TOÁN KINH TẾ Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010

Download Report

Transcript TOÁN KINH TẾ Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ iSPACE
137C Nguyễn Chí Thanh, P 9, Q 5, TP. Hồ Chí Minh
Web: ispace.edu.vn - Tel: 08.6.261.0303 - Fax: 08.6.261.0304
TOÁN KINH TẾ
www.math.hcmus.edu.vn/~ntchuyen/ispace
[email protected]
NTC_2010
Chương trình
• Chương 1. Đại số tuyến tính và toán xác
suất.
• Chương 2. Giới thiệu về mô hình toán
kinh tế.
• Chương 3. Phương pháp đơn hình và bài
toán đối ngẫu.
• Chương 4. Bài toán vận tải.
Toán kinh tế
NTC_2010
Tài liệu tham khảo
• Đại số tuyến tính & Quy hoạch tuyến tính
– GSTS. Ngô Thành Phong, ĐHKHTN
TPHCM 2001.
Toán kinh tế
NTC_2010
A. MA TRẬN
§1. Ma trận
- Khái niệm ma trận
- Ma trận vuông
- Các phép toán trên ma trận
4
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
A. MA TRẬN
1. Khái niệm ma trận
• Định nghĩa ma trận:
Ma trận cấp mxn là bảng số thực hình chữ nhật có m dòng
và n cột .
Cột j
 a11 ... a1 j


A   ai1 ... aij


a
 m1 ... amj
... a1n 


... ain 


... amn 
Dòng i
5
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
A. MA TRẬN
1. Khái niệm ma trận
Ví dụ 1.

1
4

2
A
02 5

A là ma trận thực cấp 2x3 gồm 2 dòng và 3 cột
Phần tử của A:
Ví dụ 2
a11  1; a12  4; a13  2; a21  0; a22  2; a23  5
 1 2 1 


A   3 3 2 
5 1 4 


6
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
A. MA TRẬN
1. Khái niệm ma trận
Ma trận A có m dòng và n cột thường được ký hiệu bởi
A  aij 
mn
Tập hợp tất cả các ma trận cấp mxn được ký hiệu là Mm n(R)
x
Định nghĩa ma trận không
Ma trận có tất cả các phần tử là không được gọi là ma trận
không, ký hiệu 0, (aij = 0 với mọi i và j).
 0 0 0
A

 0 0 0
7
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
A. MA TRẬN
2. Ma trận vuông
Định nghĩa ma trận vuông
Nếu số dòng và cột của ma trận A bằng nhau và bằng n, thì
A được gọi là ma trận vuông cấp n.
 2 1
A

3
2


Tập hợp các ma trận vuông cấp n được ký hiệu bởi Mn(R)
8
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
A. MA TRẬN
2. Ma trận vuông
Các phần tử a11, a22,…,ann tạo nên đường chéo
chính của ma trận vuông A.
 2 3
 3 4

 2 1
 2 1

1 1
0 5

3 7

6 8
Ma trận đường chéo là ma trận có các phần tử nằm ngoài
đường chéo chính bằng 0. Lúc đó ma trận đường chéo
được ký hiệu: diag(a11, a22,…,ann) với aii là các phần tử
nằm trên đường chéo chính.
9
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
A. MA TRẬN
2. Ma trận vuông
Định nghĩa ma trận tam giác trên
Ma trận vuông A   aij 
được gọi là ma trận tam
nn
giác trên nếu aij  0, i  j
 2 1 3 


A  0 3
6 
 0 0  2


Định nghĩa ma trận tam giác dưới
Ma trận vuông A   aij 
được gọi là ma trận tam
nn
giác dưới nếu aij  0, i  j
2 0 0 
A  4 1 0 


 5 7 2 


TOÁN KINH TẾ
10SUẤT
Chương 1: MA TRẬN & XÁC
NTC-2010
A. MA TRẬN
2. Ma trận vuông
Định nghĩa ma trận đơn vị
Ma trận chéo với các phần
1 được gọi là ma trận đơn
và aii = 1 với mọi i).
1

I  0
0

tử đường chéo đều bằng
vị, tức là (aij = 0, i ≠ j;
0 0

1 0
0 1 
Ma trận đơn vị cấp n được ký hiệu bởi In
11
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
A. MA TRẬN
3. Các phép toán ma trận
a. Hai ma trận trận bằng nhau
Hai ma trận bằng nhau nếu:
1) cùng cấp;
2)các phần tử ở những vị trí tương ứng bằng
nhau (aij = bij với mọi i và j).
12
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
A. MA TRẬN
3. Các phép toán ma trận
b. Ma trận chuyển vị
Chuyển vị của
A  aij 
là ma trận
mn
A  aij 
T
nm
cấp
nXm thu được từ A bằng cách chuyển dòng thành cột.
Ví dụ
 2 1 3
A

 4 0 9  23
 2 4


T
A   1 0 
 3 9

32
13
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
A. MA TRẬN
3. Các phép toán ma trận
Tính chất:
a) (AT)T= A;
b) AT = BT  A =B
Định nghĩa ma trận đối xứng
Ma trận vuông A thỏa aij = aji với mọi i = 1,….n và j
=1,…,n được gọi là ma trận đối xứng (tức là, nếu
A = AT)
 2 1 3


A   1 4 7 
 3 7 0


TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN14& XÁC SUẤT
NTC-2010
A. MA TRẬN
3. Các phép toán ma trận
c. Phép nhân ma trận với một số.
Nhân ma trận với một số, ta lấy số đó nhân với tất
cả các phần tử của ma trận.
Ví dụ
 1 2 4 
A

 3 0 5
 2 4 8 
2 A  

 6 0 10 
Tính chất:
a) ()A= (A);
b) (A)T =AT
15
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
A. MA TRẬN
3. Các phép toán ma trận
d. Cộng hai ma trận
Cùng cấp
Tổng A + B:
Các phần tử tương ứng cộng lại
Ví dụ
 1 2 4 
3  2 6
A
; B  

 3 0 5
1 4 7 
 2 0 10 
A B  

 4 4 12 
16
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
A. MA TRẬN
3. Các phép toán ma trận
Tính chất:
a) A + B = B + A;
b) A + 0 = A;
c) (A + B) + C = A + ( B + C);
d) (A + B) = A + B;
e) ( + )A = A + A;
f) (A + B)T = AT + BT ;
17
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
3. Các phép toán ma trận
e. Nhân hai ma trận với nhau
A  (aij )m p ; B  (bi j ) pn
cij  ai1b1 j  ai 2b2 j  ...  aip bpj
AB  C  (cij ) mn
với


AB  ai 1 ai 2

 b1 j 


*
 
 * b2 j *  

... aip 
 ... cij ...


