Transcript PERTEMUAN 2 BARISAN DARI BILANGAN-BILANGAN REAL Sasaran Pengkajian yang lebih mendalam tentang barisan dari bilangan – bilangan real. Pokok Bahasan Barisan dari bilangan – bilangan real. Konvergensi.

PERTEMUAN 2
BARISAN DARI
BILANGAN-BILANGAN REAL
Sasaran
Pengkajian yang lebih mendalam tentang barisan dari
bilangan – bilangan real.
Pokok Bahasan
Barisan dari bilangan – bilangan real.
Konvergensi dari barisan.
Definisi-definisi
 Barisan dari bilangan – bilangan real adalah fungsi berharga real yang
domainnya adalah himpunan dari semua bilangan alam.
 Barisan {an} disebut konvergen ke bilangan a bila untuk setiap bilangan
positif  terdapat bilangan alam N sedemikian sehingga
| an – a | <  untuk semua n  N.
Bila barisan {an} konvergen ke bilangan a , bilangan a disebut limit dari
barisan {an}, dan ditulis
lim an  a
n
Proposisi-proposisi
 Barisan {1/n} konvergen ke 0 , yaitu
1
lim  0
n  n
 Limit dari barisan yang konvergen adalah tunggal.
Contoh
Barisan { ( -1 )n } tidak konvergen.
Proposisi
 Untuk setiap bilangan c dengan |c|<1,
barisan { c n } konvergen ke 0, yaitu :
Lim c n  0
n
Definisi
Barisan { an } disebut terbatas bila terdapat bilangan positif M
sedemikian sehingga
|an|  M untuk setiap bilangan alam n.
Lemma-lemma
 Setiap barisan yang konvergen adalah terbatas.
 Misalkan barisan { bn } konvergen ke bilangan b0.
Maka terdapat bilangan alam N sedemikian sehingga
|bn| >
b
2
untuk semua n  N .
Teorema
(Jumlah, Selisih, Hasil Kali dan Hasil Bagi dari Barisan – Barisan)
Misalkan barisan { an } konvergen ke bilangan a, dan barisan {bn}
konvergen ke bilangan b. Maka :
i.Barisan {an + bn} konvergen dan Lim( an  bn )  a  ;b
n 
ii.Barisan {an - bn} konvergen dan
Lim(an  bn )  a ; b
iii.Barisan { an bn } konvergen dan
Lim( an bn )  ab
n 
n 
;
iv.Bila bn0 untuk setiap n dan b0, maka barisan {an / bn} konvergen
dan
Lim( an bn )  a b
n
Lemma
 Misalkan barisan {dn} konvergen ke bilangan d
dan dn  0 untuk semua bilangan alam n.
Maka d  0.
Teorema-teorema
 Misalkan barisan {an} konvergen ke bilangan a, barisan {bn}
konvergen ke bilangan b dan barisan {cn} konvergen ke bilangan
c. Bila an  cn  bn untuk setiap n , maka a  c  b.
 (Prinsip Tekan Kiri – Kanan)
Misalkan {an}, {bn}, dan {cn} adalah barisan – barisan dengan
an  cn  bn untuk setiap n.
 Bila {an} dan {bn} konvergen ke limit yang sama l, maka {cn} juga
konvergen ke l.