Transcript 第六章 製程能力分析
第六章 製程能力分析
• 6.1 簡介
• 6.2 自然公差界限與規格界限
• 6.3 利用直方圖或機率圖來做製程能力分
析
• 6.4 製程能力指標
• 6.5 量具和量測能力研究
• 6.6 組件裝配之問題
• 6.7 MINITAB 範例
6.1 簡介
• 製程能力分析（Process Capability Analysis）
泛指在產品週期中，以統計技術來協助產
品的設計開發與製造活動，將製程變異量
化、分析與產品規格相比的製程變異，進
而消除或降低這些變異。
• 用於製程能力分析的統計技術包含
–
–
–
–
直方圖（Histograms）或
機率圖（Probability Plots），
管制圖（Control Charts）與
實驗設計（Experimental Design）。
• 製程能力（Process Capability）泛指製
程的均一性（Uniformity），當製程在統
計管制狀態下所呈現的能力。
• 一般我們所討論製程的變異可分為兩方
面：
– 在特定時間製程的關鍵品質特性的自然變異
（Natural Variability）或固有變異（Inherent
Variability），又稱為瞬時變異（Instantaneous
Variability）。
– 在製造過程期間製程的關鍵品質特性的變異。
6.2 自然公差界限與規格界限
6.2.1 自然公差界限
定義6.2.1
上自然公差界限 UNTL 3
下自然公差界限 LNTL 3
其中， 為製程平均數， 為製程標準差。
0.9973
0.00135
LNTL=
-3
3
0.00135
3
UNTL=
+3
在常態分配上自然公差界限與下自然公差
界限
6.2.2 規格界限
• 規格（Specification）是過程（Process），產品（Product），零
件（Component）與零組件（Subassemblies）的品質特性的要求
值。
• 上規格界限USL（Upper Specification Limit）
– 過程或產品的品質特性的最大允許值。
• 下規格界限LSL（Lower Specification Limit）
– 過程或產品的品質特性的最小允許值。
• 目標值（Target Value）
– 與過程或產品的品質特性一致的量測值，或稱為品質特性的
名目值（Nomonal）。
6.2.3 自然公差與規格供差的關係
• 自然公差（Natural Tolerance）6 UNTL LNTL
– 上自然公差界限減下自然公差界
限
。
– 自然公差為製程在穩定狀態下，製程品質特性的分
配的6倍標準差。
• 規格公差（Specification Tolerance）
– 上規格界限減下規格界限 USL-LSL
• 自然公差與規格公差有三種關係
• 自然公差小於規格公差( 6 < USL-LSL)
LSL
LNTL=
3
-3
3
USL
UNTL= +3
• 自然公差等於規格公差( 6 = USL-LSL)
LSL
LNTL=
3
-3
3
USL
UNTL=
+3
• 自然公差大於規格公差( 6 > USL-LSL)
LSL
LNTL= -3
3
3
USL
UNTL= +3
6.3 利用直方圖或機率圖
來做製程能力分析
6.3.1 直方圖
【例題6.1】
表6.1為某電腦公司所生產筆記型電腦的重量資料，樣本數為=100，
試製作出其次數直方圖，並說明直方圖如何用於估計製程能力。
表6.1 筆記型電腦的重量資料
2.352
2.374
2.381
2.387
2.393
2.398
2.404
2.411
2.419
2.431
2.356
2.375
2.382
2.388
2.394
2.399
2.404
2.411
2.420
2.432
2.360
2.376
2.383
2.388
2.394
2.399
2.404
2.412
2.421
2.433
2.363
2.377
2.383
2.389
