Transcript ALJABAR VEKTOR & MATRIKS Sem 2 utk AMIK AL MUSLIM BKS

BAB 6. INTEGRASI VEKTOR
PENDAHULUAN
 Pada bab ini terdapat 4 sub-bab yg perlu diperhatikan
 Ke-4 sub-bab itu merupakan dasar dari Integrasi Vektor
 Empat sub-bab yg harus dipelajari meliputi :
1. Integral biasa vektor ⇨ integral tak-tentu dan tertentu
2. Integral Garis (Kurva) ⇨ integral suatu lintasan
3. Integral Permukaan ⇨ integral luas bidang datar
4. Integral Volume ⇨ integral isi bidang tertutup
6.1. INTEGRAL BIASA
Misalkan
R(u) = R1(u) i + R2(u) j + R3(u) k sebuah vektor yg bergantung pd
variabel skalar tunggal u, dimana R1(u), R2(u), R3(u) kontinue
dalam selang waktu yg ditentukan. Maka
∫ R(u) du = i ∫ R1(u) du + j ∫ R2(u) du + k ∫ R3(u) du
disebut integral tak-tentu dari dari R(u). Bila terdapat sebuah vektor
𝑑
S(u) sehingga R(u) = 𝑑𝑢
S(u), maka
𝑑
∫ R(u) du = ∫ 𝑑𝑢
S(u) du = S(u) + c
dimana c adalah vektor konstan sebarang yg tak bergantung pada u.
Integral tertentu antara limit-limit u = a dan u = b, dalam hal ini
dapat dituliskan :
𝑏
∫𝑎 𝐑(𝑢) du
=
𝑏
∫𝑎 .
𝑑
𝑑𝑢
S(u) du = S(u) + c |𝑎𝑏 = S(b) – S(a)
Bila A adalah gaya F pada sebuah partikel yg bergerak sepanjang C
maka integral garis ini menyatakan usaha yg dilakukan oleh gaya.
Jika C adalah kurva tertutup, yg mana dianggap sebagai kurva tertutup
sederhana, yaitu kurva yg tak memotong dirinya sendiri, maka integral
mengelilingi C sering ditunjukkan oleh :
𝑨 · 𝑑𝑟 = A1 dx + A2 dy + A3 dz

Pada umumnya setiap integral yg dihitung sepanjang kurva disebut
integral garis.
 TEOREMA
Bila A = 𝛁φpada semua titik dalam suatu daerah R dari ruang yg
didefinisikan oleh : a1⩽ x ⩽ a2 , b1⩽ y ⩽ b2 , c1⩽ z ⩽ c2 dimana
φ(x,y,z) berharga tunggal dan memiliki turunan2 yg kontinu dalam
R, maka
1.
.
𝑃2
∫𝑃 𝑨
1
· 𝑑𝑟 , tidak bergantung pada lintasan C dalam R yg meng
hubungkan P1 dan P2
6.2. INTEGRAL GARIS
Misalkan
r(u) = x(u) i + y(u) j + z(u) k
dimana r(u) adalah vektor posisi dari (x,y,z) mendefinisikan sebuah
kurva C yg menghubungkan titik2 P1 dan P2 , dimana u = u1 dan
u = u2 untuk masing2nya.
Anggaplah bahwa C tersusun dari sejumlah berhingga kurva2
dimana untuk masing2nya r(u) memiliki turunan yg kontinu. Bila
A(x,y,z) = A1 i + A2 j + A3 k sebuah fungsi vektor dari posisi yg
didefinisikan dan kontinu sepanjang C, maka integral dari
komponen tangensial A sepanjang C dari P1 ke P2 dituliskan :
𝑃2
∫𝑃 𝑨
1
· 𝑑𝑟 = ∫𝐶. 𝑨 · 𝑑𝑟 = ∫𝐶. A1 dx + A2 dy + A3 dz
yg merupakan contoh integral garis.
