Transcript teletr_2
Теория телетрафика
часть 2
проф. Крылов В.В.
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В
ТЕОРИИ ТЕЛЕТРАФИКА
Андрей Андреевич Марков родился 14
июня
1856.
В
цикле
работ,
опубликованном
в
1906-1912гг.,
заложил основы одной из общих схем
естественных процессов, которые
можно
изучать
методами
математического
анализа.
Впоследствии эта схема была
названа цепями Маркова и привела к
развитию нового раздела теории
вероятностей - теории случайных
процессов.
2
Вероятностная модель СМО
•
•
•
•
•
дискретная цепь Маркова
однородная цепь Маркова
неприводимая цепь Маркова
Возвратное и невозвратное состояние
Периодическое и апериодическое
возвратное состояние
• Возвратное нулевое и возвратное
ненулевое
©Крылов
3
Цепи Маркова
• Теорема 1.
• Состояния неприводимой цепи Маркова
либо все невозвратные, либо все
возвратные нулевые, либо все
возвратные ненулевые. В случае
периодической цепи все состояния
имеют один и тот же период
©Крылов
4
Цепи маркова
• Для неприводимой и апериодической цепи
Маркова всегда существуют предельные
вероятности, не зависящие от начального
распределения вероятностей
• все состояния цепи невозвратные или все
возвратные нулевые, и тогда все предельные
вероятности равны нулю и стационарного
состояния не существует
• все состояния возвратные ненулевые и тогда
существует стационарное распределение
вероятностей
©Крылов
5
Цепи Маркова
• Состояние называется эргодическим, если
оно апериодично и возвратно ненулевое.
Если все состояния цепи Маркова эргодичны,
то вся цепь называется эргодической.
Предельные вероятности эргодической цепи
Маркова называют вероятностями
состояния равновесия, имея в виду, что
зависимость от начального распределения
вероятностей полностью отсутствует.
©Крылов
6
Диаграмма переходов
3/4
3/4
1/4
1/4
1/4
1/2
1/4
©Крылов
7
Решение примера
0 3 / 4 1/ 4
Р 1 / 4 0 3 / 4
1 / 4 1 / 4 1 / 2
1 0 1 2
0 1 / 5 0,20
0 0 0 (1 / 4) 1 (1 / 4) 2 ;
1 7 / 25 0,28
1 (3 / 4) 0 0 1 (1 / 4) 2 ;
2 (1 / 4) 0 (3 / 4) 1 (1 / 2) 2 ; 2 13/ 25 0,52
©Крылов
8
Уравнения ЧепменаКолмогорова.(Chapman - Kolmogorov)
pij (m, n) pik (m, n 1) p kj (n 1, n)
k
( mn )
ij
pij (m, n) p
©Крылов
9
Непрерывные цепи Маркова
• Случайный процесс X(t) с дискретным
множеством значений образует
непрерывную цепь Маркова, если
PX (t ) j / X ( ) for 1 2 t PX (t ) j / X ( 2 )
• Уравнение Чепмена – Колмогорова
dH (t )
H (t )Q
dt
©Крылов
10
Непрерывные цепи Маркова
• H(t) = [pij(t)] - матрица вероятностей
перехода из состояния i в состояние j
в момент времени t , а матрица Q
называется матрицей
интенсивностей переходов
• Интенсивности вероятностей переходов
qij(t)
©Крылов
11
Переходы в процессе гибелиразмножения
p-(k)
p(k)
p+(k)
t
t+dt
©Крылов
12
Уравнения процесса гибелиразмножения
dP(k , t )
(k k ) P(k , t ) k 1 P(k 1, t ) k 1 P(k 1, t ); k 1
