1

2. Konsep Error

2

Error

Jika â adalah nilai hampiran terhadap nilai sejati a maka selisih â dengan a disebut dengan

error.

ε = a – â

error lebih berarti jika diketahui perbandingan dengan nilai aslinya yang disebut

error relatif

ε

R

= ε / a

atau

ε

R

= ε / a

x 100% Untuk kasus dimana nilai asli sulit didapatkan, sehingga digunakan nilai hampiran hasil iterasi :

ε

RA

= (a

r+1

:

– a

r

) / a

r+1

3

Sumber Utama Error

 

Round-off Error

– diakibatkan keterbatasan komputer menyimpan detail bilangan riil.

– Panjang bilangan yang melebihi kemampuan media penyimpanan akan dibulatkan (ke atas)

Truncation Error

– – Diakibatkan oleh adanya penghentian komputasi tak hingga menjadi berbatas.

Digunakan hampiran sebagai pengganti formula yang eksak.

4

Angka Penting

 Angka yang dapat digunakan secara pasti.

 Angka penting akan terlihat dengan pasti jika ditulis dalam notasi ilmiah. Jumlah angka penting terletak pada jumlah digit mantis.

5

Bilangan Floating Point

  Formula bilangan floating point :

a = + m x b + p

Dimana :

m

= mantis(riil)

b

= basis

p

= pangkat (bilangan bulat positif) Format standar floating point : – – – Single (32 bit) Double (64 bit) Setiap format terdiri 3 field (sign bit,eksponen bit dan fraction bit)

6

Bilangan Floating Point (Cont.)

 Bilangan Floating Point Ternormalisasi – Untuk menyeragamkan penyajian – Agar semua digit mantis merupakan angka penting – Format :

a = + m x b + p = +0.d

1 d 2 d 3 d 4 ..d

n x b + p

dengan syarat 1<

d 1 1.

7

Epsilon Mesin

   Setiap komputer memiliki kemampuan menyimpan detail bilangan positif terkecil.

Epsilon mesin ( μ) didefinisikan sebagai bilangan positif terkecil sedemikian sehingga 1 + μ > 1 Gap ( Δx) adalah jarak antara sebuah bilangan floating point dengan bilangan floating point berikutnya, formulanya : Δx = μ x R R adalah bilangan floating point sekarang.

8

Epsilon Mesin (Cont.)

1 Negative overflow 3 Negative underflow 2 Expressible Negative numbers 4 Zero 5 Positive underflow 6 Expressible Positive numbers

-10 99 -10 -100 0 10 -100 Gambar Rentang Bilangan Floating Point 10 99

7 Positive overflow

Pembulatan pada Floating Point

9



Pemenggalan (chopping)

Digit bilangan yang lebih banyak daripada digit mantis komputer akan mengalami pemenggalan a = +0.d

1 d 2 d 3 …d n d n+1 … x 10 +p Dengan n digit mantis pada komputer akan menjadi : fl chop (a) = +0.d

1 d 2 d 3 …d n x 10 +p  Contoh : Bilangan π = 0.31415926535897…. x 10 0 Pada komputer dengan mantis 7 bit menjadi fl chop ( π) = 0.3141592 x 10 0 error = 0.000000065… Bilangan biner untuk hasil 1/10 (basis 10) = (0.00011001100110011…) 2 Dinormalkan dan dipenggal dengan mantis 32 bit : fl chop (1/10) ≈ (0.11001100110011001100110011001100 ) 2 maksimum error pemenggalan adalah ∆x .

x 2 -3

10

Pembulatan pada Floating Point (Cont.)

   Pembulatan ke digit terdekat (in-rounding) Bilangan basis 10 a = +0.d

1 d 2 d 3 …d n d n+1 … x 10 +p Pembulatan dengan n digit mantis menjadi : fl round (a) = +0.d

1 d 2 d 3 …z x 10 +p Z dalam hal ini : z = d n d n d n d n + 1 + 1 jika d n+1 jika d n+1 jika d n+1 jika d n+1 < 5 > 5 = 5 dan n genap = 5 dan n ganjil Contoh : Bilangan basis 10 π = 0.31415926535897…. x 10 0 fl round ( π) = 0.3141593 x 10 0 Bilangan basis 2 Batas maksimum galat : ∆x /2

11

Pembulatan pada Floating Point (Cont.)