2.395
2.399
2.405
2.413
2.423
2.435
2.364
2.377
2.383
2.390
2.395
2.400
2.406
2.414
2.424
2.436
2.367
2.378
2.384
2.390
2.396
2.400
2.407
2.415
2.425
2.437
2.368
2.378
2.385
2.391
2.397
2.401
2.408
2.415
2.426
2.438
2.370
2.379
2.386
2.392
2.397
2.402
2.408
2.416
2.426
2.440
2.372
2.380
2.386
2.392
2.397
2.403
2.409
2.416
2.428
2.443
2.373
2.381
2.386
2.392
2.398
2.403
2.410
2.418
2.429
2.447
【解】
我們先計算以上資料的樣本平均數與樣本標準差：
n
n
x
x
x 1
i
2.39937
s
n
故其製程能力可簡略估計為
xi x
i 1
2
n 1
0.0212
x 3s 2.39937 3 0.0212 2.39937 0.0636 2.38,2.42
在繪製直方圖時，我們首先將資料由小到大排序，最大
值減最小值稱為全距R，所以全距R為R=2.449-2.352=0.097，
再將資料範圍分為幾個區間，在這裡我們分為11個區間，
則區間的寬度為
R 0.097 0.00882 0.01
11
11
，再計算每個區間的觀察值個數，每個區間的觀察值個數
稱為次數（Frequency），若將次數除以總觀察次數n稱為
相對次數。
表6.2 筆記型電腦重量的次數表
區間
2.345-2.355
2.355-2.365
2.365-2.375
2.375-2.385
2.385-2.395
2.395-2.405
2.405-2.415
2.415-2.425
2.425-2.435
2.435-2.445
2.445-2.455
總和
次數
1
4
6
15
17
20
12
10
8
6
1
100
相對次數
0.01
0.04
0.06
0.15
0.17
0.20
0.12
0.10
0.08
0.06
0.01
1.00
累積相對次數
0.01
0.05
0.11
0.26
0.43
0.63
0.75
0.85
0.93
0.99
1.00
20
次 數
15
10
5
0
2.36
2.38
2.40
筆記型電腦重量
圖6.4 直方圖
2.42
2.44
6.3.2 機率圖
• 優點
– 可用來評估資料是否服從所給定的分配，若樣本點
的散佈近似一條直線，則此資料的分配服從常態分
配，若樣本點的散佈不是近似一條直線，則資料的
分配不是服從常態分配。
– 可以用來估計分配的平均數與標準差，因此可估計
製程良率與製程不良率。
– 機率圖只要中樣本數就可產生很合理的結果。
【例題6. 2】
利用例題6.1的資料繪出常態機率圖，檢定其資料是否服從
常態分配，並利用常態機率圖估計製程平均數μ與製程標
準差σ。
【解】
首先將筆記型電腦重量的資料由小到大排序，並計算其
相對的樣本累積分配 j 0.5 100 如下表6.3。
表6.3 x
j
j-0.5 100
( j)
1
2
3
4
…
99
100
2.352
2.356
2.360
2.363
…
2.443
2.447
0.005
0.015
0.025
0.035
…
0.985
0.995
將 x( j ) 與 j 0.5 100
成對的值繪製在常態機率紙
上，所繪製的常態機率圖如圖6.5。
常態機率圖
99.9
Mean
2.399
StDev
0.02120
N
100
AD
0.265
P-Value
0.688
99
95
累積百分比
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
0.1
2.350
2.375
2.400
2.425
筆記型電腦重量