 

 
*
 bpj 
18
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
A. MA TRẬN
3.
Các
phép
toán
ma
trận
Ví dụ
1  2 2


 2 1 4
A
; B   3 0 1 
 4 1 0
 2 4 3


Tính AB
 1 2 2 
c 13
 c711 cc12
 2 1 4  
12 c13

A B 
 3 0 1  




c
c
c
c
c
c
4
1
0
 21
22
23

 
21
22
23

 2 4 3
 1
c11   2 1 4  3   2  1  (1)  3  4  2  7
 
 2
 
19
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
A. MA TRẬN
3. Các phép toán ma trận
Ví dụ
 2 1
1
A
;B   

4 1 
 3
Tìm ma trận X, thỏa AX = B.
a
Xác định cấp của ma trận X là 2x1. Đặt X   
b 
 2a  b   1 
 2 1 a   1 
 
AX=B  
  



 4a  b   3
 4 1  b   3 
 2/ 3 
 2a  b  1
2
1
Vaд
y X 

 a  ,b 

1/
3
4
a

b

3
3
3



TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
20
NTC-2010
A. MA TRẬN
3. Các phép toán ma trận
Tính chất của phép nhân hai ma trận
a.
A(BC) = (AB)C;
c. (B+C)A = BA+CA;
b.A(B + C) = AB + AC;
d. ImA = A = AIm
e. (AB) = (A)B = A(B).
Chú ý:
1. Nói chung AB  BA
BC
2. AB  AC
3.
AB  0
A  0 B  0
21
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
A. MA TRẬN
3. Các phép toán ma trận
   
1 2 4 3  8 5
3 4 21
20 13
    
4 3 1 2  13 20
21 3 4
5 8

         
1 0 0 0  0 0
0 0 0 1
0 0
1 0 0 0  0 0
0 0 1 0
0 0
22
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
A. MA TRẬN
3. Các phép toán ma trận
f. Lũy thừa ma trận.
Cho A là ma trận vuông cấp n. Khi đó
Qui цфщ
c: A 0  I
A3  A  A  A
A2  A  A
An  A A
A A
n
23
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
A. MA TRẬN
3. Các phép toán ma trận
Ví dụ
 1 3
A
.

 0 1
Tính A2; A3, từ đó suy ra A200
 1 3  1 3   1 6 
A  A A  




0
1
0
1
0
1


 

2
 1 6  1 3   1 9 

A  A A  



0
1
0
1
0
1



 
3
2
A
TOÁN KINH TẾ
200
 1 200  3 


0
1


Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
24
NTC-2010
A. MA TRẬN
3. Các phép toán ma trận
Ví dụ
 2 3
A
.

0 2
Tính A200
 2 3
 1 3/ 2 
 1 a
A 
 2 
 2



0
2
0
1
0
1






n
 1 a   1 na 
Ta coщ
:



0
1
0
1

 

200
200 

2
300

2
A 200  

 0

200
2


25
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
B. BÀI TẬP
Bài 1. Phép toán nào sau đây thực hiện được và tính toán
kết quả:
 2 1 0 1   1 3 2 1 
a. 


3

1
2
7

5
1
0
0

 

 1 2   1 2 3 
b. 


 2 3   4 5 6 
 2 1 0 1 
c.  3 

3

1
2
7


 1 3 2 1
d. 0 


5
1
0
0


1 0


 1 2 4 1 6   0 1 


e.  0 3 0 3 5    2 4 
 2 4 1 2 4   3 3 

 

 3 1 


TOÁN KINH TẾ
 1 2 4

 1 0 1
f . 2 0 0   

4

3
2

 1 1 1  


Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
B. BÀI TẬP
Bài 2. Cho 3 ma trận vuông A, B, C cấp n. Điều nào sau đây
luôn đúng?
a)
 AB  C  A  BC 
c) A  kB    kA B  k  AB 
TOÁN KINH TẾ
b) A  B  C   AB  AC
d ) AB  BA
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
B. BÀI TẬP
Bài 3. Cho
 2 5 1 
 3 1 6 4 
A
; B  

3
0

4
0

2
7
5




Phép toán nào sau đây thực hiện được? Và tính kết quả
đó.
a.A  B
TOÁN KINH TẾ
b.A B
c. AT  B
d . A  BT
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
B. BÀI TẬP
Bài 4. Tìm x, y nếu
 1 3  x 
 x

   6   .
 5 3  y 
 y
Bài 5. Tìm x, y, z, w thỏa:
 x y   1 1  1 1  x y 




.
 z w   0 1  0 1  z w 
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
B. BÀI TẬP
Bài 6. Cho các ma trận A, B như sau:
 2 1 1 
 2 1 0 
A 
; B  

 0 1 4 
 3 2 2 
a) Tính
3 A  2B; 2 AA  BB ; A A   B B  .
T
b) Tìm ma trận X sao cho
TOÁN KINH TẾ
T
T
T
2
B  2 X  BAT
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
B. BÀI TẬP
Bài 7. Tìm số thực x, y, z, w biết rằng:
6   4
x  y
x y  x
3



3 
 z w   1 2w   z  w
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
B. BÀI TẬP
Bài 9. Tính
 0 1


 1 0 
2003
.
1 2
Bài 10. Cho A  
 . Tính
0 1
An .
Gợi ý: Áp dụng nguyên lý qui nạp.
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
C. Các nguyên lý đếm
1. Nguyên lý cộng
Giả sử để làm công việc A có 2 phương pháp
- Phương pháp 1 có n cách làm
- Phương pháp 2 có m cách làm
Khi đó số cách làm công việc A là n+m
Ví dụ. An có 3 áo tay dài, 5 áo tay ngắn. Để chọn 1 cái
áo thì An có mấy cách
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
C. Các nguyên lý đếm
Phép đếm
2. Nguyên lý nhân
Giả sử để làm công việc A cần thực hiện 2 bước
- Bước 1 có n cách làm
- Bước 2 có m cách làm
Khi đó số cách làm công việc A là n.m
Ví dụ:
A
B
C
Có 3.2 =6 con đường đi từ A đến C
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
C. Các nguyên lý đếm
Ví dụ: Cho tập X ={1,2,3,4,5,0}
Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau mà chia
hết cho 2
Giải. Gọi số có 3 chữ số là abc
TH1 . c=0. Khi đó
c có 1 cách chọn
TH1 có 1.4.5 =20
a có 5 cách chọn ( aX\{0} )
b có 4 cách chọn ( bX\{a, 0} )
TH2 . c≠0. Khi đó
c có 2 cách chọn
a có 4 cách chọn ( aX\{c, 0} )
b có 4 cách chọn ( bX\{a, c} )
TOÁN KINH TẾ
TH2 có 2.4.4 =32
Vậy có 20+32 =52
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
C. Các nguyên lý đếm
3- Nguyên lý Dirichlet
Nếu có n vật đặt trong k hộp
n
 tồn tại 1 hộp chứa ít nhất  k  vật
 
