Cap 6 – Análisis Nodal
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Transcript Cap 6 – Análisis Nodal
UNIDAD 3
3.1.- Análisis Nodal
Circuitos que contienen solo fuentes independientes de
Corriente.
Circuitos que contienen fuentes controladas de Corriente.
Circuitos que contienen solo fuentes independientes de
Voltaje.
Circuitos que contienen fuentes controladas de Voltaje.
3.2.- Análisis de Malla.
Circuitos que contienen fuentes controladas de Corriente.
Circuitos que contienen solo fuentes independientes de
Voltaje.
Circuitos que contienen fuentes controladas de Voltaje.
Circuitos que contienen fuentes controladas de Voltaje.
Análisis Nodal
Debemos considerar los siguientes aspectos:
1.- En el análisis nodal las variables de los circuitos se eligen como voltajes de los
nodos.
2.- Los voltajes de los nodos se definen con respecto a un punto común en el
circuito.
3.- Un nodo se selecciona como referencia y con frecuencia este nodo es aquel al
que está conectado el mayor número de ramas y se denomina tierra debido a que
su potencial es igual a cero y algunas veces es el chasis en el circuito práctico.
4.- Seleccionaremos nuestras variables( voltajes en los nodos) como positivas con
respecto al nodo de referencia.
5.- Es recomendable que los elementos pasivos tengan como unidades el siemens
(conductancia).
6.- Cuando se conoce los voltajes de los nodos podemos calcular inmediatamente
cualquier corriente en una rama y la potencia suministrada o absorbida por
cualquier elemento.
7.- De preferencia la respuesta deberá presentarse de forma matricial:
GV I
Ve ctor
Ve ctor_ C olu m na
Matriz
C olu m na
de _ las_ fue nte s_
C on ductancia Variable s
de _ corrie nte
de l _ m è todo
8.- Si en el circuito existiera solamente fuentes independientes de corriente
debemos entonces observar que la matriz conductancia es simétrica a la diagonal
principal. Basta con la presencia de fuentes de voltaje sean estas independientes o
controladas, o la presencia de fuentes controladas de corriente en el circuito para
que en la matriz conductancia se pierda la simetría con respecto a la diagonal
principal.
Ejemplo # 1:
V1
Ia
CON SOLO FUENTES INDEPENDIENTES DE CORRIENTE
N1
I2
N2
V2
G2
EXPRESE LA RESPUESTA EN FORMA MARICIAL
I3
I1
# de ecuaciones que se encuentran:
G3
G1
Ib
n – 1=3-1, donde n es el número de
nodos en total.
V3
En cada ecuación debemos usar LCK, LVK
LCK N1:
Ohm :
I a I1 I 2
I GV
I 1 G1 (V1 V3 )
I 1 G1V1
I 2 G2 (V1 V2 )
I 2 G2V1 G2V2
I a G1V1 G 2 V1 G 2 V2
I a V1 (G1G 2 ) V2 (G 2 )
1
n – 1 =2
LCK N2:
I2 Ib I3
Ib I3 I2
Ohm :
I GV
I 3 G3 (V2 V3 )
I 3 G3V2
I b G3V2 G2V1 G2V2
I b V1 (G2 ) V2 (G2 G3 )
G1 G2 G2 V1 I a
G
V I
G
G
2
2
3 2
b
2
Ejemplo # 2:
1
k
6
N1
1
k
12
2I 0
N 2 CON FUENTES CONTROLADAS DE CORRIENTE
1
k
3
2 mA
I0
V1
6k
N1
I1
12 k
2I 0
N3
N2
V2
LCK N1: 2I I I 0
0
1
2
I2
2I 0 I1 I 2
2 mA
3k
Ohm:
I0
V3
I 1 12V1
I 2 6V1 6V2
I 0 3V2
2(3V2 ) 12V1 6V1 6V2
0 18V1 6V2 6V2
0 18V1 12V2
LCK N2:
1
I2 2 I0
2 I0 I2
2 3V2 6V1 6V2
2 V1 (6) 9V2
18
6
2
12 V1 0
9 V2 2
Método para escribir en forma directa las ecuaciones en el análisis
nodal.
Una vez identificado los nodos principales y escogido el nodo de referencia, se
escriben las ecuaciones en cada uno de los nodos principales con excepción del
nodo de referencia de la siguiente forma:
1.- De un lado de la ecuación la suma algebraica de las fuentes de corriente
(independiente ó controlada) conectadas al nodo en que estamos trabajando
respetando el signo de aquellas que estén dirigidas hacia el nodo y cambiándole el
signo a aquellas que se estén alejando del nodo.