2.450
2.475
圖6.5為Mnitab套裝軟體所繪製的筆記型電腦重量
資料的常態機率圖，圖6-5 筆記型電腦重量的常態機率
圖所繪出的樣本點的散佈近似一條直線，故我們可以
說筆記型電腦的重量服從常態分配。從圖6.5的常態機
率圖，我們亦可以估計製程平均數μ與製程標準差σ，
常態分配的平均數μ為第50分位數，因此從圖6.5我們
ˆ 2.4
可以得到製程平均數μ的估計值為
，常態分配的
標準差σ為第84分位數與第50分位數的差，因此從圖
6.5我們亦可得到製程標準差σ的估計值為
ˆ 第84分位數-第50分位數=2.421-2.4=0.021
，這些估計值與例題6.1所計算出的樣本平均數 x 2.39937
與樣本標準差 s 0.0212
相當接近。
6.4 製程能力指標
• 製程能力是將在穩定或統計製程管制狀
態下的製程輸出與規格界限相比較，以
說明製程能力有多好。
• 製程能力指標是將穩定製程的自然公差
（6倍標準差）與製程規格公差（USLLSL）相比較，以決定製程是否有能力。
• 製程能力指標只適用於計量的資料上。
C
6.4.1 製程能力指標 a
定義6.4.1
當製程平均值μ為已知時，
Ca
m
(USL LSL) / 2
100%
當製程平均值μ未知時，且製程能力分析是以 x R或 x S
k
管制圖之資料進行分析時，則以 x
此時Ca的估計值為
Cˆ a
n
其中 xi
x
j 1
n
ij
x 來估計製程平均值，
i 1
i
k
x m
100%
(USL LSL) / 2
為第i組樣本的樣本平均數，k 為樣本組組數
等級
Ca 值
處置原則
A
Ca 6.25%
製程為穩定狀態，
繼續保持。
B
C
D
E
6.25% Ca 12.5%
檢查人員或機具狀
態，改善並調整製
程方式，可改進至
A級。
12.5% Ca 25.0%
加強員工訓練、檢
討產品規格及作業
標準，找出原因並
改善。
25.0% Ca 50.0%
全面檢討產品規格
設計及製程，必要
時停止生產，避免
生產出大量不良品。
停止生產。
50.0% Ca
【例題6.3】
某活塞環的規格為 12 0.15 mm，
四月生產製程狀況為 x 3ˆ 11.990 0.14 mm；
五月生產製程狀況為 x 3ˆ 11.971 0.12 mm；
Ca
六月生產製程狀況為 x 3ˆ 12.005 0.11 mm，求此三
個月的 值。
【解】
USL=12+0.15=12.15；LSL=12-0.15=11.85； (USLLSL)/2=0.15 Ca x四月 m 100% 11.990 12 100% 6.667%
(USL LSL) / 2
0.15
四月份的值：
Ca
(B級)
五月份的值： Ca
x五月 m
100% 11.971 12 100% 19.333%
(USL LSL) / 2
0.15
x六月 m
100% 12.005 12 100% 3.333%
(USL LSL) / 2
0.15
6.4.2 製程能力指標 C p
定義6.4.2
當製程平均值 與製程標準差 已知時，
Cp
USL LSL
6
(雙邊規格)
USL
C pu
(僅有上規格)
3
C pl
LSL
或(僅有下規格)
3
當製程平均值μ與製程標準差σ未知時，且製程能力分析是
以 X 管制圖之資料進行分析時，C
R
p的估計值為
USL LSL
ˆ
Cp
R
6
d2
USL x
Cˆ pu
R
3
d2
其中 d 2
E ( R)
(雙邊規格)
或
x LSL
Cˆ pl
R
3
d2
(單邊規格)
是樣本數n的函數，可由表？查得。
若製程能力分析是以 X S 管制圖之資料進行分析時，此時
Cp的估計值為
USL LSL
ˆ
Cp
s
6
c4
(雙邊規格)
ˆ x LSL
USL
x
C
ˆ
pl
或
C pu
s
s
3
3
c4
c4
其中 c4
E (S )
n
2
2
n 1 n 1
2
的函數，可由表？查得。
(單邊規格)
n
1!
2
2
是樣本數n
n 1 n 1
1!