 n  là số nguyên dương nhỏ nhất thoả điều kiện
k 
 
n,  n  n
n n
 k   k hay k   k   k  1
 
,
Ví dụ 2.9:
[x] gọi là hàm sàn trên của x
4
4
5  1  5
 
TOÁN KINH TẾ
5
5
4  2  4
 
4
 4
 5   0   5
 
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
C. Các nguyên lý đếm
3. Nguyên lý chuồng bồ câu (Derichlet)
Gọi  x  là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hay bằng x.
Giả sử có n chim bồ câu ở trong k chuồng. Khi đó tồn tại ít
nhất một chuồng chứa từ  n / k  bồ câu trở lên.
Ví dụ. Có 20 chim bồ câu ở trong 7 cái chuồng. Khi đó sẽ
có ít nhất 1 chuồng có 3 con bồ câu trở lên
- Trong 1 nhóm có 367 người thì ít nhất có 2 người sinh
cùng ngày
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
C. Các nguyên lý đếm
Ví dụ
Trong một nhóm có 366 người thì ít nhất có 2
người trùng ngày sinh nhật?
Giải:
Một năm có 365 ngày  n=365, k=366
Theo Nguyên lý Dirichlet
 366 
 365   2 
 tối thiểu có 2 người trùng ngày sinh nhật
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
C. Các nguyên lý đếm
Ví dụ
Trong một nhóm có 28 từ tiếng Anh thì ít nhất
có 2 từ bắt đầu bằng cùng một chữ cái?
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Giải:
n
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Bảng chữ cái tiếng Anh có 26 mẫu
tự  n=26, k=28
Theo Nguyên lý Dirichlet
28
 28 
 26   2  26
 ít nhất có 2 từ bắt đầu trùng chữ cái
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
C. Các nguyên lý đếm
Ví dụ. Cho tập X ={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Lấy A là tập hợp con
của X gồm 6 phần tử. Khi đó trong A sẽ có hai phần tử có
tổng bằng 10.
Giải.
Ta lập các chuồng như sau: {1,9} {2,8} {3,7} {4,6} {5}
Do A có 6 phần tử nên trong 6 phần tử đó sẽ có 2 phần tử
trong 1 chuồng. Suy ra đpcm
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
C. Các nguyên lý đếm
Ví dụ
Giải:
Tính lượng SV tối thỉểu cần có ghi tên vào
danh sách lớp A, để chắc chắn có ít nhất 6
SV có cùng một điểm trong thang điểm 5?
Theo Nguyên lý Dirichlet
n n
    6  1
5 5

n
 6 1  5
5
Cách 1:
n  (5 * 5)  1  26
Cách 2:
n  5 * 5  25
Vậy tối thiểu có 26 SV ghi tên vào DS lớp
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
Bài tập về nhà DẠNG 3 (Homework-3):
Bài 3.1:
Tính lượng SV tối thỉểu cần có ghi tên vào danh
sách lớp CC02, để chắc chắn có ít nhất 5 SV có
cùng một điểm trong thang điểm 10?
Bài 3.2:
Thời khoá biểu trường xx học từ thứ 2 đến thứ 7.
CMR nều trường có 7 lớp thì it nhất có 2 lớp học
cùng ngày?
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
Bài tập về nhà DẠNG 3 (Homework-3):
Bài 3.3:
Mỗi SV trong lớp A đều có quê ở 1 trong 64 tỉnh
thành. Trường cần phải tuyển bao nhiêu SV để
đảm bảo trong 1 lớp A có ít nhất:
a/ 2 SV có quê cùng tỉnh
b/ 10 SV có quê cùng tỉnh
c/ 50 SV có quê cùng tỉnh
Bài 3.4:
TOÁN KINH TẾ
Lớp có 32 SV, CMR có ít nhất 2 SV có tên bắt
đầu cùng 1 chữ cái?
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
Bài tập về nhà DẠNG 3 (Homework-3):
Bài 3.5:
Bài 3.6:
TOÁN KINH TẾ
CMR trong 5 số chọn từ tập hợp 8 số
{1,2,3,4,5,6,7,8} bao giờ cùng có 1 cặp số có
tổng bằng 9?
CMR trong 6 số bất kỳ chọn từ tập hợp 9 số
nguyên dương đầu tiên {1,2,3,4,5,6,7,8,9} bao
giờ cũng chứa it nhất 1 cặp số có tổng bằng 10?
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
C. Các nguyên lý đếm
4. Nguyên lý bù trừ.
Cho A và B là hai tập hữu hạn. Khi đó
|A  B|= |A|+|B| - |A  B|
A
TOÁN KINH TẾ
AB
B
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
C. Các nguyên lý đếm
C
BC
AC
ABC
A
AB
B
|A  B  C|=?
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
C. Các nguyên lý đếm
Ví dụ. Trong một lớp ngoại ngữ Anh Pháp. Có 24 HS học
Tiếng Pháp, 26 học sinh học Tiếng Anh. 15 học sinh học
Tiếng Anh và Tiếng Pháp. Hỏi lớp có bao nhiêu người
Giải.
Gọi A là những học sinh học Tiếng Pháp
B là những học sinh học Tiếng Anh
Khi đó. Số học sinh của lớp là |A  B |. Theo nguyên lý
bù trừ ta có |A  B|= |A|+|B| - |A  B|=24+26-15=35
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
C. Các nguyên lý đếm
Ví dụ 2.2:
Cho các tập hợp như sau
A  1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
3
A1  1,3,5,7,9
A2  2,4,6,8,10
A 3  1,4,5,8
9
1
7
5
2
4
6
10
Hãy chứng minh
8
A1  A2  A3  A1  A2  A3  A1  A2  A3  A1  A2  A2  A3  A3  A1
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
C. Các nguyên lý đếm
Ví dụ 2.3:
THỰC HÀNH:
…………………………………..
...................
X  1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 X1  X2  X3  ..........
X1  …………………………………..
X1  1,3,7,9
X1  X 2  …………………………………..
X2  2,4,6,10,
X 2  …………………………………..
................. ? ..............
…………………………………..
X2  X3  ..........
..... ? ................
X3  5,7,10,11
X3  …………………………………..
................. ? ..............
…………………………………..
X3  X1  ..........
...... ? ................
…………………………………..
X1  X2  X3  ..........
...... ? ................
…………………………………..
?
X1  X2  X3  X1  X1  X2  X2  X2  X3  X3  X3  X1  X1  X2  X3
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
C. Các nguyên lý đếm
1. Hoán vị
Định nghĩa. Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp đặt
có thứ tự n phần tử của A được gọi là một hoán vị của n
phần tử. Số các hoán vị của n phần tử ký hiệu là Pn
Pn = n! = n.(n-1).(n-2)…1
Quy ước 0! =1
Ví dụ. Cho A ={a,b,c}. Khi đó A có các hoán vị sau
abc,acb,
bac,bca,
cab,cba
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
D. Giải tích tổ hợp
Ví dụ.
Cho X ={1,2,3,4,5}. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm
5 chữ số khác nhau được tạo từ tập X  5!
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
D. Giải tích tổ hợp
2. Chỉnh hợp.
Định nghĩa. Cho A là tập hợp gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k
phần tử (1 k n) sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một
chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Số các chỉnh hợp chập k của n ký hiệu là Ank
- Công thức
n!
A 
 n  k !
k
n
Ví dụ. Cho X ={abc}. Khi đó X có các chỉnh hợp chập 2 của
3 là: ab, ba, ac, ca, bc, cb.
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
D. Giải tích tổ hợp
Ví dụ. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau
được tạo thành từ 1,2,3,4,5,6.
Kết quả: A63
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
D. Giải tích tổ hợp
3.Tổ hợp.
Định nghĩa. Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k
phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
Số tổ hợp chập k của n phần tử được kí hiệu là
C
n!
C 
k ! n  k !
k
hay
n
n
 