2.- Del otro lado de la ecuación vamos a distinguir dos clases de términos:
a) El término llamado propio o mutuo que es igual al producto de la tensión
asignada al nodo en que estamos trabajando por la suma de las
conductancias de los ramales conectados a dicho nodo. Este término lleva
signo positivo.
b) Los términos llamados neutros que son iguales al producto de la tensión
asignada al otro nodo (adyacente) por la conductancia del ramal que une
directamente al nodo en que estamos trabajando y al nodo adyacente. Estos
términos llevan el signo negativo.
3.- Cuando entre dos nodos activos (ninguno de los dos es tierra) se encuentra una
fuente de voltaje (independiente ó controlada), se forma lo que se conoce con el
nombre de súper nodo que para este caso específico se necesitan dos ecuaciones
para resolverlo.
a) Ecuación del súper nodo
V4
V2
3VX
10 V2 V3
10V
3VX V4 V5
VX f (de _ las _ var iables _ del método )
V5
V3
b) Ecuación Auxiliar
Se obtiene haciendo cero a la fuente de voltaje es decir cortocircuitándola y
luego se procede a seguir lo que está escrito en los literales 1, 2 de este
procedimiento.
V5
V2
3VX
10V
V3
V4
Por cada par de nodos activos vamos a tener siempre dos términos propios (es decir con
signo positivo).
4.- Para el literal anterior cuando uno de los nodos es tierra sólo va a existir la ecuación
del súper nodo.
V5
V2
10V
3VX
V2 10V
3V X V5
VX=f(variables del método)
Ejemplo # 1:
Nodo 1:
Término propio
Ia V1 (G1 G2 ) V2 (G2 )
Término Neutro
I a V1 (G1 G2 ) V2 (G2 )
Nodo 2:
0 I b V2 (G2 G3 ) V1 (G2 )
I b V1 (G2 ) V2 (G2 G3 )
Del Ejemplo # 2:
Nodo 1:
2I 0 V1 (6k 12k) V2 (6k)
pe ro: I 0 3V2
2(3V2 ) 18V1 6V2
0 18V1 12V2
Nodo 2:
2 V2 (6 3) V1 (6)
2 V1 (6) V2 (9)
Ejemplo # 3.
20 A
1
3
1
1
3
1
1
2
1
4
30 A
a) Exprese la respuesta en forma matricial
b) La potencia entregada o consumida por las fuentes independientes
Ejemplo # 3.
1
3
1
20 A
1
3
1
4
1
2
1
30 A
a) Matriz Conductancia
N2
V2
Nodo 1
20 A
V1
N4
N1
4
3
1
3
1
V4
N3
20 4V1 V3
Nodo 2
20 V2 (3 1) V4 (3)
30 A
2
20 V1 (1 3) V3 (1)
V3
20 4V2 3V4
Nodo 3
30 V3 (2 1) V1 (1)
30 3V3 V1
Nodo 4
30 V4 (3 4) V2 (3)
30 7V4 3V2
4 0 1 0 V1 20
0 4 0 3 V 20
2
1 0 3 0 V3 30
0 3 0 7 V4 30
Matriz Conductancia
Al resolver la matriz anterior nos queda:
V1 2.727V
V3 9.090V
V2 2.631V
V4 3.157V
Suministra
b) Potencia en las fuentes independientes.
Vf 1 V2 V1
P20 A 5.358 (20)
Vf 1 2.631 ( 2.727)
P20 A 107.16 W Suministra
Vf 1 5.358V
Vf 2 V3 V4
Vf 2 9.090V ( 3.157V )
Vf 2 12.247V
P30 A 12.247 (30)
P30 A 367.41 W Suministra
V1
Ejemplo # 4.
2k
12V
2k
V3
V2
1k
1k
2k
6V
V4
Determinar I0=?
12V
I0
V1
SN1
2k
12V
V2
1k
2k
I0
Nodo 1 y Nodo 3 Súper Nodo 1
Ecuación del SN 1
V4
V3
1k
6V
2k
12 V1 V3
1)
Ecuación Auxiliar
12V
0 V1 (2 2) V3 (1 1 2) V2 (2 1) V4 (2 1)
0 4V1 3V2 4V3 3V4
2)
Nodo 2 Súper Nodo 2
V2 6V
3)
Nodo 4 Súper Nodo 3
V4 12V
1
4
0
0
0
1
3
1
4
0
0
0
0 V1 12
3 V2 0
6
0 V3
1 V4 12
I 0 2( V3 0)
I 0 2V3
I 0 2 3.75
I 0 7.5m A
Al resolver la matriz nos queda:
V1=8.25 V
V2= -6 V
V3= -3.75 V
V4= 12 V
Vc
2
V1
Va
2
3
Vd
3V2
2V1
2
Vb
10V
Ejemplo # 5.