2.
.
∫𝐶
𝑨 · 𝑑𝑟 = 0 , mengelilingi setiap kurva tertutup dalam R.
Dalam hal demikian A disebut medan vektor konservatif dan φ
adalah potensial skalarnya.
 Sebuah medan vektor A adalah konservatif jika dan hanya jika
𝛁 x A = 0 atau juga ekivalen dengan A = 𝛁φ. Dalam hal ini,
A · dr = A1 dx + A2 dy + A3 dz = dφ, suatu diferensial eksak.
.
6.3. INTEGRAL PERMUKAAN
- Bila S sebuah permukaan bersisi-dua, misalkan sisi yg satu dari S di. pandang sebagai sisi positif, jika S adalah permukaan tertutup ini di. ambil sebagai sisi luar.
- Sebuah normal satuan n pada sebarang titik dari sisi positifnya S
disebut satuan normal positif dalam hal ini arahnya ke atas.
- Berkaitan dengan permukaan kecil dS dari permukaan S dapat dibayangkan adanya vektor dS yg besarnya sama dengan dS dan arahnya sama dengan n. Maka dS = ndS , sehingga diperoleh Integral
Permukaan(luas) :
.
.
.
.
.
𝐀
𝑆
· 𝐝𝐒 =
.
𝐀
𝑆
· 𝐧 dS
ini merupakan integral permukaan yg disebut fluks dari A terhadap S
Integral-integral permukaan (luas) lainnya



.
φ · dS
𝑆
.
φ 𝐧 · dS
𝑆
.
𝐀 x dS
𝑆
dimana φ adalah sebuah fungsi skalar. Integral2 demikian dapat didefinisikan dari segi pandangan limit jumlah seperti dalam kalkulus
elementer.
.
 Notasi
. terkadang dipakai untuk menyatakan integrasi melalui
𝑆
permukaan tertutup S.
 Untuk agar tidak menimbulkan kebingungan umumnya digunakan
.
notasi 𝑆.
 Untuk menghitung integral permukaan (luas) akan lebih mudah
dengan memproyeksikan S pada salah satu bidang koordinat lalu
menghitung integral lipat-dua dari proyeksinya.
 Maka integral dari medan vektor A pada permukaan S, sbb :
1. Bila S diproyeksikan pada bidang xy
.
.
𝑑𝑦
L = 𝑆 𝐀 · 𝐧 dS = 𝑆 𝐀 · 𝐧 |𝑑𝑥
𝑛·𝑘|
.
2. Bila S diproyeksikan pada bidang xz
.
.
𝑑𝑧
L = 𝑆 𝐀 · 𝐧 dS = 𝑆 𝐀 · 𝐧 |𝑑𝑥
𝑛·𝑗|
3. Bila S diproyeksikan pada bidang yz
.
.
𝑑𝑧
L = 𝑆 𝐀 · 𝐧 dS = 𝑆 𝐀 · 𝐧 |𝑑𝑦
𝑛·𝑖|
dimana :
n =φ | 𝛁𝛁φφ | adalah vektor normal permukaan S
A = medan vektor permukaan S, φ = medan skalar dan dS = luas S
.
6.4. INTEGRAL VOLUME

.

Bila terdapat fungsi 3-peubah w = f(x,y,z), maka untuk untuk
menentukan integral volume dari w = f(x,y,z) terhadap suatu
balok B misalnya, maka bagilah balok B menjadi sejumlah n subbalok, Bi ; i = 1, 2, 3,…, n.Diperoleh volume sub-balok ∆Vi = ∆xi
∆yi ∆zi sehingga volume balok B : V = 𝑛𝑖=1 ∆ V
Integral volume dari w = f(x,y,z) terhadap B adalah :
.
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 = lim 𝑓 𝑥. 𝑦, 𝑧 ∆V
𝐵
syarat integral rangkap-tiga (volume)adalah w kontinu pada B.
