Transcript CHƯƠNG 1: MÔ HÌNH HỆ THỐNG

CHƯƠNG 1: MÔ HÌNH HỆ THỐNG
• Hệ thống điều khiển bao gồm hệ thống được điều khiển
(plant, process, controlled system), bộ điều khiển
(controller) và các phần tử liên quan nhằm thực hiện một
nhiệm vụ nào đó
•Mô hình toán là biểu diễn toán học của hệ thống kỹ thuật,
dùng để mô phỏng, phân tích và tổng hợp bộ điều khiển cho
T


u

u
,
u
,...,
u
hệ thống
1
2
r
y   y1 , y 2 ,..., y s 
T
u
x
y
x  x1 , x2 ,..., xn 
x: trạng thái trong của hệ thống,
y: vectơ tín hiệu ra,
u: vectơ tín hiệu vào
T
CHƯƠNG 1: MÔ HÌNH HỆ THỐNG
Phân loại mô hình
•Mô hìmh tuyến tính
•Mô hình phi tuyến
•Mô hình liên tục
•Mô hình rờI rạc
•Mô hình SISO
•Mô hình MIMO
MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH
• Nếu yi là đáp ứng của tín hiệu vào ui thì đáp ứng của
u = aiui là y = aiyi
• Tinh chất xếp chồng cho phép khảo sát đáp ứng hệ thống
với một vài tín hiệu đặc biệt như xung đơn vị, nấc đơn vị
• Mô hình tuyến tính với một ngõ vào và một ngõ ra gọi là
hệ SISO (single input-single output)
• Nếu tín hiệu vào là liên tục ta có hệ tuyến tính liên tục
•
Nếu tín hiệu vào là rời rạc ta có hệ tuyến tính rời rạc
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
• Hệ SISO liên tục mô tả bởi phương trình vi phân
dy
dny
du
d mu
a0 y  a1  ...  an n  b0u  b1  ...  bm m
dt
dt
dt
dt
•Nếu hệ số ai bi là hằng số, hệ gọi là hệ tuyến tính bất biến
•Nếu hệ số ai bi theo biến t thì ta có hệ tuyến tính không dừng,
nếu chúng phụ thuộc các đối số khác ta gọi là hệ tuyến tính với
thông số rải.
•Tìm đáp ứng y theo u với phương trình vi phân có bậc n>2 là
bài toán khó.
•Chuyển mô hình sang dạng hàm truyền hay phương trình trạng
thái.
HÀM TRUYỀN SISO
1/Biến đổi Laplace
Cho tín hiệu x(t) thỏa mãn
• x(t) =0 với t<0
• x(t) liên tục từng khúc

t
 x(t ) e dt  ,  0
0
Biến đổi Laplace của x(t) là

X ( s)  L x(t)   x(t )e st dt
0
Và biến đổi Laplace ngược của X(s)
1 c j
st
x(t )  L  X ( s) 
X
(
s
)
e
ds

2j c j
-1
s =  +jw, c >
HÀM TRUYỀN SISO
2/ Các định lý biến đổi Laplace
• Tuyến tính
z (t )  ax(t )  by(t )
Z ( s )  aX ( s )  bY ( s )
Biến đổi của vi phân
là
d n f (t )
dt n
s n F ( s)  s n1 f (0)  s n2 f (1) (0)  ...  sf ( n2) (0)  f ( n1) (0)
với
f
(k )
d k f (t )
(0) 
dt k t 0
HÀM TRUYỀN SISO
t
 f ( )d
• Biến đổi của tích phân
là
0
F (s)
sn
Biến đổi của hàm trễ f (t  T ) là F ( s )e  sT
F (s)
s
• Biến đổi của tích phân bội bậc n là
•
n
• Biến đổi của t f (t ) là
• Biến đổi của f (t )e  at là
• Biến đổi của tích chập
n
d
F ( s)
n
(1)
ds n
F ( s  a)

 x( ) y (t   )d là

• GiớI hạn cuối x(t ), t  
• Gía trị đầu x(t), t 0
là
là
X (s)Y (s)
lim sX(s), s0
lim sX(s), s
HÀM TRUYỀN SISO
3/ Bảng biến đổi
Hàm thời gian
Biến đổi Laplace
Xung đơn vị (t)
1
Nấc đơn vị u1(t)
Dốc đơn vị t
t
n
e at
1
s
1
s2
n!
s n 1
1
sa
HÀM TRUYỀN SISO
3/ Bảng biến đổi
Hàm thời gian
Biến đổi Laplace
t n e at
n!
s  a n1
1

e at  e bt 
ba
1
( s  a)( s  b)
1

be bt  ae at 
ba
s
( s  a)( s  b)
1

1  e  at 
a
1
s( s  a)
HÀM TRUYỀN SISO
3/ Bảng biến đổi
Hàm thời gian
Biến đổi Laplace
1
 at
 at