k 
k
n
Tính chất
TOÁN KINH TẾ
nk
n
C
C
k
n
k 1
n
C C
k
n
C
k
n 1
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
D. Giải tích tổ hợp
Ví dụ. Cho X = {1,2,3,4}. Tổ hợp chập 3 của 4 phần tử của
X là {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4} , {2,3,4}
Một lớp có 30 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 10 bạn
- Số cách chọn là tổ hợp chập 10 của 30.
TOÁN KINH TẾ
10
C30
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
D. Giải tích tổ hợp
Từ một tập thể gồm 15 nam và 10 nữ, hỏi có bao nhiêu
cách chọn ra một tổ gồm 8 người mỗi trường hợp sau:
a) Không có điều kiện gì thêm.
b) Tổ có 5 nam và 3 nữ.
c) Tổ có số nam nhiều hơn nữ.
d) Tổ có ít nhất một nữ.
d) Tổ trưởng là nữ.
e) Tổ có cả nam lẫn nữ.
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
D. Giải tích tổ hợp
Có bao nhiêu byte thỏa điều kiện trong mỗi trường hợp
sau:
a) Không có điều kiện gì thêm.
b) Chứa đúng 3 bit 1.
c) Chứa ít nhất 3 bit 1.
d) Có 2 bit 1 và chúng không nằm gần nhau.
e) Không có ba bít 1 nào gần nhau.
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
E. Xác suất
Sự kiện ngẫu nhiên
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN:
PHÉP THỬ
SỰ KIỆN
Sự kiện cơ bản
Sự kiện chắc chắn
Sự kiện không thể
Sự kiện A hoặc B
Sự kiện đồng thời A và B
Sự kiện A mà không B
Sự kiện xung khắc
Sự kiện đối lập
KHÔNG GIAN MẪU
TOÁN KINH TẾ
NGẪU NHIÊN
Không gian mẫu hữu hạn
Không gian mẫu vô hạn đếm được
Không gian mẫu vô hạn không đếm được
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
Rời rạc
Liên tục
NTC-2010
E. Xác suất
PHÉP THỬ
13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt)
= Một bộ điều kiện xác định (thí nghiệm, quan sát hiện tượng
SỰ KIỆN = Kết quả của Phép Thử  Ký hiệu: A, B,C
Card A = Số phần tử của A
SỰ KIỆN NGẪU NHIÊN = kết quả không đoán trước (tiên đoán) được
KHÔNG GIAN MẪU
=  Sự kiện ngẫu nhiên (có thể có) của Phép thử ngẫu nhiên
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
E. Xác suất
Ví dụ 2.13:

13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt)
Tung đồng tiền 1 lần = Phép thử ngẫu nhiên
Không gian mẫu
  (Sap, Ngua)  (0,1)
Card R = cặp (0,1)
Mỗi Sự kiện là 1 điểm của Không gian mẫu
  Sap, Ngua  0,1
TOÁN KINH TẾ
Card R = 2 (0 và 1)
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
E. Xác suất
Ví dụ 2.14:

13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt)
Tung đồng tiền 2 lần
Không gian mẫu
(0,1)
(1,1)
  (0,0),(0,1),(1,0),(1,1)
(0,0)
Card R = 4
(1,0)
ĐỒ THỊ
Ví dụ 2.15:

Tung đồng tiền 3 lần
Không gian mẫu ?
TOÁN KINH TẾ
Card R = ?
  (0,0,0),(0,0,1)(0,1,1),(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
E. Xác suất
Ví dụ 2.16:

13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt)
Gieo một con xúc xắc
Không gian mẫu
Card R = 6
  1, 2,3, 4,5,6  w1, w2 , w3 , w4 , w5 , w6 
Ví dụ 2.17:
(1,1), (1, 2), (1,3), (1, 4), (1,5), (1, 6), 


Gieo 2 con xúc xắc cùng lúc (2, 2), (2,3), (2, 4), (2,5), (2, 6),


(3,3), (3, 4), (3,5), (3, 6),


Không gian mẫu ?   (4, 4), (,5), (4, 6),


Card R = ?
(5,5), (5, 6),



(6, 6)

TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
E. Xác suất
13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt)
KHÔNG GIAN MẪU 
=  Sự kiện ngẫu nhiên (có thể có) của Phép thử ngẫu nhiên
 hữu hạn
Card  = hữu hạn
Rời rạc
 vô hạn đếm được
Card  = N (Số tự nhiên)
 vô hạn không đếm được
Liên tục
Card  = Không đếm được
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
E. Xác suất
13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt)
SỰ KIỆN = Kết quả của Phép Thử  Ký hiệu: A, B,C
SK ngẫu nhiên = kết quả không đoán trước (tiên đoán) được
SK cơ bản  Card A = 1
SK chắc chắn  Card A = 
SK không thể  Card A = Ø
AB
SK hoặc A hoặc B  HỢP
AB
AB
SK đồng thời A và B 
ĐẠI SỐ SK
(các Quan hệPhép toán SK)
SK A mà không B 
SK xung khắc
SK đối lập
SK tất yếu
AB  
A và A
A A  
Nhóm đđủ các SK (phân hoạch)
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
Ai  A j  
n
A
i 1
NTC-2010
E. Xác suất
Ví dụ 2.18:
13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt)
Tung 1 đồng tiền 2 lần. Giả sử:
A: SK có ít nhất 1 mặt sấp (S)
B: SK ngửa (N) ở lần tung thứ 2
C: cả 2 lần đều mặt sấp (S)
A  B   S , N  ,  N , S  ,  N , N  ,  S , S   
A  B  SN B C  
SK tất yếu
B và C là 2 SK xung khắc
A  B  NS, SS
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
E. Xác suất
Các định nghĩa-khái niệm về xác suất
1/ Định nghĩa cổ điển
Xác suất của A là tỉ số của số kết
quả thích hợp cho A (m) trên số
kết quả đồng khả năng (n) của P( A )
phép thử
Xác suất của A
m số trường hợp xảy ra A
 
n số trường hợp của không gian mẫu
SK không thể
HỆ QUẢ
SK tất yếu
SK bất kỳ
TOÁN KINH TẾ
0
m  0  P( A)   0
n
n
m  n  P( A)   1
n
n
0  m  n  0  P( A)   1
n
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
E. Xác suất
Ví dụ 2.19:
Các định nghĩa xác suất (tt)
Trong một thùng kín chứa 20 quả cầu giống
nhau.Trong đó có 10 quả màu trắng, 6 màu xanh, còn
lại là màu đỏ. Nếu lấy ngẫu nhiên một quả thì xác suất
rút được .......... là bao nhiêu?
a/ quả trắng?
b/ quả xanh?
c/ quả đỏ?
d/ quả đen?
e/ quả trắng hoặc xanh?
f/ quả trắng hoặc xanh hoặc đỏ?
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
E. Xác suất
Các định nghĩa xác suất (tt)
Ví dụ 2.20: Một hộp đồ chơi đối xứng và đồng chất có 12 mặt, được
đánh số từ 1 đến 12. Số 1,4,7,10,12 tô màu đỏ; số 2,5,8,11
tô màu xanh; các số còn lại tô màu đen. Tính xác suất để
khi ném nó lên thì xuất hiện:
a/ Mặt màu cam?
b/ Mặt màu đỏ hoặc xanh?
c/ Mặt màu đỏ hoặc xanh hoặc đen?
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
Bài tập về nhà DẠNG 4 (Homework-4):
Bài tập 4.1:
TOÁN KINH TẾ
Trong một thùng kín chứa 50 viên bi giống nhau.Trong
đó có 25 viên màu xanh, 15 màu đỏ, còn lại là màu cam.
Nếu lấy ngẫu nhiên hai viên cùng lúc thì xác suất rút
được 2 viên bi màu .......... là bao nhiêu?
a/ cùng xanh?
b/ xanh và cam?
c/ cam và đỏ?
d/ khác màu?
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
Bài tập về nhà DẠNG 4 (Homework-4):
Một hộp đồ chơi đối xứng và đồng chất có 12 mặt,
Bài tập 4.2:
được đánh số từ 1 đến 12. Số 1,4,7,10 tô màu vàng; số
2,5,6,9,12 tô màu nâu; các số còn lại tô màu trắng.
Tính xác suất để khi ném một lần hai hộp đồng thời
lên thì xuất hiện:
a/ 2 mặt màu trắng?
d/ 2 mặt có tổng bằng 10?
b/ 2 mặt cùng màu nâu hoặc vàng?
e/ 2 mặt có hiệu bằng 8?
c/ ít nhất có 1 mặt màu vàng hoặc trắng?
f/ 2 mặt có màu khác nhau?
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
Bài tập về nhà DẠNG 4 (Homework-4):
Bài tập 4.3:
Gieo 3 hột xí ngầu (số 1 và 4 sơn màu đỏ: còn lại
sơn màu đen) cùng lúc. Tính số trường hợp có thể
xảy ra khi xuất hiện:
a/ 3 mặt có số giống nhau b/ 3 mặt có số khác nhau
c/ 2 mặt có màu đỏ
e/ Tổng giá trị 3 mặt là 12
TOÁN KINH TẾ
d/ 2 mặt có màu đen
f/ Tổng giá trị 3 mặt là 9
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
E. Xác suất
Hệ đầy đủ các biến cố
Định nghĩa
Nhóm các biến cố A1 , A2 , A3 ,..., An của một phép thử được gọi là một
hệ đầy đủ các biến cố nếu thỏa mãn 2 tính chất:
A1  A2  A3  ...  An  
Ai  A j  
Ví dụ:
Trong phép thử tung đồng xu, ta đặt biến cố
A1= “xuất hiện mặt sấp”
A2= “xuất hiện mặt ngửa”
P(A1)=P(A2)=0,5
khi đó {A1, A2} là hệ đầy đủ các biến cố
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
E. Xác suất
Ví dụ:
Ba xạ thủ cùng bắn mỗi người một viên đạn vào một con thú.
Gọi biến cố Ai=“xạ thủ thứ i bắn trúng thú”, i=1, 2, 3.
Hãy biểu diễn các biến cố sau qua Ai:
a) A= “thú bị trúng đạn”
b) B= “thú không bị trúng đạn”
c) C=“thú bị trúng 3 viên đạn”
d) D= “thú bị trúng 1 viên đạn”
Giải: Ai = “xạ thủ thứ i không bắn trúng thú”
a) A= A1A2A3 (ít nhất 1 viên trúng)
b) B= A  A1  A2  A3  A1  A2  A3 (cả ba xạ thủ đều bắn trượt)
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
E. Xác suất
c) C= A1A2A3 (cả 3 xạ thủ đều cùng bắn trúng thú)
d ) D  ( A1  A2  A3 )  ( A1  A2  A3 )  ( A1  A2  A3 )
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
E. Xác suất
Ví dụ 1:
Một hộp đựng bi gồm có 12 viên bi trắng và 8 viên bi
xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 bi trong hộp.
a. Xác suất lấy được 1 bi trắng: P (T ) 
12
20
b. Xác suất lấy được 1 bi xanh:
8
20
TOÁN KINH TẾ
P( X ) 
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
E. Xác suất
Ví dụ 2:
Một thùng có 3 quả cầu trắng và 5 quả cầu đen giống nhau về kích
thước. Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ thùng đó. Tính xác suất lấy
được:
a) 2 quả cầu màu trắng
b) 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen.
Giải
C32
3
a) A= “lấy được 2 quả cầu trắng” P( A)  2 
C8
28
b) B= “lấy được 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen”
C31.C51 15
P( B) 

