Государственное Образовательное Учреждение Лицей №1523 ЮАО г.Москва

Лекции по алгебре и началам анализа 10 класс

©

Хомутова Лариса Юрьевна

Тригонометрические функции, их свойства и графики.

I.

Понятие угла.

Углы

, откладываемые в направлении против часовой стрелки, принято считать

положительными

, а по часовой –

отрицательными

I.

Понятие угла.

 

0

рад

    180

рад

0

 

0

  180

0

Пример.

1) Определите радианные меры углов: 2 0 ; 1440 0 2) Определите градусную меру углов: 1 , 5  ; 1 , 7 3) Углом какой координатной четверти является угол: 21  4 ;  31  7 ; 2 ; 10 ; 750 0 ; 2250 0 ;  280 0

II.

Тригонометрический круг.

Из прямоугольного треугольника

OAH

.

; .

, Из прямоугольного треугольника

OCF

Из прямоугольного треугольника

ODB

II.

Тригонометрический круг.

.

; .

,

II.

Тригонометрический круг.

Косинусом произвольного угла

называется абсцисса точки пересечения его стороны с тригонометрическим кругом.

Синусом произвольного угла

называется ордината точки пересечения его стороны с тригонометрическим кругом.

Тангенсом произвольного угла

пересечения с осью тангенсов стороны угла или ее продолжения.

называется координата точки

Котангенсом произвольного угла

точки пересечения с осью котангенсов стороны угла или ее продолжения.

называется координата

II.

Тригонометрический круг.

Замечание 1:

2

k

Значение тангенса не определено для углов вида

k

– произвольное целое число. Аналогично не определено значение котангенса для углов вида .

  

k

Замечание 2:

В соответствии с определениями синуса и косинуса острого и тупого углов, sin  1 cos   1 ,

Замечание 3:

sin cos 



k k



 sin  cos 

ctg tg

   

ctg



tg

II.

Тригонометрический круг.

Замечание 4:

Из сформулированных определений следует, что

sin cos sin  cos 

,

tg ctg

   

Замечание 5:

На рисунке показаны знаки , тригонометрических функций углов, лежащих в различных координатных четвертях. Следует обратить внимание на то, что тангенс и котангенс угла – числа одного знака.

II.

Тригонометрический круг .

Замечание 6:

Из сформулированных определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла вытекает, что каждому углу соответствует единственное значение соответствующей тригонометрической функции. Поэтому  sin

x

 cos

x

 

tgx

c

tgx

являются функциями (каждому допустимому значению аргумента

функции x

соответствует единственное значение функции); отсюда и название: «тригонометрические угла».

II.

Тригонометрический круг .

Пример.

1. Определите знак выражения sin 5   cos 3 5  

tg

4  7  8 

ctg

9  8 2. Вычислите: 2

2sin 225

 

ctg

 

330



tg

405

 3. Расположите в порядке возрастания числа .

.

, sin 3

cos 4 sin 7

.

cos 7

,

III.

Связь между тригонометрическими функциями одного и того же угла.

1.Основное тригонометрическое тождество: sin 2   cos 2   1 2. Связь между тангенсом, котангенсом, синусом и косинусом одного аргумента: .

.

tg

 

sin cos

 

ctg

 

cos sin

 

III.

Связь между тригонометрическими функциями одного и того же угла.

3. Связь между тангенсом и котангенсом одного аргумента:

tg



ctg

  1

  

k

2

4. Связь между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом одного аргумента: .

.

.

.

tg

2

cos 1

2



ctg

2

sin 1

2



5. Формулы приведения

III.

Связь между тригонометрическими функциями одного и того же угла.

Пример.

Найдите значения всех тригонометрических функций угла  , если:

sin   0,8

     2

ctg

  

5 12 , ,  2 0