1

e

ate
2
a
1
s( s  a) 2
1
 at


at
1

e
2
a
1
s 2 ( s  a)
1  at e
sin at
 at
s
( s  a) 2
a2
s2  a2
HÀM TRUYỀN SISO
3/ Bảng biến đổi
Hàm thời gian
Biến đổi Laplace
cos at
s
s2  a2
1- cos at
a
1 b
2
 a2
e
e
a2
s(s 2  a 2 )
 abt
sin at 1  b
 abt
sin( at 1  b   )
1 b
  cos 1 b (b  1)
2
2
2
a2
s 2  2bas  a 2
sa 2
s 2  2bas  a 2
(b  1)
(b  1)
HÀM TRUYỀN SISO
4/ Hàm truyền hệ SISO
• Cho hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân
dy
dny
du
d mu
a0 y  a1
 ...  an
 b0u  b1
 ...  bm
n
dt
dt
dt
dt m
Lấy biến đổi Laplace hai vế với giả sử điều kiện đầu bằng 0
(a0  a1s  ..  an1s n1  an s n )Y ( s)  (b0  b1s  ...  bm1s m1  bm s m )U ( s)
Hàm truyền hệ thống là
bm s m  bm1s m1  ...  b1s  b0
Y ( s)
G( s) 

U ( s)
an s n  an1s n1  ...  a1s  a0
• Hàm truyền là hàm theo biến phức s, là phân số thực- hữu tỷ
• Hàm truyền là hợp thức (proper) nếu m  n và hợp thức chặt (strictly
proper) nếu m<n , r=n-m gọi là bậc tương đối của hệ
• Hàm truyền là bền nếu nghiệm của đa thức mẫu số có phần thực âm
• Hàm truyền thực- hữu tỷ, hợp thức chặt, bền là pha cực tiểu nếu các
nghiệm của tử số có phần thực âm
HÀM TRUYỀN SISO
5/ Đáp ứng
• Hàm trọng lượng g(t) là đáp ứng y(t) khi tín hiệu vào là hàm xung đơn
vị (t), là biến đổi Laplace ngược của hàm truyền G(s)
• Hàm quá độ h(t) là đáp ứng y(t) khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị 1(t),
là biến đổi Laplace ngược của hàm truyền H(s) = G(s)/s
• Muốn tìm biến đổi Laplace ngược của phân số hữu tỷ H(s) theo s ta
phân tích thành các hàm phân thức tối giản
q B (s   )  C 
Aki
k
k
k k
H ( s)  A   


2
2
i
k 1 i 1 ( s  ak )
k 1 ( s   k )   k
l
rk
A, Aki, Bk, Ck là hằng số, ak là cực thực (nghiệm mẫu số) bậc bội rk, k
±jk là cực phức.
• Tra bảng để tìm các hàm thời gian tương ứng
HÀM TRUYỀN SISO
• Trường hợp nghiệm đơn pi
G( s) 
r
r1
 ..  n
s  p1
s  pn
ri  (s  pi )G(s) |s  p
Các số ri gọi là thặng dư
• Trường hợp nghiệm bội, thực p1 bậc q
i
r1( q1)
r1( q )
rq1
rn
r11
r12
G( s ) 


..