Error mutlak ke digit terdekat : | a – fl(a) | = | +0.d

1 d 2 d 3 …d n d n+1 … x 10 +p - +0.d

1 d 2 d 3 …d n x 10 +p | < ( ½ x 10 –n ) x 10 +p = ( ½ x 10 –n ) x a/m (karena 10 +p = a/m) < 5a x 10 -n

12

Aritmatika Bilangan Floating Point

  Teorema pada Aritmatika Bilangan Floating point.

Jika a dan b adalah bilangan floating point maka : i) fl(a + b) = (a + b)(1 + ε 1 ) ii) fl(a – b) = (a – b)(1 + ε 2 ) iii) fl(ab) = (ab)(1 + ε 3 ) iv) fl(a/b) = (a/b)(1 + ε 4 ) Yang dalam hal ini | ε i | < 5 x 10 -n = e, i = 1,2,3,4

13

Aritmatika Bilangan Floating Point (Cont.)

Operasi Penjumlahan & Pengurangan

   Harus ada penyamaan pangkat : kiri atau kanan ?

Geser kiri  kehilangan bit penting Geser kanan  kehilangan lebih sedikit bit penting (error lebih kecil ?)   Penjumlahan bilangan kecil ke besar menyebabkan error pembulatan  hilang angka penting akibat pergeseran Pengurangan 2 bilangan yang hampir sama menghasilkan bilangan nol pada digit mantis yang paling penting

14

Aritmatika Bilangan Floating Point (Cont.)

 Perkalian dan pembagian tidak memerlukan penyamaan pangkat

15

Perambatan Error

    Pada suatu proses komputasi yang memiliki error akan menyebabkan penumpukkan error apabila proses tersebut dilakukan secara beruntun.

Menyebabkan hasil yang menyimpang dari sebenarnya  kondisi tidak stabil (ketidakstabilan numerik) Kondisi Stabil : error pada hasil antara memiliki pengaruh yang sedikit pada hasil akhir.

Ketidakstabilan matematik : kondisi yang timbul karena hasil perhitungan sangat peka terhadap perubahan kecil data.

16

Ketidakstabilan

  Dikatakan tidak stabil jika hasil tidak teliti sebagai akibat metode komputasi yang dipilih.

Contoh : – – –

F(x) =x ( √(x+1)- √ x),

hitung

f(500)

sampai

6

solusi asli =11.174755300747198… angka penting,

F(x) = √(x+1)- √ x

, hitung f(12345) sampai 6 angka penting , solusi asli = 0.00450003262627751

Cari akar-akar polinom penting

x 2 – 40x + 2 = 0

sampai 4 angka –

F(x) = (e x -1- x) / x 2

hitung

f(0.01)

sampai angka 6 penting

17

Kondisi Buruk

 Persoalan dikatakan berkondisi buruk bila jawabannya sangat peka terhadap perubahan kecil data atau error pembulatan.

 Contoh : – x 2 -4x + 3.999 = 0  akar-akar x 1 = 1.968

= 2.032 dan x 2 – – x 2 x 2 -4x + 4.000 = 0  akar-akar x 1 -4x + 4.001 = 0  = x 2 = 2.000

akar-akarnya imajiner

18

Bilangan Kondisi

 Bilangan kondisi didefinisikan sebagai :  Bilangan Kondisi = | ε RA [f(

â

)]/ ε RA (

â

)| = |

â f’(a)/f(â)|

 Arti bilangan kondisi : – – Bilangan kondisi = 1, galat relatif hampiran fungsi sama dengan galat relatif x Bilangan kondisi >1, galat relatif hampiran diperkuat  – Bilangan kondisi <1, galat relatif hampiran diperlemah Kondisi buruk  bilangan kondisi besar  Kondisi baik  bilangan kondisi kecil