Transcript teletr_2

Теория телетрафика
часть 2
проф. Крылов В.В.
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В
ТЕОРИИ ТЕЛЕТРАФИКА
Андрей Андреевич Марков родился 14
июня
1856.
В
цикле
работ,
опубликованном
в
1906-1912гг.,
заложил основы одной из общих схем
естественных процессов, которые
можно
изучать
методами
математического
анализа.
Впоследствии эта схема была
названа цепями Маркова и привела к
развитию нового раздела теории
вероятностей - теории случайных
процессов.
2
Вероятностная модель СМО
•
•
•
•
•
дискретная цепь Маркова
однородная цепь Маркова
неприводимая цепь Маркова
Возвратное и невозвратное состояние
Периодическое и апериодическое
возвратное состояние
• Возвратное нулевое и возвратное
ненулевое
©Крылов
3
Цепи Маркова
• Теорема 1.
• Состояния неприводимой цепи Маркова
либо все невозвратные, либо все
возвратные нулевые, либо все
возвратные ненулевые. В случае
периодической цепи все состояния
имеют один и тот же период
©Крылов
4
Цепи маркова
• Для неприводимой и апериодической цепи
Маркова всегда существуют предельные
вероятности, не зависящие от начального
распределения вероятностей
• все состояния цепи невозвратные или все
возвратные нулевые, и тогда все предельные
вероятности равны нулю и стационарного
состояния не существует
• все состояния возвратные ненулевые и тогда
существует стационарное распределение
вероятностей
©Крылов
5
Цепи Маркова
• Состояние называется эргодическим, если
оно апериодично и возвратно ненулевое.
Если все состояния цепи Маркова эргодичны,
то вся цепь называется эргодической.
Предельные вероятности эргодической цепи
Маркова называют вероятностями
состояния равновесия, имея в виду, что
зависимость от начального распределения
вероятностей полностью отсутствует.
©Крылов
6
Диаграмма переходов
3/4
3/4
1/4
1/4
1/4
1/2
1/4
©Крылов
7
Решение примера
 0 3 / 4 1/ 4


Р  1 / 4 0 3 / 4
1 / 4 1 / 4 1 / 2 
1   0  1   2
 0  1 / 5  0,20
 0  0 0  (1 / 4) 1  (1 / 4) 2 ;
 1  7 / 25  0,28
 1  (3 / 4) 0  0 1  (1 / 4) 2 ;
 2  (1 / 4) 0  (3 / 4) 1  (1 / 2) 2 ;  2  13/ 25  0,52
©Крылов
8
Уравнения ЧепменаКолмогорова.(Chapman - Kolmogorov)
pij (m, n)   pik (m, n  1) p kj (n  1, n)
k
( mn )
ij
pij (m, n)  p
©Крылов
9
Непрерывные цепи Маркова
• Случайный процесс X(t) с дискретным
множеством значений образует
непрерывную цепь Маркова, если
PX (t )  j / X ( ) for 1     2  t   PX (t )  j / X ( 2 )
• Уравнение Чепмена – Колмогорова
dH (t )
 H (t )Q
dt
©Крылов
10
Непрерывные цепи Маркова
• H(t) = [pij(t)] - матрица вероятностей
перехода из состояния i в состояние j
в момент времени t , а матрица Q
называется матрицей
интенсивностей переходов
• Интенсивности вероятностей переходов
qij(t)
©Крылов
11
Переходы в процессе гибелиразмножения
p-(k)
p(k)
p+(k)
t
t+dt
©Крылов
12
Уравнения процесса гибелиразмножения
dP(k , t )
 (k   k ) P(k , t )  k 1 P(k  1, t )   k 1 P(k  1, t ); k  1
dt
dP(0, t )
 0 P(0, t )  1 P(1, t )
dt
©Крылов
13
Диаграмма интенсивностей
переходов
0
1
1
0
1
K-1
2
K
m-2
K-1
2
K
©Крылов
K
K+1
K+1
14
Уравнения равновесия
 (k   k ) p k  k 1 p k 1   k 1 p k 1  0

p
k 0
k
1
k 1 pk 1   k 1 pk 1  (k   k ) pk
©Крылов
15
Решение уравнений равновесия
k 1
0 12 k 1
i
pk 
p0  p0 
1  2  3   k
i 0  i 1
k
p k 1 
pk
 k 1
p0 
1
i
1  
k 1 i 0  i 1