dt
dP(0, t )
0 P(0, t ) 1 P(1, t )
dt
©Крылов
13
Диаграмма интенсивностей
переходов
0
1
1
0
1
K-1
2
K
m-2
K-1
2
K
©Крылов
K
K+1
K+1
14
Уравнения равновесия
(k k ) p k k 1 p k 1 k 1 p k 1 0
p
k 0
k
1
k 1 pk 1 k 1 pk 1 (k k ) pk
©Крылов
15
Решение уравнений равновесия
k 1
0 12 k 1
i
pk
p0 p0
1 2 3 k
i 0 i 1
k
p k 1
pk
k 1
p0
1
i
1
k 1 i 0 i 1
k 1
k
C 1
k 1
©Крылов
16
Система M/M/1
поступающие
пакеты
обслуженные
пакеты
k , k 0,1,2,
k 1 / , k 1,2,3,
сервер
1
0
очередь
2
K
m-2
K-1
©Крылов
K+1
17
Стационарное распределение
k
p k p 0 p 0 ; k 0
i 0
k 1
k
1
p0 1 / 1
1 1
/
k 1 1
1 /
©Крылов
18
График распределения
pk (1 ) k , k 0,1,2,3
©Крылов
19
Зависимость среднего числа заявок и времени
пребывания в системе
©Крылов
20
Система с несколькими серверами
k
1 , n 2 , n 2
i
pk p0
i 0 i 1
2
k 1
k 1
1
k
k
p0 k 1 p0 2 2 , 2
2
2
1 2
p0
,
1 2
pk
2(1 2 ) k
2
©Крылов
(1 2 )
21
Двухсерверная система
k
1 , n 2 , n 2
i
pk p0
i 0 i 1
2
k 1
1 2
p0
,
1 2
2(1 2 ) k
pk
2
(1 2 )
k 1
1 k
k
p0 k 1 p0 2 2 , 2
2
2
2
N 2 kpk
N1
2
1
(1 2 )
k 0
Т2 N 2
©Крылов
1
1 22
22
Сравнение нормированного времени
пребывания в системе
©Крылов
23
m – серверная система
1
0
2
2
m-2
m
(m-1)
m
m
n , n 0,1,2,3
n ,0 n m
n min n , m
m , m n
©Крылов
24
m-cерверная система
m k
,k m
p0
k!
pk
k
m
m
p
,k m
0 m!
А
1
m m
А А 1
p 0
k 0 k! m! 1
m 1
©Крылов
k
k
25
1
С-формула Эрланга
Аm 1
m! 1 А m
C (m, / )
m1 Ak Am 1
k 0 k! m! 1 A m
©Крылов
26
Анализ системы M/M/1:N
, k N
к
0, k N
, k , k 1,2,...,N
©Крылов
27
Диаграмма интенсивностей переходов для
системы с конечным буфером
1
0
2
N
m-2
k
pk p0 , k N
i 0
k 1
k
p k p 0 , k N
p k 0, k N©Крылов
28
Стационарные вероятности
N
p0 1
k 1
k
1
( / )(1 /
1
1
/
N
1
1 /
1 /
N 1
1
k
,0 k N
N 1
pk 1
0, k 0; k N
©Крылов
29
Вероятность блокировки и
пропускная способность
(1 )
p B p k (k N )
N 1
1
N
(1 pB )
1
(1 ) N
N
N
1
PB
(1 ) , 1
N 1
N 1
1
1
©Крылов
30
Средняя длина очереди и
задержка в системе
2
3
N 1
1
1
2
3
4
N
k
L kpk
k
N 1
N 1
1
1
k 0
k 0
N
1
N
T
1
L
©Крылов
31
Анализ систем с полными
потерями
, n m
n
0, n m
n n , n 1,2,3, , m
1
0
m-2
2
2
m-1
(m-1)
©Крылов
m
m
32
Стационарные вероятности
k
1
p k p0
p0
,k m
i 0 (1 i )
k!
k 1
m 1
p0
k 0 k!
k
1
©Крылов
33
В-формула Эрланга
Am
m
!
PB E B (m, A) p m m k , A
A
k 0 k!
©Крылов
34
Модель Энгсета
©Крылов
35
Диаграмма интенсивностей
переходов модели Энгсета
M
(M-1)
1
0
(M-m+1)
2
2
m
3
©Крылов
m
36
Параметры и решение
( M n),0 n m 1
n
0, n m
n ,0 n m
n
m , n m
k 1
0 12 k 1
i
pk
p0 p0
1 2 3 k
i 0 i 1
k
p k 1
pk
k 1
©Крылов
37
Стационарные вероятности
M i
k
C m p 0 ,0 k m 1 n
p k p 0 i 1
, Cm
k
k 1
i 0
pk
C Mk A1
m
k
i
i
C
A
M 1
m!
(m n)!n!
, k 0,1,2, m; A1
i 0
©Крылов
38
Формула Энгсета
p m M m, A1
C Mm A1m
m
C
k 0
А1
k
M
k
1
A
©Крылов
39
Модель Молина Lost Calls Held
(LCH)
A
P e
b
k N 1
©Крылов
Ak
k!
