Transcript Algoritmul Bellman-Ford

Algoritmul Bellman-Ford
Sa intelegem…
Algoritmul Bellman-Ford determina
drumurile minime de la un varf de start la toate
celelalte varfuri in graf,chiar daca exista costuri
negative pe arce. Exista solutie doar daca in
varful de start nu se ajunge la un drum de cost
negativ, deoarece acesta ar duce la minimizarea
drumului la infinit.
…mai mult…
Algoritmul incearca sa reduca succesiv
costul drumului de la nodul de plecare la orice
varf k din graf (d[k]) pana la obtinerea costului
minim, astfel se verifica pentru fiecare arc(j,k)
daca participa la minimizarea distantei de la
nodul de plecare la nodul k (adica daca
respecta conditia d[k]>d[j]+c[j][k]).
Iata algoritmul!!!
Drumul…
Drumul se poate realiza atat iterativ,cat si
recursiv. In ambele variante vom reconsrui
drumul “inapoi”,plecand de la varful destinatiei
y.
in vectorul tata[y] este memorat
predecesorul varfului y pe drumul de cost
minim de la x0 la y si asa mai departe.
Reconstruirea drumului se termina atunci cand
ajungem in varful de start.
CHESTII IMPORTANTE:
1)Observati ca drumul va fi obtinut in
ordine inversa. Pentru a obtine drumul in
ordinea corecta in varianta iterativa, vom
memora drumul intr-un vector,pe care ulterior
il vom parcurge de la sfarsit la inceput;
Chestii importante 2
• 2)In varianta recursiva, vom utiliza
proprietatile stivei.
3) Algoritmul Bellman Ford astfel
prezentate reține câte un singur drum de
cost
minim de la vârful sursă la fiecare dintre
celelalte vârfuri ale grafului.
Alte chestii importante
• Pentru a obtine drumurile de cost
minim, se vor retine pentru fiecare
varf Y din graf toate varfurile care il
preceda pe y pe un drum de cost
minim de la X0 la Y.
Continuare
• Acest lucru se va face astfel:
• tata[i][0] este numărul vârfurilor din
care se poate atinge vârful i obținând
• un cost minim
• tata[i][k] este cel de-al k-lea nod din
care se poate atinge vârful i obținând
• un cost minim, unde k este strict
pozitiv.
Complexitate
• Complexitatea algoritmului Bellman Ford este
O(n^3), deoarece algoritmul execută de n ori
secvența de minimizare distanțelor având
complexitatea O(n^2).
• Dacă graful este memorat în liste de
adiacență, complexitatea algoritmului este
O(nxm).