Transcript Comment construire le nombre en maternelle à travers la résolution

LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFESTAGE PRF AMSUD MAI 2014
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Que disent les programmes sur les problèmes ?
Dès le début, les nombres sont utilisés dans des situations
où ils ont un sens et constituent le moyen le plus efficace
pour parvenir au but : jeux, activités de la classe,
problèmes posés par l’enseignant de comparaison,
d’augmentation, de réunion, de distribution, de partage. La
taille des collections, le fait de pouvoir agir ou non sur les
objets sont des variables importantes que l’enseignant
utilise pour adapter les situations aux capacités de
chacun. À la fin de l’école maternelle, les problèmes
constituent une première entrée dans l’univers du calcul mais
c’est le cours préparatoire qui installera le symbolisme
(signes des opérations,signe “égal” ) et les techniques.
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Quelles compétences doivent-ils acquérir ?
À la fin de l’école maternelle l’enfant est capable de :
- comparer des quantités, résoudre des problèmes portant sur les
quantités
- mémoriser la suite des nombres au moins jusqu’à 30 ;
- associer le nom de nombres connus avec leur écriture chiffrée ;
- se situer et situer les objets qui l’entourent dans l’espace ;
- se repérer dans l’espace d’une page ;
- comprendre et utiliser à bon escient le vocabulaire du repérage et des
relations dans le temps et dans l’espace
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Des justifications pédagogiques
et didactiques
 Une pédagogie socio-constructiviste : le
problème place l’élève dans une situation de
déséquilibre cognitif et lui permet de faire
évoluer ses connaissances. Le problème est un
moteur de l’apprentissage.
 Le problème permet aussi d’utiliser les
compétences acquises. Le problème sert à
consolider les apprentissages.
 Résoudre des problèmes dès la maternelle
permet aussi de construire des attitudes.
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Questionnaire proposé par M.H. Salin de Bordeaux
Y a-t-il bien un problème posé aux élèves ?
Quel est le ou les savoirs visés ?
Quelles sont les procédures possibles pour résoudre le problème?
L'utilisation de la connaissance visée est-elle nécessaire pour parvenir à la
solution du problème posé aux élèves ?
L'élève peut-il comprendre la consigne et s'engager vers une solution sans
disposer de cette connaissance entièrement élaborée ?
Comment voit-il qu'il a réussi ou échoué ? Est-il entièrement dépendant de
l'adulte ou la situation comporte-t-elle des rétroactions ?
La validation du résultat peut-elle lui donner des informations sur la façon
de réussir ?
La validation du résultat est-elle confondue avec l'activité ?
Peut-il recommencer en modifiant sa procédure ?
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Enumération : le problème de la boîte d'allumettes
Jeu individuel en atelier dirigé de 15 mn
environ pour 4 élèves.
Un élève dispose devant lui d’une collection
de boîtes d’allumettes identiques percées sur
le côté d’un petit trou permettant le passage
d’un bâtonnet (allumette).
Il s’agit d'introduire une allumette (une seule)
dans chaque boîte. Pour savoir si l'action a
réussi, on ouvrira les boîtes une par une. Dans
une première suite de séquences, les boîtes
sont déplaçables. Elles sont ensuite fixées sur
un tableau, présageant ainsi l'exploration d'une
collection dessinée.
Extrait du CD-ROM d’Hatier, apprentissages en maternelle
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La construction du nombre
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Des problèmes pour développer les
compétences logiques
Les compétences logiques nécessaires
pour construire le nombre :
- être capable de trier et de classer
- être capable d’énumération
- être capable de désigner
- être capable d’ordonner
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Le nombre, quelques définitions : compter/ dénombrer..., les
fonctions du nombre, etc…
 Les différentes situations
 Les ateliers autour des compétences "comparer des quantités",
"résoudre des problèmes de comparaison"
 Mise en commun
 Synthèse (les procédures, les variables didactiques, les activités
en PS, MS et GS, le lexique, exemples d'activités fonctionnelles,
rituels, aux coins regroupement, l'évaluation...)
Une séquence lien math/sciences
 Les difficultés des élèves : situations de référence pour aider les
élèves à progresser


Bibliographie
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A quoi servent les nombres ?
Les nombres servent à :
Mémoriser une quantité
Comprendre que le nombre est un moyen expert pour
construire une collection équipotente à une collection
donnée hors de la présence de celle-ci

Partager des quantités
Comprendre qu'une collection peut se partager et que ce
partage peut se traduire complètement avec des
nombres ; établir des relations entre le tout et les parties

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A quoi servent les nombres ?