..

s  p1 (s  p1 ) 2
(s  p1 ) q1 (s  p1 )q s  pq1
s  pn
r1( q i )
1 di
q

[(
s

p
)
1 G ( s )] |s  p1 , i  0,1, 2,...,q  1
i
i! ds
• Dùng MATLAB
[r,p,k]=residue([1],[1 1.5 1])
r=
p=
0 - 0.7559i
-0.7500 + 0.6614i
0 + 0.7559i
-0.7500 - 0.6614i
k=
[]
HÀM TRUYỀN SISO
5/ Đáp ứng
Dùng các biến đổi sau:
L
{ A}  A (t )
1
i 1 ak t
A
t
e
ki
L 1{
}

A
1(t )
ki
i
(i  1)!
( s  ak )
Bk ( s   k )  Ck  k
kt
L {
}

(
B
cos(

t
)

C
sin(

t
))
e
)1(t )
k
k
k
k
2
2
 hàm
k
k ) truyền
Ví dụ:( scho
1
G (s) 
3
0 .6
3 .2
3( s  1)



s 10[( s  1) 2  4] 5[( s  1) 2  4]
s ( s 2  2 s  5)
Ta tính được:
g (t )  0.6  0.3e t sin( 2t )  0.5e t cos(2t )
HÀM TRUYỀN SISO
• Đáp ứng xung có dạng
• Có thể dùng Matlab để vẽ đáp ứng
ts=[3];
ms=[1 2 5 0];
ht=tf(ts,ms);
y=impulse(ht);
z=step(ht);
hold on
plot(y)
plot(z)
6
5
4
3
2
1
0
0
20
40
60
80
• Dùng công cụ Symbolic Math Toolbox để tìm biểu thức toán học
>>syms t s;
>> ht=3/(s^3+2*s^2+5*s);
>> g=simplify(ilaplace(ht,t))
g =
3/5-3/5*exp(-t)*cos(2*t)-3/10*exp(-t)*sin(2*t)
100
120
HÀM TRUYỀN MIMO
• Với hệ có p đầu vào và q đầu ra, hàm truyền giữa ngõ vào thứ i và ngõ
ra thứ j là
Yi ( s )
Gij ( s ) 
,U k ( s )  0, k  j
U j ( s)
• Dùng ký hiệu vectơ ta có
Y ( s )  Y1 ( s ) Y2 ( s ) ...Yq ( s )
T
U ( s )  U1 ( s ) U 2 ( s ) ...U p ( s )
T
Y ( s )  G ( s )U ( s )
G11 ( s ) G12 ( s )... G1 p ( s ) 


G ( s )  G21 ( s ) G22 ( s )... G2 p ( s )
Gq1 ( s ) Gq 2 ( s )... Gqp ( s ) 
• G(s) là ma trận hàm truyền q hàng p cột
PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI
• Hệ thống được biểu thị bởi đáp ứng ra y theo tín hiệu vào u, đáp ứng
ra là những tín hiệu đo được, ngoài ra còn những trạng thái bên trong x
của hệ thống thay đổi theo tín hiệu vào, x là vectơ trạng thái có thể có
một vài thành phần không đo được, hoặc có một vài thành phần trùng
với một vài thành phần của vectơ ngõ ra y
• Với hệ có n biến trạng thái, p ngõ vào và q ngõ ra, ta có phương trình
trạng thái
dx
x 
 Ax  Bu
dt
y  Cx  Du
A: ma trận n*n, B: ma trận n*p,
C: ma trận q*n, D: ma trận q*p
• Các ma trận gồm các số hạng thực, có thể là hằng số, thay đổi theo
thời gian hay theo một đối số
PHƯƠNG TRÌNH TRẠNGTHÁi
• Thành lập phương trình trạng thái từ hàm truyền
• Có nhiều phương pháp thành lập pttt
• Dạng companion thứ nhất (dạng chính tắc điều khiển)
Cho hệ SISO có hàm truyền bậc n
bn1s n1  bn2 s n2  ...  b1s  b0
Y ( s)
G( s) 
 n
 bn
n 1
n2
U ( s) s  an1s  an2 s  ...  a1s  a0
Gọi A(s) đa thức mẫu số, Y(s) viết lại là
s n 1
s
1
Y ( s )  bn 1
U ( s )  ...  b1
U ( s )  b0
U ( s )  bnU ( s )
A( s )
A( s )
A( s )
Đặt các biến trạng thái như sau:
PHƯƠNG TRÌNH TRẠNGTHÁi
X 1 (s) 
1
s
U ( s ), X 2 ( s ) 
U ( s )  sX 1 ( s ),...,
A( s )
A( s )
s n 1
X n (s) 
U ( s )  sX n 1 ( s )
A( s )
suy ra
x1  x2 , x2  x3 ,..., xn1  xn
A( s )
X n ( s ) n1 U ( s )
s
xn   a0 x1  a1 x2 .. an1 xn u
y bn1 xn bn2 xn1 ..b0 x1 bn u
PHƯƠNG TRÌNH TRẠNGTHÁI
• Viết lại dưới dạng pttt, ta được các ma trận
 0
 .