40
Анализ системы M/G/1
a(t ) e
t
b(x) b( x)dx 1
0
x xb ( x ) dx
0
x
N W
W Nx I
©Крылов
W W x I
1
W
1 41
Изменение незавершенной
работы в СМО
t
1
1 n 1 a n1 n 1 a
2
R R(t ' )dt' Si
Si x
t0
t i 1 2
i n i 1 2
©Крылов
42
Формула Полячека-Хинчина
x2
W
2(1 )
x
1 C
W
x
2(1 )
2
1
T x W
x
2
2
1 C
T S
1
) x
©Крылов
2(1 )
2
1
2
2
43
Среднее число требований
x
1 C
N q W
2(1 )
2
1
2
2
2
2
2
1
C
x
N T S
2(1 )
2
1
2
©Крылов
2
44
Система M/M/1
b( x) e
x
x x b( x)dx x e
2
2
0
N
2 x
0
2
1
dx
2
2
1
1
x
T 1
x
1
1
2
C 1 ©Крылов
45
Система M/D/1
1
N
2 1
2
1
x
T 1
2 1
©Крылов
46
Cистема G/G/1 (занятая)
Cn-1
xn
wn
Cn
Обслуживающий
прибор
Время
Очередь
Cn
tn+1
Cn
wn xn t n1 0
Cn+1
wn+1
Cn+1
©Крылов
wn1 wn xn t n1
47
Система G/G/1 (свободная)
Cn-1
Обслуживающий
прибор
wn
Cn
xn
Время
Очередь
Cn
Cn+1
tn+1
Cn+1
Cn
wn xn t n1 0 wn1 0
©Крылов
48
Связанная марковская цепь
un xn t n1
wn 1
0 , wn u n 0 ,
wn u n , wn u n 0 ,
wn 1 max0, wn u n .
wn max0, un1 , un1 un2 ,un1 u1 , un1 u1 u0 w0
©Крылов
49
Решение (уравнение Линдли)
М u n М x n t n 1 М x n М t n 1 x t t ( 1)
x
1
t
lim Pwn y Pw y W ( y ) .
n
y
W ( y) w(t )dt
y
w( y u )c(u )du , y 0 ,
w( y )
0 , y 0 .
©Крылов
50
Решение уравнения Линдли
c(u ) a(t u )b(t )dt
0
A( s ) a (t )e st dt ,
0
B ( s ) b ( x )e
0
sx
dx ,
C ( s) A( s) B( s) ,
W ( s)A( s) B( s) 1 0 .
( s)
A( s) B( s) 1
( s)
K
W ( s)
,
( s )
( s )
K lim s ©Крылов
.
0
s
51
Приближенное решение
2
t (1 ) 2 I 2
М W
2t (1 )
2I
2
a
2
b
t 2s2
A( s ) 1 ts
o( s 2 ) ,
2!
x2s2
B ( s ) 1 xs
o( s 2 ) ,
2!
x2 t 2
A( s ) B ( s ) 1 s t x s xt o( s 2 ) .
2
©Крылов2
52
Приближенное решение
A( s ) B ( s ) 1 s ( s s 2 )
2t (1 )
s2 2
2
a b
a2 b2
2
,
( s ) s ( s s 2 )C ,
C (0)
a2 b2
,
2
K lim s 0 ( s s 2 )C s 2 C ,
s2
1
1
W (s)
,
s(s s 2 ) s s s 2
a2 b2
2 t (1 )
М W
.
2t (1 ) y
2(1 )t w( y ) 2
e
,
2
a b
©Крылов
2
a
2
b
53
Верхняя граница,граница
Маршалла
МW
WHigh
2t (1 )
2
a
М W
Cb
b
x
2
b
,
2
Cb 2t (1 )
1 C
1 /
2
2
b
2
a
2
b
.
©Крылов
54
Нижняя граница для потоков с
монотонностью
A(t2 ) - A(t 2 ) A(t1 ) - A(t 1 )
0 , t 2 t 1 , 0.
1 A(t 2 )
1 A(t 1 )
C ( 2)
WLow М W
2 (1 )
2
2
b
©Крылов
55
Уточненная нижняя граница
y g ( y) ,
g ( y ) 1 C ( x)dx ,
y
x
C ( x) c(t )dt ,
0
c(t ) a( x t )b( x)dx .
0
©Крылов
56
Графическое решение
y
g(y)
g(0)
y
Wм
©Крылов
57