k 1
k
 C 1
 k 1
©Крылов
16
Система M/M/1
поступающие
пакеты


обслуженные
пакеты
k   , k  0,1,2,
 k    1 /  , k  1,2,3,
сервер

1
0
очередь

2
K
m-2
K-1


©Крылов

K+1

17
Стационарное распределение
k


p k  p 0   p 0   ; k  0
i 0 

k 1
k


 
1

p0  1 / 1      
 1  1 

/


 k 1     1 
1  / 
©Крылов
18
График распределения
pk  (1   )  k , k  0,1,2,3
©Крылов
19
Зависимость среднего числа заявок и времени
пребывания в системе
©Крылов
20
Система с несколькими серверами
k  
1   ,  n  2 , n  2
    
i

pk  p0 
  
i  0  i 1
   2  
k 1
k 1
1

k
k
 p0 k 1   p0 2  2 ,  2 
2
2
1 2
p0 
,
1 2
pk 
2(1   2 ) k
2
©Крылов
(1   2 )
21
Двухсерверная система
k  
1   ,  n  2 , n  2
i     

pk  p0 
  
i  0  i 1
   2 
k 1
1 2
p0 
,
1 2
2(1   2 ) k
pk 
2
(1   2 )
k 1
1 k

k
 p0 k 1   p0 2  2 ,  2 
2
2
2

N 2   kpk 
 N1 
2
1 
(1   2 )
k 0

Т2  N 2
©Крылов

 1
 1   22 
22
Сравнение нормированного времени
пребывания в системе
©Крылов
23
m – серверная система


1
0


2
2

m-2
m
(m-1)
m
m
 n   , n  0,1,2,3
n ,0  n  m
 n  min n , m   
m , m  n
©Крылов
24
m-cерверная система
 m k
,k  m
 p0
k!
pk  
k
m

m
p
,k  m
 0 m!

А

 1
m m
  А   А  1 


p 0  
 

 k 0 k!  m!  1   
m 1
©Крылов
k
k
25
1
С-формула Эрланга
  Аm  1 



 m!  1  А m 




C (m,  /  ) 
 m1  Ak   Am  1 


 




 k 0 k!  m!  1  A m 
©Крылов
26
Анализ системы M/M/1:N
 , k  N
к  
0, k  N
,  k   , k  1,2,...,N
©Крылов
27
Диаграмма интенсивностей переходов для
системы с конечным буфером


1
0


2

N
m-2
k




pk  p0  , k  N
i 0 
k 1
k

p k  p 0   , k  N

p k  0, k  N©Крылов
28
Стационарные вероятности
N


p0  1    
 k 1   
k



1
 ( /  )(1   /   
 1 



1


/



N
1

1  / 
1   /  
N 1
 1 
k

,0  k  N

N 1
pk  1  
0, k  0; k  N

©Крылов
29
Вероятность блокировки и
пропускная способность
(1   ) 
p B  p k (k  N ) 
N 1
1 
N
   (1  pB )

1  
(1   )  N
N
N


   1 
 PB 
 (1   )  ,   1
N 1 
N 1
1 
 1  
©Крылов
30
Средняя длина очереди и
задержка в системе
2
3
N 1





1


1

2


3


4




N

k
L   kpk 
k 
N 1 
N 1
1


1


k 0
k 0
N
1   
N
T
1

L
©Крылов
31
Анализ систем с полными
потерями
 , n  m
n  
0, n  m
 n  n , n  1,2,3,  , m


1
0


m-2
2
2

m-1
(m-1)
©Крылов
m
m
32
Стационарные вероятности
k
 1
p k  p0 
 p0  
,k  m
i  0 (1  i ) 
   k!
k 1

 m  1
p0    

 k 0    k!
k
1
©Крылов
33
В-формула Эрланга
Am

m
!
PB  E B (m, A)  p m  m k , A 

A

k  0 k!
©Крылов
34
Модель Энгсета
©Крылов
35
Диаграмма интенсивностей
переходов модели Энгсета
M
(M-1)
1
0

(M-m+1)
2
2
m
3
©Крылов
m
36
Параметры и решение
 ( M  n),0  n  m  1
n  
0, n  m
 n  ,0  n  m
n  
m , n  m
k 1
0 12 k 1
i
pk 
p0  p0 
1  2  3   k
i  0  i 1
k
p k 1 
pk
 k 1
©Крылов
37
Стационарные вероятности

 M  i 
k
 C m p 0   ,0  k  m  1 n
p k  p 0  i  1
, Cm 

k
k 1
i 0
pk 
C Mk  A1
m
k
i
i
C
A
 M 1
m!
(m  n)!n!