2
C8
28
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
E. Xác suất
Các tính chất cơ bản của xác suất
Giả sử A là một biến cố . Khi đó
1) 0  P( A)  1 và P( A)  1  P( A)
2) Nếu A  B thì
P ( A)  P ( B )
3) Tính cộng tính:
a. nếu A và B là 2 biến cố xung khắc:
P(A  B)= P(A) + P(B)
b. nếu A và B là 2 biến cố ngẫu nhiên bất kỳ:
P(AB)= P(A) + P(B) – P(AB)
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
E. Xác suất
Ví dụ 1:
Một hộp có 10 bi, trong đó có 4 bi đỏ và 6 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3
bi từ hộp. Tính xác suất để lấy được ít nhất 1 bi đỏ.
Giải. Đặt
A= “lấy được ít nhất 1 bi đỏ”.
Khi đó A = “lấy được 3 bi xanh”
P( A)  1  P( A)
C63
 1 3
C10
 0,8333
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
E. Xác suất
Ví dụ 2:
Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên giỏi
Toán, 50 sinh viên giỏi Văn, 20 sinh viên giỏi cả Toán lẫn Văn.
Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong lớp. Tính xác suất để sinh
viên đó giỏi ít nhất 1 trong 2 môn.
Giải. Đặt T=“sinh viên được chọn giỏi Toán”
V=“sinh viên được chọn giỏi Văn”
Khi đó
TV=“sinh viên được chọn giỏi ít nhất 1 trong 2 môn”
TV=“sinh viên được chọn giỏi cả 2 môn”
P(T  V )  P(T )  P(V )  P(T  V )

TOÁN KINH TẾ
40 50 20
7



100 100 100 10
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
E. Xác suất
Ví dụ 3:
Một hộp chứa 5 cầu trắng, 3 cầu xanh và 4 cầu đen cùng
kích thước. Chọn ngẫu nhiên cùng lúc 3 cầu. Tính xác
suất để:
a) Cả 3 cầu cùng màu (A)
b) Có đúng 2 cầu cùng màu (B)
c) Có ít nhất 2 cầu cùng màu (C)
d) Cả 3 cầu khác màu nhau (D)
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
E. Xác suất
Giải:
a) Đặt:
At= “3 cầu rút được màu trắng”
Ađ= “3 cầu rút được màu đỏ”
Ax= “3 cầu rút được màu xanh”
Do chỉ rút 1 lần 3 cầu nên
A= At Ađ  Ax
Do At, Ađ, Ax xung khắc nên
P(A)= P(At) + P(Ađ) + P(Ax)
C53  C43  C33 3


3
C12
44
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
E. Xác suất
b) Bt= trong 3 cầu rút được có 2 cầu trắng
Bđ= trong 3 cầu rút được có 2 cầu đen
Bx= trong 3 cầu rút được có 2 cầu xanh
P(B)= P(Bt)+ P(Bđ)+ P(Bx)
C52 .C71  C42 .C81  C32 .C91 29


3
C12
44
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
E. Xác suất
c) P(C)= P(B) + P(A)
3 29 32



44 44 44
d) D  C
P  D  1  P  C
 1
TOÁN KINH TẾ
32 12

44 44
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
F. Hệ Phương trình đại số tuyến tính
•Dạng ma trận của hệ phương trình ĐSTT.
•Phép toán sơ cấp biến đổi dòng của ma trận.
•Phương pháp Gauss – Jordan.
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
Hệ Phương trình ĐSTT gồm m phương trình và n ẩn số có dạng:
a11 x1

a12 x2
 ... 
a1n xn

a21 x1

a22 x2
 ... 
a2 n xn
 b2
am1 x1
 am 2 x2
 ...  amn xn
 bm
b1
Hệ Pt ĐSTT trên có thể viết lại dưới dạng ma trận
AX  B
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
Trong đó:
 a11
a
A   21


 am1
a12
a22
am 2
... a1n 
... a2 n 


... amn 
 x1 
x 
X   2
 
 
 xn 
 b1 
b 
B 2
 
 
bm 
A được gọi là ma trận hệ số.
X: là ma trận ẩn số.
B: ma trận hằng số
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
Ngoài ra ta có ma trận hệ số nới rộng
 a11
a
A   21


 am1
TOÁN KINH TẾ
a12
... a1n
a22
... a2 n
am 2 ... amn
b1 
| b2 

|

| bm 
|
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
Ví dụ 1: Cho hệ phương trình
2 x1
 3x2
 4 x3
 7
x1
 2 x2
 5 x3
 3
Dạng ma trận AX=B trong đó
 2 3 4 
A

1

2

5


 x1 
X   x2 
 x3 
7 
B 
3
Ma trận hệ số nới rộng
 2 3 4 | 7 
A

1

2

5
|
3


TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
Ví dụ 2: Cho ma trận hệ số nới rộng
1 0 1 2 | 1 
A

0
1
0
3
|
0


Hệ phương trình ĐSTT tương ứng với ma trận hệ số nới rộng trên là

x1
x2
TOÁN KINH TẾ
x3
 2 x4
 1
 3x4
 0
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
Phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận
di  d k
– (e1): Hoán vị hai dòng cho nhau A 
 A .
di  di
– (e2): Nhân 1 dòng với số   0 , A  A .
– (e3): Thay 1 dòng bởi tổng của dòng đó với λ lần
di di  dk
dòng khác A  A .
Chú ý
d i  d i   d k
1) Trong thực hành ta thường làm A 
 B.
2) Sau 1 số hữu hạn các PBĐSC dòng ta được
ma trận B tương đương với A, ký hiệu B A .
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
 2 1 1
VD 16. Cho hai ma trận A   1 2 3  và


 3 1 2 


3 
 1 2
B   0 1 7 / 5  . Chứng tỏ A B .