A 0
 0

 a0
1
...
0
.
..
.
0
0
..
0
1
0
 a1
.
 an  2
0 
. 

0 
1 

 an 1 
B  0 0 ... 1
T
C  b0
b1 .. bn 1 
D  bn 
x là vectơ n chiều, u và y là vô hướng
Các hệ số của đa thức mẫu số được đảo dấu và xuất hiện ở
hàng cuối của A, C chứa các hệ số của tử số
PHƯƠNG TRÌNH TRẠNGTHÁI
• Ví dụ:
Cho hàm truyền G ( s) 
s3
s 3  9s 2  24s  20
Ta được pttt
1
0   x1  0
 x1   0
 x    0
  x   0  u
0
1
 2 
 2   
 x3   20  24  9  x3  1
 x1 
y  3 1 0 x2 
 
 x3 
PHƯƠNG TRÌNH TRẠNGTHÁI
• Dạng companion thứ hai (dạng chính tắc quan sát)
0
1

A  0
.

0
0
0
1
.
0
..
..
..
.
..
0  a0 
 b0 
b 
0  a1 

 1 
0  a2  ; B   b2 
 . 
.
. 

 
bn 1 
1  an 1 
C  0 0 .. 0 1 ; D  bn 
PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI
• Dạng chính tắc Jordan
Phân tích hàm truyền thành tổng các phân số theo các
nghiệm của đa thức mẫu số.
Gỉa sử các nghiệm là đơn
r
r
r
G ( s )  bn  1  2  ..  n
s  1 s  2
s  n
U ( s)
U ( s)
Y ( s)  bnU ( s)  r1
 ..  rn
s  1
s  n
Đặt các biến trạng thái như sau:
U ( s)
X 1 ( s) 
; x1  1 x1  u; xi  i xi  u
s  1
PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI
• Dạng chính tắc Jordan
1 0
0 
2
A
:
:
0 0

C  r1
0
1
1
.. 0 
;B 
:: 0 
: 
1
.. n 

..
r2 .. rn  ; D  [bn ]
Trường hợp G(s) có m cực bội phân biệt 1, 2,, … m với độ
bội n1, n2,…,nm; n = n1+ n2+ …+nm, phân tích thành phân số
riêng
G ( s)  bn  H1 ( s)  ...  H m ( s)
rini
ri1
ri 2
H i ( s) 

 ... 
ni
ni 1
( s  i )
( s  i )
( s  i )
PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI
• Với mỗi Hi liên kết phương trình trạng thái bậc ni

xi  xi1 xi 2 ..xini

T
xi   i xi  bi u
yi  ci xi
i
0

i   .

0

0

ci  ri1
1
0
1
i
.
0
0
ri 2
i
0
0
..
..
..
.
..
..
rini

i là ma trận có dạng Jordan
0
0
.
i
0
0
0 
0 
0

 
0  , bi   . 

 
0
0 

i 
1

PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI
• kết hợp m nghiệm ta có phương trình trạng thái
 1
0

:

0
0 .. 0 
 b1 
 x1 
b 
x 
 2 .. 0 
,b  2, x   2
:
:
:
:

 
 
0 0 m 
b
 m
 xm 
c  c1 c2 .. cm , d  bn ,


 là ma trận chéo khối, các ma trận con trên đường
chéo thuộc dạng Jordan
PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI
• Trường hợp nghiệm phức: giả sử có ba cực là
s =  + j, s =  - j và s =
Khai triển phân số riêng phần
0
0 

1
r
p  jq
p  jq
   0   jw
0  , b  1
G( s)  d 





s   s  (  jw) s  (  jw)
0
  jw
 0
1
c  r p  jq p  jq 
Dùng phép đổi biến
x1  x1 , x2  x2  x3 , x3  j ( x2  x3 )
0
1
x  0 1 / 2

0 1 / 2

1
 j / 2 x  Px , x  0


j / 2 
0
0
0
1
j
0 
1  x  P 1 x

 j 
PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI
Phương trình trạng thái mới là:
 0 0 
1 
   0    , B  2


