Transcript Движение Отображение плоскости на себя

Движение
Отображение плоскости на себя



Каждой точке плоскости сопоставляется какая-то
точка этой же плоскости , причем любая точка
плоскости оказывается сопоставленной некоторой
точке. Тогда говорят ,что дано отображение
плоскости на себя .
Осевая симметрия представляет собой
отображение плоскости на себя.
Центральная симметрия также представляет
собой отображение плоскости на себя.
Понятие движения



Осевая симметрия обладает важным
свойством - это отображение плоскости на
себя , которое сохраняет расстояние
между точками .
Движение плоскости – это отображение
плоскости на себя , сохраняющее
расстояния.
Центральная симметрия плоскости также
является отображение плоскости на себя
ТЕОРЕМА №1

При движении отрезок отображается на
отрезок.
ТЕОРЕМА №1


Дано: отрезок MN.
Доказать:1.MN
отображается при
заданном движение
M1N1 ;2.P отображается
в P1;
Доказательство





I.1)MP+PN=MN(из условия)
2)т.к. при движение расстояние сохраняется
=>M1N1=MN, M1P1=MP и N1P1=NP (1)
=>M1P1 +P1N1= M1N1=>P1 ПРИНАДЛЕЖИТ M1N1
=>точки MN отображается в отрезке M1N1
II.Пусть P1 произвольная точка M1N1, а точка
P при заданном движении отображается в P1
Из соотношения равенства (1) и M1N1=
M1P1
+P1N1=>MP+PN=MN=>PпринадлежитMN.
Следствие




Из теоремы №1 следует, что при движении каждая
сторона треугольника отображается на равный ей
отрезок => треугольник отображается на
треугольник с равными сторонами, т.е.на равный
треугольник при движении. Из теоремы
№1следует, что при движении:
1)прямая отображается на прямую;
2)луч- на луч;
3)угол- на равный ему угол.
Наложения и движения

Фигура Ф равна фигуре Ф1 , если фигуру Ф
можно совместить с фигурой Ф1 .Под
наложением фигуры Ф на фигуру Ф1 мы
понимаем некоторое отображение фигуры
Ф на фигуру Ф1.При этом не только точки
фигуры Ф, но и любая точка плоскости
отображается в определенную точку
плоскости , т. е. наложение – это
отображение плоскости на себя.

Наложения – это такие отображения
плоскости на себя, которые обладают ,
свойствами выраженными в аксиомах. Они
позволяют доказать все те свойства
наложений , которые мы себе представляем
наглядно и которыми пользуемся при
решении задач
Теорема №2

При наложение различных точки
отображаются в различные точки.
Доказательство

Предположим, что это не так, т.е. при некотором
положении какие-то точки A и B отображаются, в
Ф2=Ф1,т.е.при некотором наложении Ф2
отображается в Ф1.Но это невозможно, т.к.
наложение-это отображение, а при любом
отображении, С становится в соответствие только
одна точка плоскости =>при наложении отрезок
отображается на равный ему отрезок. Пусть при
наложении концы A и В отрезка АВ отображаются
в А1 и В1. Тогда ,АВ отображается на А1 В1 =>
АВ=А1В1. Т.к равные отрезки имеют равные
длины, то наложение является отображением
плоскости на себя, сохраняющим расстояние, т.е.
любое наложение является движением плоскости.
Теорема №3

Любое движение является наложением.
Теорема №3


Дано:g-произвольное
движение треугольника
ABC отображается в
треугольник A1 B1 C1
f- наложение, при
котором точки A,B,C
отображаются в A1 B1 C1
.