0 0

0


TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
Giải
 1 2 3 
 1 2 3 




d1  d 2
d 2 d 2  2 d1
A  2 1 1 

0
5

7
d

d

3
d

 3 3 1 

 3 1 2 
 0 5 7 




3 
 1 2


d3 d3  d 2

 0 1 7 / 5  A
1


d2  d2
5
0 0

0


TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
B.
NTC-2010
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
Ma trận dạng bậc thang chính tắc:
1. Nếu một hàng có một số khác không thì số khác không
bên trái nhất bằng 1, được gọi là phần tử chính.
2. Những hàng gồm toàn những phần tử 0 nằm ở dưới
cùng.
3. Nếu hai hàng kề nhau có phần tử chính thì phần tử
chính của hàng trên nằm bên trái phần tử chính hàng
dưới.
4. Mỗi cột có phần tử chính thì các phần tử khác đều bằng
không.
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
Ma trận dạng bậc thang:
1. Ma trận bậc thang có các dòng khác 0 nằm bên trên các
dòng 0.
2. Trên hai dòng khác không, phần tử khác không đầu tiên
của dòng dưới nằm bên phải phần tử khác không đầu
tiên của dòng trên.
Dòng 0 là dòng gồm tất cả các phần tử bằng 0.
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
1 0 2
 0 1 2 3




VD 18. A  0 0 3 , B  0 0 4 5 , In




0 0 0
0 0 0 1




là các ma trận bậc thang;
0 2 7
 2 3 5




C 0 3 4 , D 0 0 0




0 0 5
 0 1 3




không phải là các ma trận bậc thang.
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
• Phương pháp Gauss – Jordan giải hệ PT ĐSTT:
Gồm 3 bước:
Bước 1: Thiết lập ma trận hệ số mở rộng:
Bước 2: Sử dụng các phép BĐSC trên dòng rút gọn ma trận
hệ số mở rộng về dạng bậc thang chính tắc.
Bước 3: Biện luận nghiệm.
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
VD 1: Giải hệ PT ĐSTT sau:
м
п
2x 1 + 4x 2 +
п
п
п
x2 +
н x1 п
п
п
3x - 6x 2 п
п
о 1
10x 3 =
- 18
3x 3 =
2
x3 =
25
Bước 1: Thiết lập ma trận hệ số mở rộng:
Bước 2: Tiến hành thuật toán Gauss - Jordan:
й2
щ
й1
щ
4
10
18
2
5
9
к
ъ
к
ъ
к
ъ d1 / 2
к
ъ
%
A = к1 - 1
3
2ъ ѕ ѕ ѕ ® к1 - 1
3 2ъ
к
ъ
к
ъ
к3 - 6 - 1 25ъ
к3 - 6 - 1 25ъ
кл
ъ
кл
ъ
ы
ы
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
й1
щ
2
5
9
к
ъ
к
ъ d2 / (- 3)
d2 - d1
ѕ ѕd -ѕ3dѕ ® к0 - 3 - 2 11ъ ѕ ѕ ѕ ѕ ®
3
1
к
ъ
к0 - 12 - 16 52ъ
кл
ъ
ы
й1 0 11/ 3 - 5 /
к
к
d1 - 2d2
ѕ ѕd +ѕ12dѕ ѕ® к0 1 2 / 3 - 11/
3
2
к
к0 0
- 8
кл
й1
щ
2
5
9
к
ъ
к
ъ
1 2 / 3 - 11/ 3ъ
к0
к
ъ
к0 - 12 - 16
ъ
5
2
кл
ъ
ы
й1 0 11/ 3 - 5 /
3щ
ъ
ъ d3 / (- 8) кк
3ъѕ ѕ ѕ ѕ ® к0 1 2 / 3 - 11 /
ъ
к
к0 0
8ъ
1
ъ
ы
кл
й1 0 0 2щ Bước 3: Hệ có nghiệm duy nhất
к
ъ
d - 11d / 3
м
п
x1 = 2
ѕ ѕd1 -ѕ2dѕ3/ 3ѕ ® кк0 1 0 - 3ъ
п
ъ
2
3
п
к
ъ
п
к0 0 1 - 1ъ
нx 2 = - 3
п
кл
ъ
ы
п
п
x3 = - 1
п
п
о SUẤT
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC
NTC-2010
3щ
ъ
ъ
3ъ
ъ
1ъ
ъ
ы
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
• Phương pháp Gauss giải hệ PT ĐSTT:
Gồm 3 bước:
Bước 1: Thiết lập ma trận hệ số mở rộng.
Bước 2: Sử dụng các phép BĐSC trên dòng rút gọn ma
trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang.
Bước 3: Giải ngược từ dưới lên trên tìm nghiệm hệ PT.
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
VD 2: Giải hệ PT ĐSTT sau:
м
п
1x 1 + 2x 2 +
п
п
п
x2 +
н x1 п
п
п
3x 1 - 6x 2 п
п
о
5x 3 =
- 9
3x 3 =
2
x3 =
25
Bước 1: Thiết lập ma trận hệ số mở rộng:
Bước 2: Tiến hành thuật toán Gauss:
й1
щ
2
5
9
к
ъ
к
ъ
d2 - d1
%
A = к1 - 1
3 2ъ ѕ ѕd -ѕ3dѕ ®
3
1
к
ъ
к3 - 6 - 1 25ъ
кл
ъ
ы
TOÁN KINH TẾ
й1
щ
2
5
9
к
ъ
к
ъ
к0 - 3 - 2 11 ъ
к
ъ
к0 - 12 - 16 52 ъ
кл
ъ
ы
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
й1
щ
2
5
9
к
ъ
к
ъ
ѕ ѕd -ѕ4d ѕ ® к0 - 3 - 2 11 ъ
3
2
к
ъ
к0
ъ
0
8
8
кл
ъ
ы
Bước 3: Hệ có nghiệm duy nhất
м
п
x1 = 2
п
п
п
нx 2 = - 3
п
п
п
x3 = - 1
п
п
о
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
VD 7. Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss:
2 x  y  z  1

 y  3z  3 .
 2 x  y  z  1

Giải
 2 1 1 1 
 2 1 1 1 

 d3 d3 d1 

 A B    0 1 3 3    0 1 3 3  .
 2 1 1 1
 0 0 2 2 




2 x  y  z  1
 x  3


Hệ  
y  3z  3   y  6 .

 z  1
2
z


2


TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
VD 8. Giải hệ phương trình:
 x1  6 x2  2 x3  5 x4  2 x5  4

2 x1  12 x2  6 x3  18 x4  5 x5  5 .
3 x  18 x  8 x  23x  6 x  2
2
3
4
5
 1
 1 6 2 5 2 4 