Calculer :
Comprendre qu'une quantité peut résulter de la
composition de plusieurs quantités
Comprendre que l'on peut opérer sur des nombres
pour prévoir le résultat d'une transformation (sur des
collections ou sur une piste graduée)
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Définitions
Compter : réciter la comptine
Dénombrer : définition donnée par J. Briand
“apprentissages mathématiques en maternelle CD Rom
Hatier
Dénombrement au sens large : on dit qu’un sujet sait
dénombrer une collection quand il sait lui attribuer le
nom ou l’écriture de son cardinal (le nombre de ses
éléments), par comptage, c’est-à-dire en ayant recours à
la comptine ou en dénombrant par perception globale…
Surcompter : compter à partir d’un nombre donné
Décompter : compter en arrière à partir d’un nombre
donné
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Comparer deux collections











Met en jeu :
Le dénombrement
Rappel : comptage / dénombrement (faussement simple)

Principe d’ordre stable : la stabilité de l’ordre des mots de la
comptine permet de retrouver le même résultat à chaque fois.

Principe de correspondance terme à terme : énumération,
relation entre le mot-nombre et l’objet.

Principe de cardinalité : le dernier mot-nombre prononcé
représente le nombre d’éléments de la collection.

Principe d’abstraction : la nature des objets n’influe pas sur le
cardinal.

Principe de non pertinence de l’ordre : l’ordre dans lequel les
objets sont énumérés n’influe pas sur le résultat.
La capacité à mémoriser
La capacité à ordonner
Les différents contextes à travailler : ordinal, cardinal, grandeur et
mesure
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Les différentes situations autour du
nombre
Evaluation diagnostique
Situations d’apprentissage
Activités rituelles
Situations fonctionnelles
Activités d’accompagnement, de réinvestissement
Evaluation
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Ateliers : comparer des collections
A partir de situations proposées en
classe de maternelle, compléter la
grille en indiquant la (les)
connaissance(s) en jeu (notions
mathématiques et vocabulaires
scientifiques),
les
procédures
possibles mises en oeuvre par les
élèves d'une classe donnée, les
difficultés possibles rencontrées
par les élèves
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Connaissances en
jeu (notions
mathématiques ptés
et vocabulaires
spécifiques)
Les différentes
procédures
Les difficultés
rencontrées par les
élèves
Quelles variables
pour compléxifier
ou simplifier.
Reprendre questionnaire de M. Salin
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Ateliers : comparer des collections
Jeux de construction (tour 3 jaunes et 2 rouges/ tour 3
vertes et 1 bleue deux tours éloigné l'une de l'autre : dans
quelle tour, y a-t-il le plus de briques ? )
 "Pêche aux trombones avec aimant" : attraper le plus
possible de trombones avec un aimant. Qui a attrapé le
plus de trombones en une seule fois ? Trombones de
couleur
A partir du résultat d'une pêche aux trombones :
voici le résultat d'une pêche : qui a attrapé le plus de
trombones en une seule fois ? (exercice sur fiche)
 6 bouteilles d'eau ou de lait /
7 bouchons (diapo
suivante)

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Dispositif bouteilles/ bouchons :
Le maître place un nombre de bouteilles de lait en plastique vides
dans un coin de la salle et un nombre de bouchons dans un autre
coin. Il dit à ses élèves : tout à l'heure, on prendra les bouchons et on
mettra un bouchon par bouteille.
Le maître pose les questions suivantes :
Y aura-t-il trop de bouchons ? Pas assez de bouchons ? Ou juste ce
qu'il faut de bouchons pour boucher chaque bouteille avec un seul
bouchon ?
Habillages très variés : poupées/ habits, lapins/ carottes
places de voyageurs/ voyageurs (le bus ne part que s'il est plein/ un
voyageur sur chaque siège): y aura-t-il trop de voyageurs ? Pas assez
de voyageurs ou juste ce qu'il faut de voyageurs pour qu'il y ait un
voyageur sur chaque siège ?
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 Outils disponibles
 Papier, crayon, bande numérique sans zéro, ciseaux,
pâte à modeler, carte constellations, carte
configuration de doigts, carte à points…
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Mise en commun
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Les différentes procédures mises en oeuvre
par les élèves de cycle 1
Procédures non numériques : pour faire les
comparaisons, l'élève utilise les collections
présentes ou des collections intermédiaires. Le
nombre n'est jamais explicitement présent dans
son activité.
Procédures numériques
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Les procédures non numériques
Estimation : les comparaisons se font en tenant
compte soit de la disposition spatiale (place ossupée,
disposition des objets), soit d'un certain sens de la
pluralité
Peu fiable dans le cas où les collections ont des objets
dissemblables ou quand les nombres à comparer sont
voisins
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Les procédures non numériques
Subitizing :
Pour les nombres inférieurs à 3, ou pour les points du dé
(disposition spatiale particulière)
 L'utilisation des doigts : ils peuvent utiliser pour figurer
des objets
Selon brissiaud, il semble ne pas toujours utiliser la même
configuration de doigts

