4 1012 g cm3
在此密度以上，中子简并
压超过电子简并压。
结构和质量半径关系
1.0
0.9
1E15
0.8
M / Msun
1E16
1E14
0.7
1E13
 / g cm
-3
0.6
1E12
0.5
1E11
M0.96
M0.8
M0.7
M0.6
M0.5
1E10
1E9
1E8
0.4
6
2
4
10
12
14
16
18
r / km
Pnon   5/3
1E7
0
8
6
8
10
12
14
16
18
r
GM r  
dP
P   4 r 3 P   2GM 

1 2 
1  2  1 
2
2 
dr
r
M rc  
cr 
 c  
1
讨论
• 实际上，物态由物质组分和密
度共同决定。
• 物质组分随密度会发生变化，
• 给定一个密度，通过化学平衡、
电中性、重子数等条件确定物
质的组成成分。
因而物态方程的形式也会随密
• 由物质组分确定物态。
度发生变化。
• 将物态代到TOV方程中求解该
• 在计算一个星体的结构时，物
态方程并不是恒定不变的。
密度处的物理量增量。
超子和夸克的出现
核
子
重
子
超
子
强
子
介
子
粒子物理标准模型
π介子
ρ介子
K介子
ω介子
Λ超子
Σ超子
Ξ超子
Pan, Zheng, Li (2006)
潘娜娜 2008 博士论文
俞云伟 2006 硕士论文
Alcock et al. (1986)；
Zheng & Yu (2006)
俞云伟 2006 硕士论文
潘娜娜 2008 博士论文
相互作用
• 相互作用本身带来新的物质组分，可改变重子的热力学统计影
响其化学势和丰度，使物态发生改变。
• 对强子之间的强相互作用，理论并不成熟，尚有很多不确定的
因素。常常依赖于实验的结果，但有时候实验结果并不足够精
确。
• 常采用一些唯象或微扰的方式来描述相互作用（相对论平均场
方法、多体理论方法、变分方法等），因而造成了物质组分和
物态方程的多样性。
• 超流、超导、色超导。
Glendenning 1992
8 m4c5
1 2 pF
p 2c 2
2
P
4 p dp 
3 0
2 4
2 2 1/2
3h
(m c  p c )
3h3
1
f 
exp( / kT )  1

x
0
x4
dx
2 1/2
(1  x )
Weber 2004
Weber 2004
微扰法
Hartle 1967
Hartle 1967
康缈 2007 博士论文
康缈 2007 博士论文
Yuan & Zhang (1997)
Yu & Zheng (2006)
基本方程
但星体外壳层存在明显的温度梯度，需要单独处理。即星体表面
温度与内部温度之间的关系需要事先确定。
外壳层的保温效果
Gudmundsson et al. (1983)
中微子辐射
Yakovlev et al. (1999)
加热效应
Yang et al. (2011)
Yu et al. (2009)