, k  0,1,2, m; A1 

i 0
©Крылов
38
Формула Энгсета
p m   M m, A1  
C Mm A1m
m
C
k 0
А1  
k
M
k
1
A

©Крылов
39
Модель Молина Lost Calls Held
(LCH)

A
P e

b


k  N 1
©Крылов
Ak
k!
40
Анализ системы M/G/1
a(t )  e
 t


b(x)  b( x)dx  1
0
x   xb ( x ) dx
0
  x
N  W
W  Nx I
©Крылов
W  W x  I
1
W 
1   41
Изменение незавершенной
работы в СМО
t
1
1 n 1 a n1 n 1 a
2
R   R(t ' )dt'   Si 
Si   x

t0
t i 1 2
i n i 1 2
©Крылов
42
Формула Полячека-Хинчина
 x2
W
2(1   )
x
1  C

W 


x
2(1   )
2
1 
T  x W
x
2
2
1  C

T S
 1 

) x
©Крылов
2(1   )
2
1 
2
2
43
Среднее число требований
 x
1  C 
N q  W 


2(1   )
2
1 
2
2
2
2
2
1

C
x


N  T  S 


2(1   )
2
1 
2
©Крылов
2
44
Система M/M/1
b( x)  e
 x


x   x b( x)dx    x e
2
2
0
N 

2  x
0
2
1 

dx 

2
2
1 

 
1
  x 
T  1 
x
1 
 1  
2
C  1 ©Крылов
45
Система M/D/1
1 
N   
2 1 
2
 1  
  x
T  1  
 2 1  
©Крылов
46
Cистема G/G/1 (занятая)
Cn-1
xn
wn
Cn
Обслуживающий
прибор
Время
Очередь
Cn
tn+1
Cn
wn  xn  t n1  0
Cn+1
wn+1
Cn+1

©Крылов
wn1  wn  xn  t n1
47
Система G/G/1 (свободная)
Cn-1
Обслуживающий
прибор
wn
Cn
xn
Время
Очередь
Cn
Cn+1
tn+1
Cn+1
Cn
wn  xn  t n1  0  wn1  0
©Крылов
48
Связанная марковская цепь
un  xn  t n1
wn 1
0 , wn  u n  0 ,

 wn  u n , wn  u n  0 ,
wn 1  max0, wn  u n .
wn  max0, un1 , un1  un2 ,un1    u1 , un1    u1  u0  w0 
©Крылов
49
Решение (уравнение Линдли)
М u n  М x n  t n 1  М x n  М t n 1  x  t  t (   1)
x
  1
t
lim Pwn  y   Pw  y   W ( y ) .
n 
y
W ( y)   w(t )dt

y
  w( y  u )c(u )du , y  0 ,
w( y )  
0 , y  0 .

©Крылов
50
Решение уравнения Линдли

c(u )   a(t  u )b(t )dt
0

A( s )   a (t )e  st dt ,
0

B ( s )   b ( x )e
0
 sx
dx ,
C ( s)  A( s) B( s) ,
W ( s)A( s) B( s)  1  0 .
 ( s)
A( s) B( s)  1 
 ( s)
K
W ( s) 
,
 ( s )
 ( s )
K  lim s ©Крылов
.
0
s
51
Приближенное решение

2
    t (1   ) 2 I 2
М W 

2t (1   )
2I
2
a
2
b
t 2s2
A( s )  1  ts 
 o( s 2 ) ,
2!
x2s2
B ( s )  1  xs 
 o( s 2 ) ,
2!

 x2 t 2

A( s ) B ( s )  1  s t  x  s   xt   o( s 2 ) .


2
©Крылов2



52
Приближенное решение
A( s ) B ( s )  1  s ( s  s 2 )
2t (1   )
s2   2
2
a b
 a2   b2
2
,
 ( s )  s ( s  s 2 )C ,
C   (0)
 a2   b2
,
2
K  lim s 0 ( s  s 2 )C   s 2 C ,
 s2
1
1
W (s) 
 
,
s(s  s 2 ) s s  s 2
 a2   b2
2 t (1  )

М W 
.
2t (1   )    y
2(1   )t w( y )  2
e
,
2
a b
©Крылов
2
a
2
b
53
Верхняя граница,граница
Маршалла
 
МW 
 WHigh
2t (1   )
2
a
М W 
Cb 
b
x
2
b
   
,


2
 Cb  2t (1   ) 
1 C
1 /  
2
2
b
2
a
2
b
.
©Крылов
54
Нижняя граница для потоков с
монотонностью
A(t2   ) - A(t 2 ) A(t1   ) - A(t 1 )
 0 , t 2  t 1 ,   0.
1  A(t 2 )
1  A(t 1 )
 C   (   2)
 WLow  М W
2 (1   )
2
2
b
©Крылов
55
Уточненная нижняя граница
y  g ( y) ,
g ( y )   1  C ( x)dx ,

y
x
C ( x)   c(t )dt ,
0

c(t )   a( x  t )b( x)dx .
0
©Крылов
56
Графическое решение
y
g(y)
g(0)
y
Wм
©Крылов
57