Giải.
 A B    2 12 6 18 5 5 
 3 18 8 23 6 2 


 1 6 2 5 2 4 


d 2 d 2  2 d1

  0 0 2 8 1 3 
d 3 d 3  3d1
 0 0 2 8 0 10 


TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
 1 6 2 5 2 4 


d 3 d 3  d 2

  0 0 2 8 1 3  .
0 0 0 0 1 7 


 x1  4  6  3
x  
 2
  x3  5  4
( ,   )
x  
 4
 x5  7.
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
5x1  2 x2  5 x3  3 x4  3

VD 9. Giải hệ phương trình 4 x1  x2  3x3  2 x4  1 .
2 x  7 x  x
= 1
2
3
 1
 5  2 5 3 3 


d 2 5 d 2  4 d1
  0 13 5 2 7 
Giải.  A B  
d 3 5 d 3  2 d1
 0 39 15 6 11 


 5  2 5 3 3 


d 3 d 3 3d 2
  0 13 5 2 7  .
 0 0 0 0 10 


Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
VD 10. Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính:
 x  4 y  5 z  1

2 x  7 y  11z  2 .
3x  11 y  6 z  1

 x  15

A.  y  4 ;
B. Hệ có vô số nghiệm;
z  0

 x  15  79
 x  15  79


C.  y  4  21 ;
D.  y  4  21 .
z   
z   


TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
5 1
1 4


d 2  d 2  2 d1
0

1

21
4
Giải.  A B  
.
d 3 d 3  3d1


 0 1 21 4 


 x  15  79
 x  4 y  5 z  1 
Hệ  
  y  4  21  D .
  y  21z  4
z   

TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
1.6 Một số ứng dụng của ma trận trong kinh tế
VD 22. Một khách hàng mua tại siêu thị X lượng gạo,
thịt, rau (đơn vị: kg) cho bởi ma trận A  (12; 2; 3) với
giá tương ứng (ngàn đồng / kg) cho bởi B  (9; 62; 5) .
T
T
Khi đó, AB  12 2 3 9 62 5  (247) .
Vậy số tiền khách hàng phải trả là 247.000 đồng.
VD 23. Công ty X có 3 cửa hàng I, II, III cùng bán 4
mặt hàng: tivi, tủ lạnh, máy giặt, máy lạnh với giá bán
tương ứng (triệu đồng / chiếc) cho bởi ma trận
A   3 5 4,5 6,7  .
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
Lượng hàng bán được trong ngày của 3 cửa hàng
 2 1 4 5
tương ứng 3 dòng của ma trận B   0 2 6 1  .


 5 2 0 2


Hãy cho biết ý nghĩa các phần tử của tích BAT ?
 3 
 2 1 4 5
 62,5 

5
T






 43,7 .
Giải. BA  0 2 6 1

  4,5  

 5 2 0 2
 38, 4 

  6,7  



Vậy số tiền cửa hàng I, II, III bán được trong ngày lần
lượt là: 62,5; 43,7; 38,4 (triệu đồng).
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
Chỉ số giá Laspeyres và Paasche
VD 24. Giả sử bán (ngàn đồng / kg) của gạo, đường và
bột mì vào các ngày 1/1 và 1/6 lần lượt cho bởi 2 cột
 10 11 
của ma trận P   20 19  .


 30 32 


Một người A trong hai ngày đó đã mua vào lượng
 4 3
hàng tương ứng cho bởi 2 cột của ma trận Q   2 3  .


 3 4


TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
Khi đó, ta có:
 10 11 
 4 2 3 
 170 178 
T

.
V Q P 
20 19  


 3 3 4   30 32   210 218 


Từ ma trận V, ta suy ra:
+ v11  170: tiền mua hàng 1/1 theo giá ngày 1/1.
+ v12  178: tiền mua hàng 1/1 theo giá ngày 1/6.
+ v21  210 : tiền mua hàng 1/6 theo giá ngày 1/1.
+ v22  218: tiền mua hàng 1/6 theo giá ngày 1/6.
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
1) Nếu lấy ngày 1/1 làm cơ sở thì v11 , v12 lần lượt là
giá của tổng lượng hàng người A mua tại ngày cơ
sở tính tại ngày cơ sở và ngày 1/6. Khi đó:
v12
 1,047 được gọi là chỉ số Laspeyres.
v11
2) Nếu lấy ngày 1/6 làm cơ sở thì v21 , v22 lần lượt là
giá của tổng lượng hàng người A mua tại ngày cơ
sở tính tại ngày 1/1 và ngày cơ sở. Khi đó:
v22
 1,038 được gọi là chỉ số Paasche.
v21
TOÁN KINH TẾ
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
Bài tập 1. Tính AB - BA
1 2 
a. A  
,

 4 1
 2 3
B


4
1


2 3 1
1 2 1 
b. A   1 1 0  , B  0 1 2 
 1 2 1
3 1 1 
1 1 1
c. A  0 1 1 ,
0 0 1
TOÁN KINH TẾ
7 5 13
B  0 7 5 
0 0 7 
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
Bài tập 2. Giải hệ bằng PP Gauss - Jordan
2 x1 
x2
 2 x3
 10
a. 3x1
 2 x2
 2 x3

1
5 x1
 4 x2
 3x3

4
x1
 2 x2

x3

3
2 x1
c. 2 x1
 5 x2
 4 x3

5
d . 5 x1
3x1
 4 x2
 2 x3
 12
2 x1

x2
 2 x3

e. 3x1
 2 x2
5 x1
 4 x2
TOÁN KINH TẾ
x1
 2 x2

x3

7
b. 2 x1  2 x2
 4 x3
 17
 2 x2
 2 x3
 14
3x1
x2
 3x3
 3
 2 x2
 6 x3
 5
3x1

 4 x3
 7
8
x1
 2 x2

3x3
 1
 4 x3
 15
f . 2 x1
 5 x2

8 x3
 4


3x1
 8 x2
 13x3
 7
x3
1

x2
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010
F. Hệ phương trình đại số tuyến tính
Bài tập 3. Giải các hệ sau
x1

2 x2

5 x3

7 x4

9 x5
 1
a. x1

2 x2

3x3

4 x4

5 x5
 2
 22 x5
 4
2 x1
 12 x3
 25 x4
x1
 2 x2
 3x3
 14
3x1
 2 x2

x3
 10

x2

x3

6
 3x2

x3

5

3
b. x1
2 x1
x1
TOÁN KINH TẾ
 11x2

x2
Chương 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT
NTC-2010