Transcript 3.6 Les équations de la cinématique à accélérations constante

3.6 Les équations de la cinématique à accélération constante MRUA
Exemples de mouvement avec accélération constante:
Voiture qui accélère ou freine de façon constante
Objet soumis à une force constante.
Objet en chute libre près de la surface de la
Terre sans la résistance de l’air.
De quelles équations avons-nous besoin?
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3.6 Les équations de la cinématique à accélération constante
Nous avons besoin des équations suivantes pour trouver la
plupart du temps, les valeurs finales de la position et de la vitesse
d’un objet à partir des valeurs initiales et du temps écoulé:
v x  vox  a x t
1
x  xo  voxt  a x t 2
2
2
v x2  v ox
 2 a x x
Ce sont les équations essentielles à l’étude du mouvement des
objets. Autrement dit, pour prédire les nouvelles positions et les
nouvelles vitesses.
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3.6 Les équations de la cinématique à accélération constante
Nous pouvons les utiliser, puisque nous savons les démontrer.
Les questions seront de la forme suivante :
Deux cyclistes se poursuivent à 5,0 m de distance, étant donné
leurs vitesses et leurs accélérations est-ce que le cycliste de
derrière va réussir à rattraper le premier? Si oui, quand et où?
Si non, …
Regardez les exemples 3.7 , 3.8 et les autres exemples afin de
bien comprendre la stratégie et la méthode utilisée.
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3.6 Les équations de la cinématique à accélération constante
Regardez les exemples 3.7 , 3.8 et les autres exemples afin de
bien comprendre la stratégie et la méthode utilisée.
Autre exemple : Méthode de résolution ( 4 étapes)
Mise en situation : J’illustre la situation par un schéma,
système d’axes
Problème : Je cherche, je connais
Solution possible: Je formule des hypothèses,
j’utilise les équations et je donne des justifications
s’il y a lieu
Résultat probable: J’obtiens une réponse et je
commente s’il y a lieu
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3.6 Les équations de la cinématique à accélération constante
Exemple
Vous roulez en automobile à 30 m/s lorsque soudain vous
apercevez à 35 m devant vous un camion arrêté. Vous
appliquez les freins et décélérez à 5 m/s2 .
a) Allez-vous entrer en collision? Si oui, quand ; Si non, quelle
distance minimale vous sépare?
b) S’il y a lieu, à quelle vitesse allez-vous entrer en collision?
Mise en situation
J’illustre la situation
A
C
30 m/s
x
35 m
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3.6 Les équations de la cinématique à accélération constante
Exemple
Vous roulez en automobile à 30 m/s lorsque soudain vous
apercevez à 35 m devant vous un camion qui roule à peine à
10 m/s dans la même direction que vous. Vous appliquez les
freins et décélérez à 5 m/s2 .
c) Allez-vous entrer en collision? Si oui, quand et où aura--t-elle
lieu? Si non, quelle distance minimale vous sépare?
Mise en situation
J’illustre la situation
A
C
30 m/s
10 m/s
x
35 m
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3.6 Les équations de la cinématique à accélération constante
10 m/s
30 m/s A
x
C
35 m
Problème : Je cherche quand la collision aura-t-elle lieu? Et où aurat-elle lieu ? ( t = ??? Et x = ??? )
Données connues : Je connais
Automobile :
position initiale xoA =0
décélération aA = -5 m/s2
Camion: position initiale xoC = 35 m
vitesse initiale voA = 30 m/s
vitesse vC = 10 m/s
Solution possible :
J’utilise les équations du
mouvement
m.r.u et m.r.u.a
v A  voA  a At
1 2
x A  xoA  voAt  a A t
2
xC  xoC  vC t
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Quand la collision aura-t-elle lieu?
Autrement dit
quand
xA = xC
( t = ???)
?