 
 0    
0
C  r p q , D  d 
PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI
• Với một đối tượng, có thể có nhiều phương trình trạng thái
khác nhau
• Ví dụ:
G( s) 
s3
1/ 3
2/9 2/9



s 3  9s 2  24s  20 ( s  2) 2 s  2 s  5
Dạng điều khiển
Dạng quan sát
Dạng chính tắc
1
0   x1  0
 x1   0
 x    0
0
1   x2   0u
 2 
 x3   20  24  9  x3  1
 x1 
y  3 1 0 x2 
 x3 
 x1  0 0  20  x1  3
 x   1 0  24  x   1u
 2 
 2   
 x3  0 1  9   x3  0
y  x3
0   x1  0
 x1   2 1
 x    0  2 0   x   1u
 2 
 2   
 x3   0
0  5  x3  1
 x1 
y  1 / 3 2 / 9  2 / 9 x2 
 x3 
PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI
Transfer function:
s+3
----------------------s^3 + 9 s^2 + 24 s + 20
• Dùng MATLAB
ht=tf([1 3],[1 9 24 20])
Pttt=ss(ht)
a=
x1
x2
x3
c=
x1
-9
x2
16
0
0
y1
x3
0
8
0
d=
b=
u1
x1 0.25
x2
0
x3
0
-1.5 -0.1563
x1
0
x2
x3
0.25 0.09375
u1
y1 0
Continuous-time model.
PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI
Pttt=canon(ht,’companion’)
a=
x1 x2 x3
x1
0
0
-20
x2
1 0
-24
x3
0
-9
b=
1
u1
c=
y1 0 1 -6
d=
y1 0
x2 0
x3 0
Transfer function:
s+3
--------------------s^3 + 3 s^2 + 3 s + 2
pttt=canon(ht,'modal')
u1
Continuous-time
model.
x1 1
ht=tf([1 3],conv([1 2],[1 1 1]))
x1 x2 x3
PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI
a=
c=
x1
x2
x1
-2
0
x2
0
-0.5
x3
0 -0.866
b=
x3
0
x1
x2
y1 -0.1443 0.5455 0.189
0.866
-0.5
d=
u1
x1 -2.309
u1
y1 0
x2 -1.528
x3 2.646
x3
Continuous-time model.
ĐỔI PTTT RA HÀM TRUYỀN
Cho phương trình trạng thái
x (t )  Ax (t )  Bu (t )
y (t )  Cx (t )  Du (t )
Lấy biến đổi Laplace hai vế
sX ( s )  x 0  AX ( s )  BU ( s )
Y ( s )  CX ( s )  DU ( s )
X ( s)  ( sI  A) 1 x 0  ( sI  A) 1 BU ( s)
Y ( s)  C ( sI  A) 1 x 0  [C ( sI  A) 1 B  D]U ( s)
Trường hợp xo = 0, ta viết
Y ( s)  G( s)U ( s)  [C ( sI  A) 1 B  D]U ( s)
G(s) là ma trận hàm truyền bậc ny * nu
Nếu y và u là vô hướng G(s) là phân số hữu tỷ
MỘT SỐ CÔNG THỨC ĐẠI SỐ MA TRẬN
 a11 a12 .. a1n 
• Ma trận A m hàng n cột là một tập hợp các
tử..aijaxếp
 a phần

a
21
22
2
n

thành bảng m hàng và n cột: Amxn = (aij), A   :
: : : 