2
• USL及LSL之設定與不良率有以下關係：
規格界線
在規格界限內的百分比
不良率(每百萬個)
±1σ
30.23
697700
±2σ
69.13
608700
±3σ
93.32
66810
±4σ
99.379
6210
±5σ
99.9767
233
±6σ
99.99966
3.4
等級
A
B
C
D
E
Cp 值
1.67 C p
1.33 C p 1.67
1.00 C p 1.33
0.67 C p 1.00
C p 0.67
處置原則
製程非常穩定，繼續
保持。
製程穩定，可縮小規
格公差，可以改進至
A級，以生產更高級
的產品。
尚可，但需立即改進，
並不要使品質惡化。
製程能力不足，需檢
討規格設計及作業標
準並採取緊急措施，
必要時停止生產。
實施產品全檢，並停
止生產。
• Cp值之倒數為另一個衡量製程能力的指
標，稱為製程能力比率(Process
Capability Ratio)，其可解釋公差被製程
所佔用的百分比。定義如下：
1
6
Cr
C p USL LSL
一般而言，標準的製程能力比率是0.75，
越小越好。
【例題6.4】
x 3ˆ 172 6.0
某零食重量規格為 170 7.7 g，一月份生產實際狀況為
g；二月份生產實際狀況為 x ˆ 169 7.0 g；三月份生
產實際狀況為
x ˆ 172 8.0 g，求此三個月的 C p 值與 C r 值。
【解】
上規格界限USL=170+7.7=177.7
下規格界限LSL=170-7.7=162.3
一月份的值：
C p USL LSL 177.7 162.3 1.283
6ˆ
(B
6 6.0
3
級)
Cr 1 1 0.779
C p 1.283
二月份的值：
C p USL LSL 177.7 162.3 1.100
6ˆ
6 7.0
3
(B級)
Cr 1 1 0.909
C p 1.100
三月份的值：
C p USL LSL 177.7 162.3 0.9625
6ˆ
6 8.0
3
Cr 1 1 1.039
C p 0.9625
(D級)
6.4.3 製程能力指標 C pk
定義6.4.3
當製程平均值μ與製程標準差σ已知時，
C pk min(C pl , C pu ) min(
LSL USL
,
) C p (1 k ) C p (1 Ca )，
3
3
2 m
其中 k USL LSL Ca 可用來製程平均值偏離規格中心所
造成製程的潛在能力損失大小的衡量，
0k
， C pk C p
當製程平均值μ與製程標準差σ未知，且製程能力分析是
以 X R 管制圖之資料進行分析時，則以ˆ R 來估計製程
d2
標準差，若製程能力分析是以 X S 管制圖之資料進行分
k
x
i
s
i
1
析時，則以 ˆ 來估計製程標準差，以 ˆ x
來估計
k
c4
製程平均值，此時 C pk 之估計值為
ˆ
Cˆ pk min Cˆ pl ,Cˆ pu Cˆ p 1 kˆ Cˆ p 1 Ca
0 kˆ ， Cˆ pk Cˆ p
6
6
2
2
=m=46
LSL=40
USL=52
m=46
LSL=40
C p 1.00
C p 1.00
C pk 1.00
C pk 0.67
圖 6-9(a)
圖 6-9(b)
6
6
2
LSL= =40
USL=52
=48
2
m=46
C p 1.00
C pk 0.00
圖 6-9(c)
USL=52
=36
LSL=40
m =46
C p 1.00
C pk 0.67
圖 6-9(d)
USL=52
等級
A++
A+
A
Cpk值
2.00 C pk
1.67 C pk 2.00
1.33 C pk 1.67
1.00 C pk 1.33
B
0.67 C pk 1.00
C
C pk 0.67
D
處置原則
製程能力非常好，可
考慮縮小規格以獲得
顧客之信賴及高品質
的形象或可因此改變
其他生產方式以降低
成本。
繼續保持。
需進行品質改善以降
低變異，可提升至A+
級。
檢討製程管理並改善，
提高品質，必要時停
止生產。
利用全檢或資料分析
等方法找出問題並徹
底解決，必要時停止
生產。
實施產品全檢，執行
製程改善，並停止生
產，以免生產出大量
的不良品。
【例題6.5】
300 3 g，若實際從產品中
某飲料公司，其飲料填裝規格為
抽出10個資料如下，求其製程能力指標 C a 、 C p 、 C r 及C pk 值。
樣
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
本
重 300. 301. 301. 300. 300. 298. 299. 300. 301. 301.
