Transcript Chapitre3_Matériaux

Matériaux.
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René Motro
Université Montpellier II
Stabilité des ouvrages/ Matériaux. René Motro. 2005
Introduction
• Galilée : traction sur des fils métalliques
• Hooke : élasticité linéaire
• Young : module de déformation longitudinale « E »
• Poisson module transversal « n »
• Cauchy contraintes « s » et déformations relatives
«e»
n normale à dS au point P
dF effort supporté par dS au point P
dS
Figure 1
dF
s  composante sur n de
dS
dF
  composante sur le plan de
dS
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1 Caractérisation des matériaux
• Cas d’un essai de
traction:
– déplacement
– déformation absolue
Dl
– déformation relative
e = Dl/lo
DEFORMATION
(lo distance initiale entre A et B)
• Valeurs acceptables
– 3,5 pour mille (béton)
– 10 pour mille (acier pour
béton armé)
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Figure 2
1 Caractérisation des matériaux 1.1 Définitions 1.1.1Composition
– Matériaux homogènes : même
composition en tous points. Problème
d’échelle et de modélisation (voir le
béton)
– Matériaux hétérogènes : plusieurs
composants différents (béton + acier pour
le béton armé)
– Matériaux composites : matrice + renfort
(ferro ciment = pâte de ciment +
paillettes d’acier)
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1 Caractérisation des matériaux 1.1 Définitions 1.1.1 Composition
• Matériaux composites
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Figure 3
1 Caractérisation des matériaux 1.1 Définitions 1.1.2 Propriétés mécaniques
• Caractéristiques des matériaux
Figure 4
– isotropie, anisotropie
– homogénéité, hétérogénéité
– ---Bois anisotrope
Textile orthotrope
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1 Caractérisation des matériaux 1.2 Lois de comportement
• Les essais
– sollicitations
simples (traction,
compression, cisaillement)
–
–
–
–
–
dureté
fatigue
fluage
relaxation
-------
Figure 5
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1 Caractérisation des matériaux 1.2 Lois de comportement 1.2.1 Essais unidirectionnels
LOI DE COMPORTEMENT
• Exemple de loi de
comportement
(acier doux)
Figure 6
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• OA comportement
élastique linéaire
• AE écoulement
plastique :
si on supprime
l’action au point B,
le retour se fait
selon BC
• OC est la
déformation
rémanente
1 Caractérisation des matériaux 1.2 Lois de comportement 1.2.2 Modélisation
• Loi de
comportement
expérimentale
• Modélisation
réglementaire
Figure 7
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1 Caractérisation des matériaux 1.2 Lois de comportement 1.2.3 Exemples
• Elasticité linéaire
LOI DE COMPORTEMENT
E module de déformation
longitudinale (module d’Young)
s = E. Dl/lo = E.e (loi de Hooke)
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Figure 8
1 Caractérisation des matériaux 1.2 Lois de comportement 1.2.3 Exemples
LOI DE COMPORTEMENT
• Elasticité
Figure 9
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• Linéarité
1 Caractérisation des matériaux 1.2 Lois de comportement 1.2.3 Exemples
s
s
e
e
Loi de comportement
s
s
e
Figure 10
Elasto plastique
Plastique parfait
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e
Parabole rectangle
1 Caractérisation des matériaux 1.3 Exploitation des essais
• Les valeurs caractéristiques sont
transformées en valeurs de calcul ou de
dimensionnement par des coefficients
de pondérations :
–
gm pour les matériaux, gF pour les actions
• La valeur de calcul est définie par
valeur de calcul 
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valeur caractéris tique
gm
1 Caractérisation des matériaux 1.3 Exploitation des essais
gm dépend de plusieurs facteurs :
 État limite considéré (ELS,ELU)
 Types d’actions appliquées
 Sollicitations
 Pour l’acier de béton armé par
exemple
s sd 
fe
gs
 Pour le béton la contrainte de calcul
0,85.fc 28
est donnée par
f 
bu
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 .g b
2 Déformations relatives, contraintes et efforts associés MOMENT RESISTANT
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2 Déformations relatives, contraintes et efforts associés MOMENT RESISTANT
• L’objectif est de déterminer la « résistance d’une
section » (en flexion on cherche le moment fléchissant
correspondant à cette résistance)
• La démarche à respecter est la suivante :
– Diagramme des déformations relatives dans la section (hypothèse
de Navier Bernouilli)
– Diagramme des contraintes dans la section (combinaison des
déformations et de la loi de comportement)
– Détermination de l’effort de compression : intensité (volume du
diagramme des contraintes), position (support passe par le centre
de gravité du diagramme des contraintes)
– Calcul du moment équilibré (moment du couple compression
traction)
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2 Déformations relatives, contraintes et efforts associés
2.1 Déformations relatives longitudinales
z’
h
z’
G
e  c1.z'c 2
(Hypothèse de planéité des
sections – Navier Bernoulli)
Figure 11
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e
2 Déformations relatives, contraintes et efforts associés
2.1 Déformations relatives longitudinales
z’
z’
z’
e
e  c2
Compression
ou
Traction simples
e
e  c1.z'
Flexion simple
Figure 12
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e
e  c1.z'c 2
Flexion composée
2 Déformations relatives, contraintes et efforts associés
2.2 Répartition des contraintes normales
* rappel de mathématiq ues
y  f1( x )
alors
et
x  f2 ( t )
y  f1( f2 ( t ))  f3 ( t )
* dans notre cas
s  f1(e ) et
e  f2 ( z' )
alors
s  f1( f2 ( z' ))  f3 ( z' )
s  f3 ( z' ) est la fonction donnant la contra int e
pour la fibre de côte z' (diagramme des contra int es)
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2 Déformations relatives, contraintes et efforts associés
2.3 Effort normal associé aux contraintes
• On peut calculer l’effort normal
associé aux contraintes de
compression
z’
Gc