a
a
..
a
i = 1,2,…,m;j =1,2,..,n
mn 
 m1 m 2
• Cộng trừ hai ma trận cùng số hàng, số cột:
C = A+B = (cij) = (aij  bij)
• Kết quả nhân ma trận A với số vô hướng x là ma trận cùng
kích thước
B = Ax = xA= (xaij)
• Nhân hai ma trận Amxp và Bpxn là ma trận Cmxn
p
C  (cij )  ( aik bkj )
số cột của A phải bằng số hàng của B
k 1
• Chuyển vị của ma trận Amxn là Bnxm= AT, bij= aji
•Ma trận chéo là ma trận vuông với aij= 0 khi ij
•Ma trận đơn vị là ma trận chéo I với aii=1
•Hạng của ma trận là số các vectơ hàng độc lập tuyến tính hay
số các vectơ cột độc lập tuyến tính
MỘT SỐ CÔNG THỨC ĐẠI SỐ MA TRẬN
ĐỊNH THỨC
•Định thức ma trận vuông Anxn là số thực hay phức
n
n
det(A)  A   (1) aij det(Aij )   (1) i  j aij det(Aij )
j 1
i j
i 1
•(Aij) là ma trận có được từ ma trận A bằng cách bỏ hàng i cột j
•Biểu thức (-1)i+jdet(Aij) gọI là đồng thừa của phần tử aij
•Ma trận vuông bậc 2 có định thức là a11a22-a12a21
•Ma trận có định thức bằng 0 là ma trận suy biến (singular), có hai hàng hay
hai cột phụ thuộc tuyến tính (giống nhau)
det(A)=det(AT), det(AB)=det(A)det(B), det(A)= ndet(A)
•Ma trận adjoint của ma trận vuông A là ma trận chuyển vị của
ma trận có được bằng cách thay mỗi phần tử cúa A bằng đồng
thừa của phần tử đó
•Ma trận đảo của ma trận A vuông không bất thường là
B  A 1 
adjA
A
MỘT SỐ CÔNG THỨC ĐẠI SỐ MA TRẬN
Ví dụ
A=
A=[3 -1; 0 1; 2 0]
B=[1 0 -1; 2 1 0]
C=A*B
B=
3
-1
0
1
2
0
D=B*A
det(A)
C=
1
0
-1
1
-1
-3
2
1
0
2
1
0
2
0
-2
D=
??? Error using ==> det
Matrix must be square.
E=det(D)
ans =
inv(D)
-0.2000 0.2000
D^-1
-1.2000
0.2000
1
-1
6
-1
E=
5
ĐỊNH LÝ CAYLEY HAMILTON
Ma trận A có phương trình đặc trưng là
MỘT SỐ CÔNG THỨC ĐẠI SỐ MA TRẬN
• AA-1=A-1A=I, I là ma trận vuông chéo đơn vị
• (AB)-1=B-1A-1
• Vết ma trận vuông là tổng các số hạng đường chéo
•tr(A*B)=tr(B*A)
n
tr ( A)   aii
i 1
•tr(S-1AS)=tr(A), S là ma trận vuông không suy biến bất kỳ
•Chuẩn ma trận: độ đo kích thức của ma trận
•Chuẩn Frobenius
(chuẩn Euclide):
m n
2
A F    aij  tr ( AT A)
i 1 j 1
•Chuẩn bậc 1: tổng lớn nhất trong số các tổng của các module
m
các số hạng cùng một cot
A 1  max j  aij
i 1
T
•Chuẩn bậc 2: giá trị riêng lớn nhất của A A
A 2  max i i ( AT A)
•Chuẩn vô cùng: tổng lớn nhất trong số các tổng của các
n
module các số hạng cùng một hang
A   max i  aij
j 1
MỘT SỐ TÍNH CHẤT QUAN TRỌNG
bn1s n1  bn2 s n2  ...  b1s  b0
C ( sI  A)  B
C ( sI  A) B 
 n
sI  A
s  an1s n 1  an2 s n2  ..  a1s  a0
1
(sI-A)+ là ma trận adjoint của A
Định thức |sI-A| chính là mẫu số hàm truyền, gọi là đa thức đặc trưng
Nghiệm của đa thức định thức |I-A|
 là trị riêng của ma trận A, cũng
c( sI  A) b
chính là nghiệm cỉaGmẫu
( s ) số hàm truyền
sI  A
Ví dụ:
2
s  10
1  0 
T  s  11s  11
0 1
0
0
1 
s 1
0
 