量
5
6
6
2
0
9
0
0
2
0
【解】
上規格界限USL=300+3=303
下規格界限LSL=300-3=297
規格中心
m USL LSL 303 299 300
2
2
樣本標準差σ的估計值為
(300.5 300.4) 2 (301.6 300.4) 2 (301.6 300.4) 2 (301.0 300.4) 2
ˆ s
9
8.46
0.94 0.9695
9
Ca
x m
300.4 300
100%
100% 13.333%
(USL LSL) / 2
(303 297) / 2
(C級)
C p USL LSL 303 297 1.0315
6ˆ
6 0.9695
6ˆ
6 0.9695 0.9695
(C級)
USL LSL 303 297
Cr
C pk min{C pl , C pu } C p (1 k )
2 m x
2 300 300.4
C p (1
) 1.0315(1
) 0.8939
USL LSL
303 297
6.4.4 製程能力指標 C pm
• 圖6.10 製程能力指標 Cpk 1 的兩個製程
B =49
B =1
A =46
A
B
=2
A
LSL=40
T=46
USL=52
定義6.4.4
當製程平均值μ與製程標準差σ已知時，
C pm
USL LSL
6
USL LSL
6 2 ( T ) 2
E X T E X T
，其中
2
2
2
2
2
2 E X T E X T
2
2
2
E X T 2 X T 2 T
當製程平均值μ與製程標準差σ未知時，且製程能力分
析是以 X R 管制圖之資料進行分析時，則以 ˆ R 估計
d2
製程標準差σ，若製程能力分析是以 X S管制圖之資料
ˆ s 來估計製程標準差σ，以
進行分析時，則以
k
ˆ x
x
i 1
k
c4
i
來估計製程平均值μ，此時 C pm之估計值為
USL LSL
Cˆ pm
6 (
R 2
) (x T )2
d2
或
Cˆ pm
USL LSL
s
6 ( )2 ( x T )2
c4
【例題6.6】
承以上例題6.5，若目標值T為300.5g，求製程能力指標 C pm
值為何？
【解】
製程能力指標
Cˆ pm
USL LSL
6 ˆ 2 ˆ T
2
USL LSL
6 s 2 ( x T )2
303 297
6
1.0260
2
2
6 0.9499
6 0.9695 (300.4 300.5)
【例題6.7】
試計算出圖6.10所考慮的二個製程A與B的製程能力指標 C pm
值？
【解】
製程A
製程B
C pm
C pm
USL LSL
6 T
2
2
USL LSL
6 2 T
2
52 40 12 1
6 22 0 12
52 40 0.63
6 12 32
製程A比製程B較能生產出符合規格與目標值的產品。
6.4.5 製程能力指標 C pkm
(USL ) ( LSL)
• 當製程平均值偏離目標值T，亦即
時，
C pm
C pkm
使用新的製程能力指標
會比製程能力指標指標
來的敏感。
定義6.4.5
當製程平均值μ與製程標準差σ已知時，
C pkm
USL
LSL
min
,
3 2 ( T )2 3 2 ( T )2
C pk
1
1 p2
2m
T
其中 k USL LSL ， p
1
C p (1 k )
2
1
p
當製程平均值μ與製程標準差σ未知時，且製程能力分
析是以 X R 管制圖之資料進行分析時，則以 ˆ R 來
d2
估計製程標準差σ，若製程能力分析是以 X S管制圖
之資料進行分析，則以
ˆ s 來估計製程標準差σ，
k
以 ˆ x
為
Cˆ pkm
x
i 1
k
i
c4
來估計製程平均值μ，此時 C pkm之估計值
USL x
x LSL
min
,
R )2 ( x T )2 3 ( R )2 ( x T )2
3
(
d2
d2
或
Cˆ pkm
USL x
x LSL
min
,
3 ( s )2 ( x T )2 3 ( s )2 ( x T )2
c4
c4
• 由定義可以看出當m和μ的距離越大，則製程能力指標
C pkm
值會越小；另外若製程平均值μ和製程目標值T的距離
越
大，則製程能力指標值
也會越小，故程能力指標
C pkm
C pkm
同時受到規格中心m和目標值T的影響，對於製程的表
現程度也較高。
6.4.6
C pw
指標
• 當製程穩定且產品品質特性數據資料符合常態分配或
近似常態分配時可用來代表以上製程能力指標的通式，