Pour comparer des quantités : commencer toujours par le
pouce avec la première main vue de dos pour que les élèves
voient les doigts se lever successivement de leur gauche vers
leur droite
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Les procédures non numériques
Correspondance terme à terme : les objets
des deux collections sont mis en relation un à
un, soit spatialement, soit en utilisant "un lien
verbal" : "un/un, deux/deux" ou encore "celuilà, là, celui-là, là..."
Distribution un à un des éléments de deux
collections simultanées
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Les procédures numériques
Utilisation de sous-collections : cela consiste à décomposer
une collection (5 objets) en sous-collections (3 et 2) rendant
la comparaison évidente (3 et 2 > 3)
 Dénombrement : on compte les objets d'une collection
puis de l'autre et on compare les 2 nombres obtenus
 Utilisation
de la comptine : si en dénombrant une
collection, on dépasse le cardinal d'une autre collection, c'est
collection est plus grande (9 est plus grand que 7)
 Utilisation de la bande numérique : utilisation de l'ordre/
aspect ordinal (plus loin, avant/ après), aspect cardinal (9 est
plus grand que 7)
 Surcomptage : reconnaissance d'une partie de la collection
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à dénombrer + procédure ci-dessus

Situation-problème très intéressante (bouteilles) :
anticiper le résultat d'une comparaison (les enfants
ne doivent pas déplacer les bouteilles ou les bouchons)
 deux nombres à comparer.
L'élève doit compter les bouteilles, puis les bouchons
et s'apercevoir qu'il a "compté les bouchons plus loin
que les bouteilles" (trop de bouchons)
La collection la plus nombreuse est celle dont le
comptage va le plus loin.
La manipulation peut conduire à la décomposition
8 bouchons c'est 7 bouchons et encore 1 bouchon

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Les variables didactiques
Quelques éléments de situation que l'on peut faire varier pour faire
changer de procédures

Nature du matériel proposé :
Objets manipulables (jetons, billes, trombones et autres), objets fixés
(gommettes collées, objets fixés avec patafix...), objets représentés

Nature de ce qui est à comparer :
Deux collections ou deux pistes ou une collection et une piste
Une collection et un nombre représenté ou un nombre écrit, deux nombres
écrits
Le champ numérique :

La taille des nombres
L'écart entre les nombres comparés
Le nombre de collection
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Comment faire en sorte que
les procédures construites
dans cette situation
d’apprentissage soient
automatisées ?
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Exemples d'activités pour les rituels
Comparer le nombre de filles et de garçons présents dans la
classe (MS/ GS), pour un groupe donné (PS/MS), comparer les
absents et les présents (étiquettes).
correspondance terme à terme ( alignement des filles et des
garçons / disposition deux par deux : une fille/ un garçon)
 dénombrement avec utilisation de la comptine 12 plus petit
que 15)
 dénombrement avec utilisation de la bande numérique 15 c'est
plus loin que 12, c'est après…