Même position
Solution possible:
auto
m.r.u.a
1
x A  xoA  voAt  a A t 2
2
=
xoC  vC t  xC
Égalité des positions
camion
m.r.u
30t  2,5t 2  35  10t
0  35  20t  2,5t 2
Deux
racines
20  20 2  4  2,5  35
5
t1 = 2,59 s
t2 = 5,41 s
Du point de vue physique, on prend uniquement le premier temps des
deux. Justification
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Résultat probable :
Je garde 2,59 s, donc la collision aura lieu à 2,59 s
après avoir aperçu le camion
À quel endroit ?
En remplaçant, le premier temps dans
xC  xoC  vC t
xC  35  10  2,59
J’obtiens une position :
xC  60,9 m
Résultat probable :La collision aura lieu à 60,9m de la position
initiale de la voiture.
Autres informations : L’automobile est mouvement lors de la collision.
Sans collision, elle aurait mis en fait, 6,0 s pour arrêter.
Voir le CD-Rom
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Représentation et analyse graphique du problème
x
(m)
2,59 s
5,41 s
xc
xA
35
2
4
6
8
10
12
t (s)
Maple
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Analyse graphique du problème
Avec le camion à 40 m devant
vous.
x
(m)
xc
40
xA
2
4
6
8
10
12
t (s)
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Analyse graphique du problème
À 60 m devant vous,
pas de collision
x
(m)
xc
Distance minimale
lorsque
60
vA = vC
xA
À t = 4,0 s
2
4
6
8
10
12
t (s)
12
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Analyse graphique
x
(m)
xc
Avec,
Vc > 10 m/s,
Pas de collision
xA
35
2
4
6
8
10
12
t (s)
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d) On estime votre temps de réflexe à 0,5 s, quel est le module de la
décélération minimale nécessaire pour éviter la collision? ( Juste la bonne
décélération)
J’illustre la situation
C
A
35
15
5
30x0,5
25
La distance de freinage est maintenant de 25 m, les deux
véhicules sont toujours en mouvement
10x0,5
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a(min)
Problème :
Je cherche la décélération minimale a(min) = ???
Données connues
Je connais
Solution possible :
J’ utilise les équations du
mouvement
m.r.u et m.r.u.a
v A  voA  a At
Automobile :
position initiale xoA =0
vitesse initiale voA = 30 m/s
Camion: position initiale xoC = 25 m
vitesse vC = 10 m/s
1
x A  xoA  voAt  a A t 2
2
xC  xoC  vC t
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Il faut trouver le temps, quand, xA = xC ?
Solution possible: même position
auto
m.r.u.a
1 2
x A  xoA  voAt  a At
2
=
xoC  vC t  xC
a (min) 2
30t 
t  25  10t
2
a (min) 2
0  25  20t 
t
2
camion
m.r.u
Même position
Deux inconnues
Condition supplémentaire: Même vitesse
v A  v oA  a(min)t  vC
Même
vitesse
v A  30  a(min)t  10
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a (min) 2
0  25  20t 
t
2
v A  30  a(min)t  10
20
a(min) 
t
0  25 20t 10t
20
a(min) 
2,5
2 ,5  t
a(min)  8
Résultat probable:
m/s 2
J’obtiens une décélération d’au moins
8 m/s2 pour éviter la collision
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En résumé, les équations du mouvement servent à déterminer la plupart du
temps la position et la vitesse finales des objets,
Il faut toujours essayer de visualiser la situation avant de se
lancer dans des calculs. Intuition, vous faire confiance
Il est toujours préférable de procéder avec méthode pour
résoudre les problèmes.
Autrement dit, faire un schéma, identifier les inconnues, poser
les équations et résoudre .
C’est particulièrement vrai, lorsqu’il y a deux objets en
mouvement.
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3.6 Les équations de la cinématique à accélération constante
Nous aurons donc toujours besoin des équations suivantes pour trouver
la plupart du temps, la position et la vitesse finales à partir de la position
et de la vitesse initiales et du temps écoulé:
1
2
x  xo  voxt  a x t
2
v x  vox  a x t
v x2  v o2 x  2a x x
Ces équations sont essentielles pour étude du mouvement des objets.
Autrement dit, pour prédire les nouvelles positions et les nouvelles
vitesses.
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