為Ford A. Spiring於1997年整理而得。
定義6.4.6
當製程平均值μ與製程標準差σ已知時，
C pw
USL LSL
6 2 w( T ) 2
與其他的指標關係式如下：
(1)當 w 0 時，則 C pw C p
(2)當 w 1 時，則 C pw C pm
k (2 k )
(3)當 w
, 0 k，則 C pw C pk
2 2
(1 k ) p
2
2
1
p
(1
k
)
(4)當 w
,0 k ，則 C pw C pmk
2 2
(1 k ) p
其中
2m
T ，
k
p
USL LSL
當製程平均值μ與製程標準差σ未知時，且製程能力
分析是以 X R 管制圖之資料進行分析時，則以 ˆ R 估
d2
計製程標準差σ，
若製程能力分析是以 X S 管制圖之資料進行分析，則以
k
ˆ s 來估計製程標準差σ，以 ˆ x
c4
平均值μ，此時 C pw之估計值為
或
Cˆ pw
USL LSL
6 ( R ) 2 w( x T ) 2
d2
Cˆ pw
USL LSL
s 2
6 ( ) w( x T ) 2
c4
x
i 1
k
i
來估計製程
6.4.7 非常態分配的製程能力
指標
• 製程能力指標
Cp (q)
– Clements ，1989年
– 定義：
C p (q)
USL LSL
0.99865 0.00135
其中 0.00135與 0.99865 分別代表第0.135百分位數與
第99.865百分位數。
• 製程能力指標 C pc
– Luce n~o ，1996年
USL LSL
– 定義：
C pc
6
2
E X T
USL LSL
T
E X T 通常
其中
為製程的目標值，
2
未知，我們可以用 c 值來估計
1 n
c xi T
n i 1
6.5
量具和量測能力研究
2
N , Product
2
N , Gauge
• 假設隨機變數
，隨機變
Y N ,
數
，且X與ε相互獨立，
2
2
2
Total
Product
Gauge
因此隨機變數Y亦是常態分配，亦即
。
X
2
Product
2
Gauge
定義6.5.1
其中，
2
Total
2
為所觀察到的總變異、 Product 為產品本身的
2
變異、 Gauge 為量具上的變異。
【例題6.8】
某公司利用量測儀器量測其生產的20個產品的重量，由
同一個操作員使用相同的量測儀器量測每件產品二次所得
資料如表6.8所示，試繪製
管制圖與R管制圖，並對X 管制圖與R管制圖在量測能
X
Gauge 。
力分析方面作解釋，最後估計量測誤差的標準差
【解】
圖6.11顯示這些資料的 X 管制圖與R管制圖， X 管制圖，
在量測能力分析方面 X 管制圖用來解釋量測儀器或量具的
區別能力，若 X 管制圖顯示在失控狀態，則表示產品間有
差異，R管制圖顯示量測誤差的大小或量具的能力，若R
管制圖顯示在失控狀態，則表示操作員在使用量測儀器上
有困難或不熟練，若R管制圖顯示在管制狀態，則表示操
作員可以很熟練使用量測儀器。
ˆ Gauge R 1.1 0.975
d 2 1.128
量測誤差的標準差 Gauge 的估計值
為
。
其中 d2 可從附表8中查到n=2的 d2 =1.128 。
UCL=52.344
Sample M ean
52
51
_
_
X=50.25
50
49
LCL=48.156
48
1
3
5
7
9
11
Sample
13
15
17
19
4
Sample R ange
UCL=3.637
3
2
1
_
R=1.113
0
LCL=0
1
3
5
7
9
11
Sample
13
15
17
19
圖6.11 例子6.8量測能力分析的X 管制圖與R管制圖
• 一般實務應用而言，我們會利用規格寬
度或是允差範圍來估計量具能力。
• 測誤差通常是近似常態分配，因此 6 Gauge
是量具能力的一個好的估計，6 Gauge 和允
差範圍的比值稱為精確-允差比率或是P/T
比率。
• 若P/T比率小於或等於0.1，則可以稱此量
具有足夠的量測能力。
定義6.5.2
P/T比率：
P 6ˆ Gauge
T USL LSL
• 重複性(Repeatability)
– 在短時間內，由同一個操作員使用相同的量測程序，
在相同的位置，使用相同的量測儀器或量具重複量測
同一件產品、零件或項目所得到量測變異 。
– 重複性是反應量測儀器或量具本身固有的精密度。
• 再現性(Reproducibility)