Ritualiser cet apprentissage pour faire des automatismes
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Exemples d'activités fonctionnelles
Les mathématiques sont un outil pour résoudre des
problèmes de la vie quotidienne :
Goûters : préparer les goûters et comparer le nombre de
biscuits aux enfants de la classe, pour un groupe donné
Atelier peinture : préparer le matériel (nombre de tabliers,
de pinceaux, de feuilles blanches, de pots de peinture...)
Savoir qui a gagné ?
EPS : préparer les dossards (voir diapo suivante)
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NOTION : CONSTRUIRE LE NOMBRE
Compétence : Comprendre à quoi sert le nombre, Jeu du garage
« LE NOMBRE MEMOIRE D’UNE QUANTITE 1,2, 3»
Pour travailler cette compétence un
certain nombre de problèmes peuvent
être mis en place plusieurs fois dans
l’année.
On connaît en général le problème des
wagons ou du car : pour que le car
puisse partir, il faut qu’il soit rempli. Il
faut aller chercher les voyageurs dans
un coin éloigné de la classe.
On peut aussi demander à un élève
d ’aller chercher juste assez de foulards
pour son groupe avant la séance
d ’EPS. ...
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Activités papier crayon
Extraits du document d’accompagnement des programmes
2002 : « Vers les mathématiques : quel travail en maternelle ?
(http://www.eduscol.education.fr/D0048/vers_les_math.pdf)
D’une manière générale, les activités doivent correspondre à
des centres d’intérêt des enfants. Les activités gratuites, non
motivantes, sans rapport avec ce que vivent les enfants sont
évitées. En particulier, la place des activités papier-crayon
doit être limitée. Sans intérêt pour les enfants de Petite
Section, elle est réduite en Moyenne Section et doit rester
modeste en Grande Section. Ces activités papier-crayon ne se
justifient que si elles sont en lien avec un vécu (action
effective, jeu…) qu’elles accompagnent ou qu’elles prolongent
pour en garder une trace figurative ou symbolique.
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Activités aux coins regroupements
Problème du type bouteilles d'eau/ bouchons
Comparaison de différentes collections (briques, jetons...)
Taper dans ses mains 5 fois (taper une collection plus
petite…)
Bande numérique pour chaque élève : on demande de
trouver trois nombres avant 7 ou deux nombres après 12
Premier calcul mental (Charnay)
Des cartes nombres sont posées dans l'ordre sur le sol :
1, 2, 3, 4, 5, 6..... les élèves ferment les yeux. Le maître ou un
élève intervertit deux nombres ou enlève un nombre... Les
élèves doivent dire ce qui s'est passé
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Un exemple de module
d’apprentissage en sciences et
maths
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Jeux libres
Au coin
regroupement :
Qu’est-ce que
c’est ?
A quoi serventils ?
Où les trouve-ton ?
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Découvrir les objets
aimantés, les
caractériser (« 5 sens
»)
Question : les objets
aimantés sont-ils tous
identiques ?
37
Trace écrite accompagnant des
dessins d’objets aimantés
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Comparer les objets aimantés pour caractériser leurs points
communs
Question : quelles sont les ressemblances entre tous les objets
aimantés ?
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Découverte du monde : la
matière
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Découvrir les propriétés des aimants
Questions : Quels sont les objets qui sont attirés par les aimants ? Quels
sont les objets qui ne sont pas attirés par les aimants ?
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Bibliographie
•
•
•
BERDONNEAU C., “Aider les élèves en difficulté en mathématiques Cp/Ce1 - Tome 1 et 2 ”, éd. Hachette
2006.
BRIAND J., “apprentissages mathématiques en maternelle ”, CD Rom Hatier, 2004
CHAMPDAVOINE L., “ les mathématiques par les jeux ”, un tome pour chaque niveau de maternelle, éd.
Nathan.
•
COHERE Marie-Pierre, “50 activités pour découvrir le monde à l'école maternelle vers les
mathématiques ”, éd Scéren/CRDP Midi-Pyrénées, 2006
•
•
ERMEL, “ apprentissages numériques par la résolution de problèmes” éd. Hatier.
GRELIER J.F., “Devenir élève par les apprentissages géométriques au cycle 1 ”, éd Scéren/CRDP MidiPyrénées, 2009
HERVE P., “La résolution de problèmes arithmétiques à l'école ” , Hatier, 2005
MARTIN F., “Apprentissages mathématiques : jeux en maternelle ”, Centre régional de documentation
pédagogique d'Aquitaine.
NEY L., RAJAN C., VASLOT E., “ Outils pour les cycles : des situations pour apprendre le
nombre, Cycle 1 et GS ”, CRDP de Champagne –Ardenne, 2006.
PIERRARD A., “faire des mathématiques en maternelle ”, éd Scéren/CRDP Grenoble
VALENTIN D., “découvrir le monde avec les mathématiques, situations pour la petite et moyenne section ”,
éd. Hatier 2004.
VALENTIN D., “découvrir le monde avec les mathématiques, situations pour la grande section ”, éd. Hatier
2004.
GRAND N, 2000. Spécial Maternelle (2 tomes: approche du nombre et structuration de l'espace). IREM de
Grenoble.
•
•
•
•
•
•
•
•
APMEP, fichier Evariste école, 2006
•
CRDP de l'académie de Versailles, Chacun son chemin, un problème de partage : apprentissages
numériques au cycle 2, 2004
42
Bibliographie
Ouvrage de Rémi Brissiaud « Premiers pas vers les maths – Les
chemins de la réussite à l’école maternelle »
C'est un ouvrage très intéressant qui explique bien les difficultés
posées par le dénombrement par comptage et qui propose des
activités, en particulier au niveau du travail sur les décompositions des
nombres, qu’il me semble important de mettre en œuvre en classe.
Cependant faut-il suivre Brissiaud quand il préconise de bannir tout
dénombrement par comptage en PS et début de MS ?
Même s'il pose des problèmes, le dénombrement par comptage est un
procédé de dénombrement parmi d'autres.
.
Les parents ne connaissent pour la plupart que ce mode de
dénombrement et l'apprennent de toute façon à leurs enfants. Il me
semble donc souhaitable que l'enseignant ne laisse pas l'apprentissage
de cette procédure à la seule responsabilité des parents justement
parce que ce n'est pas une procédure facile et parce que l'enseignant a
des connaissances sur les difficultés à surmonter que les parents n'ont
en
général
pas.
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Bibliographie
Voir, par exemple, les ouvrages de Dominique Valentin (un pour PS/MS et un pour GS) et l ’ouvrage
de l’équipe Ermel pour la GS :
e) On peut utiliser le mat ériel propos é par Brissiaud (PS, MS et GS)
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