Доказать:g совпадает c f.
Доказательство

Предположим, что g не совпадает с f=> на
плоскости найдется хотя бы 1-ая точка M, которая
при движении g отображается в M1, а при
наложении f- в M2. Т.к. при отображениях f и g
сохраняется расстояние, то AM=A1M1, AM=A1M2
,т.е. точка A1 равноудалена от M1 и M2=>A1,B1 и C1
лежат на серединном перпендикуляре к M1 M2.Но
это невозможно, т.к. вершины треугольника A1B1C1
не лежат на одной прямой.Таким образом g
совпадает f,т.е. движение g является наложением.
Следствие

При движении любая фигура
отображается на равную ей фигуру.
Параллельный перенос

Пусть а – данный вектор. Параллельным
переносом на вектор а называется
отображение плоскости на себя , при
котором каждая точка М отображается в
такую точку М1,что вектор ММ1 равен
вектору а
Теорема №4

Параллельный перенос является
движение, т.е. отображением плоскости
на себя, сохраняющим расстояния.
Теорема №4


Дано: При
параллельном
переносе на а ,M и
N отображаются в
M1 и N1.
Доказать:MN=M1N1.
Доказательство


Т.к. MM1= а , NN1=a=> MM1=NN1
=>MM1||NN1 и MM1=NN1 => MM1NN1параллелограмм =>MN=M1N1,т.е.
расстояние между M и N= расстоянию
между M1и N1.
Таким образом, параллельный перенос
сохраняет расстояние между точками и
поэтому представляет собой движение.
Поворот

Поворотом плоскости вокруг точки О на
угол а называется отображение плоскости
на себя, при котором каждая точка М
отображается в такую точку М1,что
ОМ=ОМ1 и угол МОМ1 равен а. При этом
точка О остается на месте , т.е.
отображается сама в себя, а все остальные
точки поворачиваются вокруг точки О в
одном и том же направлении –по часовой
стрелке или против часовой стрелки.
Теорема №5

Поворот является движением, т.е.
отображением плоскости на себя,
сохраняющим расстояние.
Теорема №5


Дано: О- центр
поворота d- угол
поворота против
часовой стрелки
Доказать: MN=M1N1
Доказательство



Допустим, что при этом повороте M и N
отображаются в M1 и N1.
Треугольник OMN=OM1N1 (OM=OM1,ON=ON1,
угол MON=углу M1ON1).Из этого равенства
следует, что MN=M1N1,т.е. расстояние между M и
N= расстоянию между M1 и N1.
Поворот сохраняет расстояние между точками и
поэтому представляет собой движение.
Задачи


Дано: Угол АОВ и
угол А1О1В1.
Доказать, что при
движении угол
отображается на
равный ему угол.
РЕШЕНИЕ

Пусть при данном движении угол АОВ
отображается на угол А1О1В1, причем точки
А.О.в отображаются соответственно в точки
А1,О1,В1. так как при движении сохраняются
расстояния, то ОА=О1А1, ОВ= О1В1. Если угол
АОВ неразвернутый, то треугольники АОВ и
А1О1В1 равны по трем сторонам, и,
следовательно, угол АОВ= углу А1О1в1. Если
угол АОВ развернутый, то и угол А1О1В1
развернутый, поэтому они равны.

Задача № 2


Дано : АВ=А1В1 ,
АС=А1С1,ВС=В1С1.
Док-ть: что
существует движение ,
при котором точки А,
В и С отображаются в
точке А1, В1 и С1,
притом только одно.
РЕШЕНИЕ

Треугольники АВС и А1В1С1 равны по
трем сторонам. Следовательно, существует
наложение, т.е движение, при котором
точки А,В и С отображаются
соответственно в точки А1, В1 и С1.Это
движение является единственным
движением, при котором точки А,В и С
отображаются в точки А1В1и С1.

Задача №3. Начертите треугольник АВС,
вектор ММ1, который не параллелен ни
одной из сторон треугольника, и вектор а,
параллельный стороне АС. Постройте
треугольник А1В1С1, который получается
из треугольника АВС параллельным
переносом : а) на вектор ММ1; б) на вектор
а.

Дано:

Решение

б) Решение