3
6A
V2
Todos los elementos pasivos están en mhos. CALCULAR
a) V1 , V2
b) Potencia en la fuente de 10V indicando si suministra o
consume.
Nota: Respete los nodos marcados.
a)
Ib
VC
Ia
If
2
SN1
2
Va
2V1
2
VD
VB
10V
V1
3V2
3
6A
3
V2
Nodo A
2V1 V A (2 3) VB (2)
pero _ V1 VC VD
2VC 2VD 5V A 2V B
0 5V A 2VB 2VC 2VD 1)
Nodo B y Nodo D
SN 1
Ecuación del SN 1
3V2 VD VB
pero _ V2 V A 0
3V A VB VD 0 2)
Ecuación Auxiliar
6 VB (2 2) VD (2 3) VA (2) VC (2 2)
6 2VA 4VB 4VC 5VD
3)
Nodo C
SN 2
VC 10V
4)
5 2 2 2 V A 0
3
V 0
1
0
1
B
2 4 4 5 VC 6
0
0
1
0
V D 10
V A 1.81V
VB 2.48V
VC 10V
VD 7.93V
V1 VC VD 10V 7.93V 2.07V
V2 VA 0 1.81V 0V 1.81V
b)
LCK Nodo C:
I f I a I b
I a 2(VC VB ) 2VC 2VB
I b 2(VC VD ) 2VC 2VD
I f 4VC 2VB 2VD
P10V (10V ) I f
P10V 10(2VB 4VC 2VD )
P10V 10 2(2.48) 4(10) 2(7.93)
P10V 191.8W ( su min istra )
EJERCICIO # 18
3
IX
2
VX
4
2
2V X
25 A
3
4
5
30 A
2I X
3
Calcular la potencia asociada a cada una de las fuentes
controladas.
VA
IA
VB
3
IX
I 2 4
25 A
SN1
2
2V X
I f 1 I3
3
VE
2
I 4 5
VX
30 A
VD
VC
2I X
If2
4
3
Nodo B y Nodo E
SN 1
Ecuación del SN 1
2V X VB VE
pero : V X VD V A
Nodo A
25 30 V A (2 3 2) VB (3) VD (2)
5 7V A 3VB 2VD
1)
2V A VB 2VD VE 0 2)
Ecuación Auxiliar
0 VB (3 4) VE (3 4) VA (3) VC (4 3)
0 3VA 7VB 7VC 7VE 3)
Nodo C y Tierra
Nodo D
SN 2
30 VD (2 3 5) VA (2) VC (5)
VC 2I X
30 2VA 5VC 10VD 5)
LCK Nodo A
I a I X 30
I X I a 30
pero : _ I a 2(0 V A ) 2V A
I X 2V A 30
VC 2(2V A 30)
60 4V A V C
4)
7 3 0 2 0 V A 5
2
V 0
1
0
2
1
B
3 7 7 0
7 VC 0
V
4
0
1
0
0
60
D
2 0 5 10 0 VE 30
V A 9.44V
VD 10V
VB 13.69V
VE 12.57V
VC 22.22V
I X 2V A 30
I X 2(9.44) 30
I X 11 12A
V X VD V A
V X (10 9.44)V
V X 0.56V
P2Vx 2VX ( I f 1 )
LCK Nodo B
I f 1 I1 I 2
pero:
I1 4VB 4VC
I 2 3VB 3V A
I f 1 7VB 3VA 4VC
P2 Ix 2I X ( I f 2 )
LCK Nodo C
I f 2 I1 25 I 3 I 4
I f 2 24 I 3 I 4 I1
I f 2 25 (3VC 3VE ) (5VC 5VD ) 4VB 4VC
I f 2 4VB 12VC 5VD 3VE 25
P2 Ix 2(2VA 30)(4VB 12VC 5VD 3VE 25)
P2Vx 2(VD VA )(3VA 7VB 4VC )
Análisis de Malla
Utiliza la LVK para determinar las corrientes en el circuito y una vez que se
conocen estas, se puede utilizar la ley de Ohm para calcular el voltaje en
cualquier elemento pasivo, como también es posible calcular la potencia
suministrada o consumida por cualquier elemento del circuito.