Fc
Figure 13
•Direction perpendiculaire à la section
•Sens de la compression
•Intensité : volume du diagramme des
contraintes (pour les sections de
largeur constante « b » : b x surface
du diagramme des contraintes )
s •Support : la force passe par le centre
de gravité du diagramme des
contraintes (pour les sections de
largeur constante, il faut déterminer le
cdg du diagramme des contraintes)
Rappel : utiliser les moments statiques pour calculer la position du cdg
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2 Déformations relatives, contraintes et efforts associés
2.4 Effort normal associé aux contraintes
b
z’
z’
dz’
dz’
z’
z’
s
G
Figure 14
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G
y’
2 Déformations relatives, contraintes et efforts associés
2.5 Effort
2.4
Exemples
normal associé aux contraintes
dF  s(z' ).dA
z’
dA  b.dz'
z ' max imum
G
F
dz’
z’
s
 dF
z ' fibreneutre
dans le cas de la flexion simple
G est sur la fibre neutre
Si Gc est le centre de gravité du diagramme des contraintes, on peut calculer
sa côte z’, avec les moments statiques (pris par exemple par rapport à Gs’)
z 'Gc
 aire du diagramme 
z 'Gc




z ' fibre supérieure
z ' fibre neutre

z's(z' )  dz' 
z ' fibre neutre

aire du diagramme

z ' fibre supérieure
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z'dS
2 Déformations relatives, contraintes et efforts associés
2.5 Exemples
Exemple 1
Cas d’une section rectangulaire en flexion simple.
b = 20 cm, h = 42 cm
Loi de comportement linéaire E = 40 000 MPa
Déformation relative maximale e =0,5x10-3
Exemple 2
Cas d’une section rectangulaire en flexion simple.
b = 20 cm, h = 40 cm
Loi de comportement élasto plastique
E = 200 000 MPa, fe = 400 MPa
Déformation relative maximale e =4x10-3
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3 Calcul élastique, calcul plastique
3.1 Introduction
Exemple du cas de l’acier
s
e
Elasto plastique
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3 Calcul élastique, calcul plastique
3.2 Modules de flexion 3.2.1 Module de flexion élastique Wel
z’
z’
Y’
h
s
G
M.z'
s ( z' ) 
IGY '
z
'
max
Module de flexion élastique Wel :
IGY '
Wel 
h
2
h

2
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Moment élastique Mel :
Mel  Wel  fy
fy lim ite élastique de l' acier
Figure 15
3 Calcul élastique, calcul plastique
3.2 Modules de flexion 3.2.2 Module de flexion plastique Wpl
z’
fy
G
Fcompression
c
G
Gt
s
Ftraction
fy
La section est totalement plastifiée : on parle de rotule plastique
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3 Calcul élastique, calcul plastique
3.2 Modules de flexion 3.2.2 Module de flexion plastique Wpl
z’
F
F
GG c 
s
A aire totale de la section
Recherche du centre de
gravité Gc de la partie
comprimée.
Utilisation des moments
statiques
Moment statique S de la partie sup érieure / axe neutre
Aire de la partie sup érieure
S
GG c 
 2S / A
A
2
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3 Calcul élastique, calcul plastique
3.2 Modules de flexion 3.2.2 Module de flexion plastique Wpl
A
Fcompression  fy 
2
Moment plastique Mpl :
Mpl  Fcompression Gc Gt Fcompression 2  GG c
A
Mpl  fy   2  2S / A
2
Mpl  fy  2S  fy  Wpl
Module plastique
Wpl  2.S
S moment statique de la
demie partie sup érieure
par rapport à l' axe neutre
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