Bila G adalah benda ruang sembarang, maka untuk menghitung
integral volume dari w = f(x.y,z) atas G dengan cara mendefinisikan fungsi g(x,y,z) :
- g(x,y,z) = f(x,y,z) ; (x,y,z) Є G
- g(x,y,z) = 0 ; (x,y,z) Є B – G
Karena B merupakan balok yg melingkupi benda ruang G, maka
integral volume :
.
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝐺
.
dV =
.
𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝐺
dV
Secara umum integral rangkap-tiga(volume) dapat dinyatakan
dengan rumus :
.
𝑨
𝑉
𝑑𝑉
dan
.
φ
𝑉
𝑑𝑉
Contoh soal Integrasi Vektor
1. Bila R(u) = (u2 – u3) i + 3u2 j – 3u k , tentukan
2
a. ∫ 𝑹 𝑢 𝑑𝑢
b. ∫0 𝑹 𝑢 𝑑𝑢
.
2. Hitunglah
potongan
.
∫𝑐 𝐀
.
𝑟 · dr dimana A = 3y i – x j dan C adalah
garis lurus dari (0, 0) ke (2, 12 ) ?
.
∫𝑠 𝐀
3. Hitunglah
· n dS dimana A = 18z i – 12 j + 3y k dan S adalah
bidang 2x + 3y + 6z = 12 yg terletak pada oktan pertama ?
.
4. Bila B = 2xz i – x j + y2 k , hitunglah 𝑉 𝐁 dV , dimana V adalah
ruang yg dibatasi oleh permukaan2 x = 0 , y = 0 , z = 4 dan z = x2 ?
.
.
Jawaban contoh soal Integrasi Vektor
1a. R(u) = (u2 – u3) i + 3u2 j – 3u k
∫ 𝑹 𝑢 𝑑𝑢 = ∫ (u2 – u3) i + 3u2 j – 3u k du
= i (13 u3 – 14 u4) + c1 + j (33 u3) + c2 – 112 u2 + c3
= ( 𝑢3 - 𝑢4 ) i + u3 j – 112 u2 k + C
2
1b. ∫ 𝑹 𝑢 𝑑𝑢 = ( 𝑢3 - 𝑢4 ) i + u3 j – 112 u2 k |
0
= ( 23 - 24 ) i + 23 j – 112 (22) k
= – 113 i + 8 j – 6 k
.
3
4
.
3
3
4
4
.
.
2. A = 3y i – x j dan r = x i + y j + z k ⇨ dr = dx i + dy j + dz k
.
.
∫𝑐 𝐀 𝑟 · dr = ∫𝐶 (3𝑦 𝑖 − 𝑥 𝑗) · (dx i + dy j + dz k)
.
persamaan parameter garis lurus (0,0) ke (2, 12) :
r(x,y,z) = [(0,0) + (2, 12) – (0,0)] t , dimana 0⩽ t ⩽1 , sehingga :
x = 2t ⇨ dx = 2 dt dan y = 12 t ⇨ dy = 12 dt
Jadi
.
.
1
∫𝑐 𝐀 𝑟 · dr = ∫𝐶 (3𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦) = ∫0 3( 12 t) 2 dt – (2t) 12 dt
1
.
1
= ∫0 3 𝑡 dt – t dt = ∫0 2 𝑡 dt
.
= t3 | 1 = 13 – 0 = 1
0
3. A = 18z i – 12 j + 3y k
Dari rumus :
.
𝐀
𝑆
· 𝐧 dS =
.
𝐀
𝑆
·𝐧
𝑑𝑥 𝑑𝑦
|𝑛·𝑘|
Sebuah vektor yg tegak lurus terhadap permukaan 2x + 3y + 6z = 12
diberikan oleh 𝛁(2x + 3y + 6z) = 2 i + 3 j + 6 k, maka satuan normal
terhadap sembarang titik di S :
2
n = 2𝑖+3𝑗+6𝑘
2
2
2 =
7
2 +3 +6
𝑑𝑦
sedangkan |𝑑𝑥
𝑛·𝑘|
i+
3
7
6
7
2
7
j + k dan n · k = ( i +
= 76 dx dy
3
7
6
7
j + k) · k =
6
7
Besar A · n = (18z i – 12 j + 3y k) · (27 i +
.