– 由不同的操作員（或不同的環境，或不同的時間，或
不同的條件）使用相同的量測儀器或量具量測相同的
產品、零件或項目多次所得之變異。
定義6.5.3
2
2
2
2
Measurement
Error
Gauge
Repeatability
Reproducibility
參考值
準
確
度
機
率
密
度
值
精密度
圖6.14 量具的準確度與精密度
【例題6.9】
表6.9為某公司抽檢20個產品，在三個不同的操作員使用
相同的量具量測相同的產品的兩次量測值，若產品的上規
格界限（USL）為100，下規格界限（LSL）為10，試求
出其量具重複性的標準差 Reproducibility、量具再現性的標準 Gauge
差 Repeatability 、量具誤差的標準差
及P/T比率。
【解】
R
R1 R2 R3 1.1 0.95 0.75 2.8
0.9333
3
3
3
因此量具重複性標準差的估計值為
ˆ Repeatability R 0.9333 0.8274
d2
1.128
xmax maxx1 , x2 , x3 50.25
xmin minx1 , x2 , x3 49.825
Rx xmax xmin 0.425
因此量具再現性標準差的估計值為
ˆ Reproducibility
Rx 0.425
0.251
d2 1.693
量具誤差的變異數的估計值為
2
2
2
ˆ Reproducibility
(0.8274)2 (0.251) 2
ˆ Repeatability
ˆGauge
0.6846 0.0630 0.7476
所以量具誤差的標準差的估計值為
ˆGauge 0.7476 0.8646
因此量具的P/T比率為
6ˆ Gauge
6(0.8646) 5.1876
P /T
0.0576
USL LSL 100 10
90
6.6
組件裝配之問題
6.6.1 組件的分配
• 若組件是由兩個或兩個以上的零件所組成
的(如下圖)，且成線性組合。
【例題6.10】
若有一組件規格為 10.55 0.15 cm，由以下5個零件線性連
接組成，其零件尺寸假設為獨立常態分配，其分配如下，
則組件符合規格的機率為何？
X 1 ~ N (1.0, 0.02 2 )
X 2 ~ N (1.5, 0.032 )
X 3 ~ N (2.6, 0.032 )
X 4 ~ N (3.0, 0.02 2 )
X 5 ~ N (2.4, 0.04 2 )
X1
X2
X3
Y
X4
X5
【解】
組件為常態分配，其平均長度 Y 1.0 1.5 2.6 3.0 2.4 10.5
2
2
2
2
2
2
0
.
02
0
.
03
0
.
03
0
.
02
0
.
04
0.0042
cm，組件變異數 Y
cm2，所以組件標準差為 0.0042 0.0648 cm。
Y
故此組件符合規格的機率
P(10.4 Y 10.7) P(10.4 10.5 Y 10.5 10.7 10.5 )
0.0648
0.0648
0.0648
P(1.54 Z 3.086) P Z 3.086 - P Z -1.54 0.998 0.0618 0.9362
6.6.2 組件裝配發生干擾或搖晃的機
率
【例題6. 11】
設有一軸心與軸承的組件，其軸承的內徑為X1符合常
態分配N(20, 0.032)，軸心外徑為X2也符合常態分配
N(19.9, 0.052)，則發生干擾的機率為何？
【解】
發生干擾為軸承內徑小於軸心外徑
令Y=X1-X2
則Y為常態分配，其平均數為 Y 20 19.9 0.1
Y2 (0.03) 2 (0.05) 2 0.0009 0.0025 0.0034
Y的變異數為
Y 0.0583
Y的標準差為
所以發生干擾的機率為
P(Y 0) P(Y 0.1 0 0.1) ( 0 0.1) (1.7153) 0.0431
0.0583 0.0583
0.0583
所以約有4.31%的機率會發生軸心與軸承互相干擾的情況
產生。
若軸承內徑太大，軸心外徑太小，則會發生搖晃的現象。
若
Y X 1 X 2 0.19 時會發生搖晃現象，則發生搖晃的機
率為
P(Y 0.19) 1 P(Y 0.19) 1 P( Y 0.1 0.19 0.1)
0.0583
0.0583
1 ( 0.19 0.1) 1 (1.5437) 1 0.9386 0.0614
0.0583
故大約有6.14%的機率會發生搖晃的現象。所以發生干擾