Transcript matek-integral

INTEGRAL
Widita Kurniasari
Universitas Trunojoyo
ALJABAR KALKULUS
Konsep matematika yg mempelajari
tk perubahan dr suatu fungsi
DIFERENSIAL
•Mempelajari tk. perubahan
rata-rata/seketika dr suatu fungsi
•Mencari turunan dr suatu fungsi
INTEGRAL
•Mencari fungsi asal jika diketahui
nilai perubahannya
•Menentukan luas bidang
APLIKASI
•Menghitung nilai optimal
•Analisis marginal
APLIKASI
•Surplus konsumen dan
surplus produsen
PENGERTIAN
• Kebalikan dari diferensial/derivatif
Anti diferensial/derivatif
• Kegunaan :
– Mencari fungsi asal jika diketahui fungsi
turunannya
 intergal tak tentu (indefinite integral)
– Menentukan luas bidang dari sebuah kurva
yang dibatasi sumbu X
 integral tertentu (definite integral)
INTEGRAL TAK TENTU
• Nilai domain tidak ditentukan
• Jika Y = F(x) dan Y’ = F’(x) = f(x),
maka “integral dari f(x) terhadap X” :
 f ( x)dx  F ( x)  c
• Keterangan
–
–
–
–
–

f(x)
F(x)
dx
c
: tanda integral
: integran
: fungsi primitif
: proses integral
: konstanta
INTEGRAL TERTENTU
• Nilai domainnya ditentukan :
b
 f ( x)  F ( x )
b
a
a
ab
a : batas bawah
b : batas atas
 F (b)  F (a)
PENYELESAIAN
INTEGRAL
• Rumus Dasar
• Cara Substitusi
• Cara Integral Parsial
RUMUS DASAR INTEGRAL
•
•
•
•
•
•
•
•
0 dx = c
a dx = ax + c
xn dx = 1/(n+1) xn+1 + c (n≠-1)
1/x dx = ln x + c
1/(ax+b) dx = 1/a ln (ax+b) + c
ex dx = ex + c
eax+b = 1/a eax+b + c
ax dx = ax/lna + c
CONTOH SOAL
1. (x3 – 5x2 + x + 7/x) dx
2. 100e2x dx
3. Diketahui f ’(x) = 3x2 – 6x + 10 dan f(2) = 20.
a. Tentukan f(x) !
b. Hitung 3f (6)
c. Hitung  f ( x)dx
1
Jawab
1.
(x3 – 5x2 + x + 7/x) dx
4
3 1 x 2 7 ln x + c
1
x
5.
1
x
=
+
+
4
3
2
2. 100e2x dx
= 100. 1 e2x + c = 50 e2x + c
2
3. a). (3x2 – 6x + 10) dx = x 3 - 3x 2 + 10x + c
Jadi f(x) = x 3 - 3x 2 + 10x + c
f(x) = x 3 - 3x 2 + 10x + c
f(2) = 20
(2) 3 - 3(2)2 + 10(2) + c = 20
c=4
b). f(6) = (6) 3 - 3(6) 2+ 10(6) + 4
f(6) = 172
c).
3
 f ( x)dx =  (x3 - 3x 2 + 10x + 4) dx
1
=
¼x 4–
x3 +
2
3
5x + 4x ] 1
= (¼(3) 4 –(3) 3 + 5(3) 2 +4(3)) – (¼(1)4–(1) 3+5(1)2 +4(1)
= 50,25 – 8,25
= 42
CARA SUBSTITUSI
Digunakan jika integran merupakan hasil
kali/bagi dari fungsi x yang dapat
didiferensialkan serta dapat dinyatakan
sebagai kelipatan konstanta dari fungsi
lainnya, U du/dx.