.
3
7
j + 67 k )
36 −12𝑥
12 −2𝑥 −3𝑦
= 36𝑧 −36+18𝑦
=
dimana
z
=
7
7
6
Maka :
.
.
. 36 −12𝑥 7
𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝐀 · 𝐧 dS = 𝑆 𝐀 · 𝐧 | 𝑛 · 𝑘 | = 𝑅 7 ( 6 dx dy)
𝑆
.
= 𝑅 (6 − 2𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑦
mencari batas integral, 2x + 3y + 6k, dimana z = 0 sehingga y = 12 3−2𝑥
maka batas bawah y = 0 dan batas atas y = 12 3−2𝑥 , maka :
.
𝐀
𝑆
.
=
· 𝐧 dS =
6
∫0
12 −2𝑥
6
∫0 . ∫0 3
6𝑦 − 2𝑥𝑦
12 −2𝑥
3
6
0
6 − 2𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥
6 12 −2𝑥
𝑑𝑥 = ∫0 6( 3 )
– 2x (12 3−2𝑥) dx
6
= ∫0 (24 - 4x – 8x + 43 x2) dx = ∫0 (24 – 12x + 43 x2) dx =
= 24x – 6x2 + 49 x3
6
0
= 24(6) – 6(62) + 49 (63) = 24
4. B = 2xz i – x j + y2 k dan x = 0 , y = 0 , z = 4 dan z = x2
Batas2 integral rangkap-tiga :
x = 0 → x = 2 dari z = x2
4 = x2 → x = 2
y = 0 → y = 6 dan z = x2 → z = 4 Jadi
.
2 k) dz dy dx
(2xz
i
–
x
j
+
y
𝑉
.
.
.
.
.
2 6 4
2 6 4
= ∫0 . ∫0 . ∫𝑥2 2𝑥𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 i – ∫0 . ∫0 . ∫𝑥2 𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 j +
2 6 4 2
∫0 . ∫0 . ∫𝑥2 𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 k
2 6
2 6
2 6
4
4
2
= i ∫0 . ∫0 . xz 2 dy dx – j ∫0 . ∫0 . xz 2 dy dx + k ∫0 . ∫0 .
𝑥
𝑥
4
dy dx =
2
𝑥
= 128 i – 24 j + 384 k
y2z
Latihan soal/PR
.
∫𝐶
1. Hitunglah integral garis
𝑥2 − 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦2 − 𝑥 𝑑𝑦 dengan
lintasan C yg menghubungkan titik (0, 1) ke (1, 2) yg berbentuk :
a. garis lurus dari (0,1) ke (1,2)
b. garis lurus dari (0,1) ke (1,1) lalu ke (1,2) ?
2. Hitung usaha total yg dilakukan untuk menggerakkan sebuah
partikel dalam medan gaya yg diberikan oleh F = 3xy i – 5z j+10x k
sepanjang kurva x = t2 , y = 2t2 , z = t3 dari t = 1 ke t = 2 ?
.
3. Tentukan hasil 𝑆 𝐀 . 𝐧 𝑑𝑆 dimana A = z i + x j – 3y2 k dan S
merupakan permukaan silinder x2 + y2 = 16 yg terdapat dalam
oktan pertama antara z = 0 dan z = 5 ?
.
2
2
4. Bila diketahui φ = x + y , hitunglah 𝑉 φ 𝑑𝑉 , dimana V
adalah isi silinder x2 + y2 = 4 dimana 0⩽ t ⩽ 3 ?
.
.
.
.
.
.
.