1 0 0
0
s ( s  10)
s 2 0
A  0  1 1 , b  0 , c  0 sI  A  0 s  1  1  s( s 11s  1

0
s
s ( s  1) 10
0  1  10
0
0 1
s  10
10
2
s ( s  11s  11)
Đa thức đặc trưng:
10

Hàm truyền:
s ( s 2  11s  11)
ĐỔI PTTT RA HÀM TRUYỀN
Ví dụ:
Pttt = ss ([-0.01 0; 0 -0.02], [1 1; -0.004 0.002], [0.01 0;0 1], 0)
a=
c=
x1
x1 -0.01
x2
0
x2
0
-0.02
b=
x1
x2
y1 0.01
0
y2
1
0
d=
u1 fromu2input 1 to output...
Transfer function
1
1
0.01x1
u1 u2 function from input 2 to output...
Transfer
y1 00.01
0
x2 -0.004
#1: --------
y2
0
#1: 0--------
s + 0.01
Ht = tf(pttt)
-0.004
0.002.
s + 0.01
0.002
#2: --------
#2: --------
s + 0.02
s + 0.02
ĐỔI PTTT RA HÀM TRUYỀN
Ví dụ:
>> A=[0 1 0; 0 -1 1; 0 -1 -10]
A=
B=
0
1
0
0
0
-1
1
0
0
-1 -10
C=
D=
1
0
>>B=[0 0 10]'
10
>> C=[1 0 0]
>> D=0
E=
>> E = poly (A)
1.0000 11.0000 11.0000
0
>>sys = ss(A, B, C, D);
>>ht = tf(sys)
>> nghiem=roots(E)
Transfer function:
10
nghiem =
0
-------------------
-9.8875
s^3 + 11 s^2 + 11 s
-1.1125
0
0
TRỊ RIÊNG
•Trị riêng (eigenvalue) của ma trận vuông A là nghiệm của
phương trình đặc trưng |sI-A|
n
•Nếu 1, 2,… n là các trị riêng của A thì tr(A)=  i
i 1
•Nếu 1, 2,… n là các trị riêng của A thì cũng là trị riêng của AT
•Nếu 1, 2,… n là các trị riêng của A thì 1/ i là trị riêng của A-1
>>A = [0 1 0; 0 0 1; -2 -1 -5]
d=
A=
>> d = eig(A)
0
1
0
-4.8791
>> e = eig (A')
0
0
1
-0.0605 + 0.6374i
-2
-1
-5
-0.0605 - 0.6374i
>> f= eig(inv(A))
e=
f=
-0.0605 + 0.6374i
-0.1475 + 1.5549i
-0.0605 - 0.6374i
-0.1475 - 1.5549i
-4.8791
-0.2050
VECTƠ RIÊNG
•Vectơ riêng (eigenvector) vi của ma trận A liên kết với nghiệm
riêng i là nghiệm của phương trình (i I-A) vi = 0
•Ví dụ:
 1
 1
1
A
0
Phương trình đặc trưng:
| I-A|= 2-1
1 = 1, 2 = -1
Nghiệm riêng:
Vectơ riêng v1 với 1 là nghiệm của phương trình
v12 = 0, v11 bất kỳ, chọn bằng 1
0
0

1 v11  0

2 v12  0
Tương tự vectơ riêng thứ hai thỏa phương trình -2v21+v22 = 0,
chọn tùy ý v21=1, suy ra v22 = 2
1 
1 
Các vecơ riêng là
v1    , v2   
0 
[v,d] = eig(A)
v=
 2
d=
1.0000
0.4472
1
0
0
0.8944
0
-1
VECTƠ RIÊNG TRỊ BỘI
Trường hợp 1 là nghiệm bội bậc m
Có m vectơ riêng tương ứng giải bởi các phương trình
1 I  Av1  0
1 I  Av2  v1
...
1 I  Avm  vm 1
Ví dụ:
 2
A 0


 0
1
2
0
0 
0 

 5

Các trị riêng là 1 = -5, 2 = 3 = -2
1
0
(2 I  A)v2  0


0
0
0
0  v12 
0 v22  


3

v32 

Vectơ riêng ứng với trị riêng 1 = -5 là v1= [0 0 1]T
Giải phương trình
0
(3 I  A)v3  0


0
Được vectơ riêng v2 = [1 0 0]T
Giải phương trình
Được vectơ riêng v3 = [1 1 0]T
1
0
0
0  v13 
1
0 v23    0


 
3


v33 

0 

NGHIỆM CỦA PTTT
dx/dt=Ax+Bu
Hàm mũ ma trận eAt:
e
At
 1
1 22
 I  At  A t  ..   Ai t i
2!
i 0 i!
eA0=I, eAte-At=I, eAueAv=eA(u+v)
d At
e  Ae At  e At A
dt
Biến đổi Laplace của eAt là (sI-A)-1
 1
 1
 Ai
1
i
!
L(e At )  L( I  At  A2t 2  ..)   Ai L(t i )   Ai i 1   i 1
2!
s
i 0 i!
i 0 i!
i 0 s
 Ai 1
A
 i   i 1  I
i 0 s
i 0 s
 Ai
( sI  A)  i 1  I
i 0 s

i
NGHIỆM CỦA PTTT
dx/dt=Ax+Bu
Xét phương trình dx/dt=Ax+Bu
Nhân hai vế với e-At và chuyển vế e  At dx  e  At Ax  e  At Bu
dt
d
(e  At x )  e  At Bu
dt
Dùng tính chất đạo hàm
t
t
d
 A
(e
x)d   e  A Bu ( )d