du
f ( x)dx   (U )dx
dx
 f ( x)dx   Udu  F (u )  c
Contoh Soal
•  5.(3x 2 + 2x + 4)4. (6x+2).dx
misalkan u = 3x2 + 2x + 4
du/dx = 6x+2
du = (6x+2)dx
Jadi  5.(3x2 + 2x + 4)4. (6x+2).dx = 5. u4.du
= 5. 1 u 5 + c = u 5 + c
4+1
=
(3x 2 +
5
2x + 4) + c
CARA INTEGRAL PARSIAL
Digunakan jika integran merupakan hasil
kali/bagi dari fungsi x yang dapat
didiferensialkan, tetapi tidak dapat
dinyatakan sebagai kelipatan konstanta
dari fungsi lainnya, U du/dx.
 u.dv  u.v   v.du
Contoh Soal
•  x 2 lnx dx
misalkan : u = ln x maka du/dx = 1/x
du = dx/x
dv = x2 dx maka v = dv
v =  x 2dx = 1/3 x 3
u.dv = uv -  v.du
= lnx.1/3x 3 -  1/3x 3.dx/x
= 1/3x3 lnx – 1/3  x 2 dx
= 1/3x3 lnx - 1/3. 1/3 x 3 + c
= 1/3x 3lnx - 1/9 x 3 + c
TUGAS
1. (3x + 10)7 dx
2. 12x2(x3 + 2)3 dx
3. 2x ex dx
APLIKASI INTEGRAL
DALAM ILMU EKONOMI
Aplikasi Integral
1. Menghitung Fungsi Total jika diketahui Fungsi
Marginal
Fungsi Biaya (TC) = hubungan fungsional antara
jumlah biaya dalam proses produksi dengan
sejumlah output dalam jangka waktu tertentu
Total Cost (TC) terdiri atas Fixed Cost (FC) dan
Variabel Cost (VC)
FC selalu konstan selama jangka waktu tertentu
VC adalah biaya variabel yang berubah menurut
jumlah barang yang diproduksi
TC = f(x) + k , dimana k = FC dan f(x) = VC
MC = TC’
TC =  MC
Lanjutan…
Fungsi Konsumsi C = F(Y)
C = jumlah konsumsi dalam satuan Rupiah untuk
setiap tingkat pendapatan Y Rupiah
Turunan dari C’ = F’(Y) atau C’ = MPC
MPC (Marginal Prospensity To Consume)
Jika MPC diketahui dan fungsi konsumsi (C) tidak
diketahui maka :
C =  MPC atau C =  F’(Y) dy = F(Y) + c
c = autonomous consumption
2. Surplus Konsumen dan Surplus Produsen
Lanjutan…
• Surplus Konsumen (SK) :
Konsumen yang mampu atau bersedia membeli
barang lebih tinggi (mahal) dari harga
equilibrium akan memperoleh kelebihan
(surplus) untuk setiap unit barang yang dibeli.
• Surplus Produsen (SP) :
Penjual yang bersedia menjual barangnya
dibawah harga equilibrium akan memperoleh
kelebihan harga jual untuk setiap unit barang
yang terjual.
CONTOH
APLIKASI INTEGRAL
1.
2.
Diketahui MC = 9Q2 + 30Q + 25. TC
sebesar 4880 ketika Q sebesar 10 unit.
a. Berapa FC ?
b. Tentukan fungsi TC !
Diketahui MPC = 0,8 dan autonomous
consumption = 1000. Tentukan fungsi
konsumsi !
SURPLUS KONSUMEN &
SURPLUS PRODUSEN : f (Q)
P
SK  OAMQ0  OP0 MQ0
A
S = g (Q)
SK 
SK
P0
 f (Q)dQ  ( P xQ )
0
0
0
M
SP  OP0 MQ0  OBMQ0
SP
SP
Q0
D = f (Q)
SP  ( P0 xQ0 )   g (Q)dQ
B
0
Q0
Q0
Q
0
SURPLUS KONSUMEN &
SURPLUS PRODUSEN : f (P)
P
SK  P0 AM
A
A
SK 
S = g (P)
SK

f ( P ) dP
P0
P0
M
SP
SP
SP  P0 BM
D = f (P)
B
0
Q0
Q
SP 
P0
 g ( P)dP
B
CONTOH SOAL
1.
2.
3.
4.
Fungsi permintaan Q = 90 - 2P. Hitung surplus
konsumen ketika Q = 25
Fungsi penawaran P = Q2 + 3. Hitung surplus
produsen ketika P = 12
Fungsi permintaan P = 25 – Q2 dan penawaran P = 2Q
+ 1. Hitung surplus konsumen dan surplus produsen
saat terjadi market equilibrium !
Fungsi permintaan Q = 15 – P dan penawaran Q =
0,25P2 - 9. Hitung surplus konsumen dan surplus
produsen saat terjadi keseimbangan pasar !
LATIHAN SOAL
Hitung SK dan SP ketika terjadi ME
• Fungsi permintaan P = 58 – 0,5Q dan
penawaran P = 0,5Q2 + Q + 4.
• Fungsi permintaan Q = 128 – 2P dan
penawaran Q = 0,5P2 – 2,5P - 25.
• Fungsi permintaan Q = – 0,5P + 530 dan
penawaran P = 0,5Q2 + 10Q + 250.