0 d
0
Lấy tích phân hai vế
Ta được kết quả
t
x(t )  e x(0)   e A(t  ) Bu ( )d
At
0
t
 At

y(t )  C e x(0)   e A(t  ) Bu( )d   Du


0
TÍNH eAt
•Dùng Laplace ngược
0
A  0


1
( sI  A)
0
1
0
1
eAt=L-1[(sI-A)-1]
 2
0 

3 

( sI  A) 

sI  A
sI  A  ( s  1) 2 ( s  2)
( sI  A) 1
e At
s 3

 ( s  1)( s  2)


0

1

 ( s  1)( s  2)

 2e t  e 2t


0
 e t  e 2t
0
et
0
0
1
s 1
0
2

( s  1)( s  2) 


0

s

( s  1)( s  2) 

2e t  2e 2t 

0

2t
t
2e  e 
Ví dụ
 1
A
 1
1 
0
;
b

10 , c  1
 10

 
0
1
1 
1 
s  1
 s  10
1
( sI  A)


s  10
s  1
s 2  11s  11 
 1

 1

1 
 s  10
1

; a1  1.1125, a2  9.8875
( s  a1 )( s  a2 ) 
s  1
 1

1

e At  L1 ( sI  A) 1

1.0128e  a1t  0.0128e  a2t

 a1t
 0.114e  a2t
  0.114e
0.114e  a1t  0.114e  a2t 

 0.0128e  a1t  1.0128e  a2t 
Với u(t) = 1, x(0) = 0


1.14(e  a1 ( t  )  e  a2 ( t  )
x (t )   e
bd   
d
 a1 ( t  )
 a2 ( t  ) 
 8.8842e
0
0 1.14( 0.1123e

 0.9094  1.0274e  a1t  0.1153e  a2t 


 a1t
 0.1019e  a2t 
  0.0132  0.1151e
t
A ( t  )
t
y (t )  x1 (t )  0.9094  1.0274e  a1t  0.1153e  a2t
Dùng MATLAB
>> A=[-1 1;-1 -10];
1
0.9
>> b=[0;10];
0.8
0.7
>> c=[1 0];
>> model=ss(A,b,c,0);
>> [y,t,X]=step(model);
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
>> plot(y)
0.1
0
0
20
40
60
40
60
80
100
120
1
>> plot(X)
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
20
80
100
120
ĐỊNH LÝ CAYLEY HAMILTON
Ma trận A có phương trình đặc trưng
p( )  det( I  A)  n  an 1n 1  ..  a1  a0
Thay  bằng A ta có phương trình
p( A)  An  an 1 An 1  ..  a1 A  a0 I  0
Thật vậy, từ hai đẳng thức trên ta có
p( ) I  p( A)  n I  An  an 1 (n 1I  An 1 )  ..  a1 (I  A)
Vì
k I  Ak  (I  A)(k 1I  k 2 A  k 3 A2  ..  Ak 1 )
Nên vế phải chia hết cho I-A, vậy vế trái cũng chia hết cho I-A, vậy
p()I chia hết cho I-A và p(A) cũng vậy
p(A) không chứa  mà chia hết cho I-A vậy p(A) = 0
ĐL C-H: hàm f(A) theo ma trận A biểu thị bằng chuỗi
f ( A)  a0 I  a1 A  ..  an 1 An 1  an An  ..
ĐỊNH LÝ CAYLEY HAMILTON
Cũng có thể biểu thị bằng biểu thức
f ( A)  b0 I  b1 A  ..  bn 1 An 1
Điều này là do An có thể biểu thị theo tổ hợp A,…,An-1
Nếu i là nghiệm riêng của A thì
f ( )  b0  b1i  ..  bn 1in 1
Nếu các nghiệm riêng là phân biệt ta có n phương trình để tìm bi
Nếu nghiệm riêng i là bậc bội thì ta đạo hàm m-1 lần
dj
dj
f ( ) | i 
{b0  b1i  ..  bn 1in 1} | i
j
j
d
d