Si el circuito tiene n mallas independientes se requerirá n ecuaciones
simultáneas independientes para describir el comportamiento del circuito.
Vamos a suponer que los circuitos son planos, es decir, que ningún conductor
se cruce con otro conductor.
V2
R1
V1
I1
R2
R4
R3
I2
R5
Malla 1
Malla 2
LVK:
LVK:
V1 VR1 VR 2 VR 3 0
VR 4 VR5 VR3 V2 0
V1 VR1 VR 2 VR3
Ohm:
Ohm:
VR 4 I 2 R4
VR1 I 1 R1
VR 5 I 2 R5
V R 2 I 1 R2
VR 3 IR3 ( I 1 I 2 ) R3
VR 4 VR 5 VR 3 V2 0
V2 I 2 R4 I 2 R3 I1 R3 I 2 R3
V1 I1 R1 I1 R2 I1 R3 I 2 R3
V1 I1 ( R1 R2 R3 ) I 2 ( R3 )
1)
V2 I 2 ( R3 R4 R5 ) I1 R3
2)
En forma matricial:
RI V
Matriz
Resistencia
Vector Columna
de las variables
del método
R1 R2 R3
R3
Vector Columna
de las fuentes de
voltaje
R3
I 1 V1
R3 R4 R5 I 2 V2
Si solo existieran fuentes independientes de voltaje existirá
simetría con respecto a la diagonal principal en la matriz
resistencia.
En forma Directa
Una vez asignadas las corrientes a las mallas se plantean en cada una de las
ecuaciones de voltaje de acuerdo a la siguiente regla:
1.- De un lado de la ecuación escribimos la suma algebraica de las fuentes
de voltaje conectadas a la malla en que estamos trabajando respetando el
signo de la fuente si la corriente de la malla atraviesa de negativo a
positivo y cambiándole el signo si la atraviesa de positivo a negativo.
2.- Del otro lado de la ecuación hay dos clases de términos:
a) El término llamado propio es igual al producto de la corriente
asignada a la malla que estamos trabajando por la suma de las
resistencias conectadas a dicha malla. Este término lleva signo
positivo.
b) Los términos mutuos que son iguales al producto de corriente
asignada a otra malla adjunta (vecina) y la malla en que estamos
trabajando. Este término lleva signo negativo si las dos corrientes
que la atraviesan son de direcciones opuestas y lleva signo positivo
si las dos corrientes que la atraviesan son de direcciones iguales.
Del problema anterior:
V1 I1 ( R1 R2 R3 ) I 2 ( R3 )
V2 I 2 ( R3 R4 R5 ) I1 ( R3 )
R1 R2 R3
R3
R3
I 1 V1
R3 R4 R5 I 2 V2
Si existiera una fuente de corriente ( independiente ó controlada) en
medio de dos mallas se forma lo que se conoce con el nombre de súper
malla la cual necesita dos ecuaciones para resolver.
1.- Ecuación de la súper malla
Es igual a la diferencia de corrientes con la que está involucrada la fuente
de corriente.
2.- Ecuación Auxiliar
Se forma haciendo cero a la fuente de corriente, es decir poniéndola en
circuito abierto y luego se trabaja de acuerdo al procedimiento descrito en
la regla anterior.
Todos los elementos pasivos deben estar en ohmios.
R3
Ejemplo # 6:
R4
R5
R1
I1
I2
30 A
R2
V2
R6
Ecuación de súper malla
30 I 2 I 1
Ecuación Auxiliar
V2 I1 ( R1 R2 R3 ) I 2 ( R4 R5 R6 )
R2
I1
3A
R4
Ejemplo # 7:
V1
R1
I2
R5
Cuando está la fuente en la periferia sólo se hace la
ecuación de la súper malla
Ecuación de súper malla
MALLA 2
3
R
4
I 1 3 A
V1= -I1(R4) + I2 (R1+R4+R5)
I1 0
R1 R4 R5 I 2 V1
0
5
2
Ejm:
Ejercicio 19:
20 A
I3
I2
160V
2
4
I1
100V
Malla 1
100 I1 (4 3 2) I 2 (4) I 3 (2)
100 9I1 4I 2 2I 3
Malla 2 y Malla 3
1)
Súper Malla 1
Ecuación de SM1
20 I 3 I 2
2)
Ecuación Auxiliar
160 I 2 (2 4) I 3 (5 2) I1 (2 4)
160 6I1 6I 2 7 I 3
3)
3
a) Matriz Resistencia
SOLUCION Ejercicio 19:
9 4 2 I 1 100
0 1 1 I 20
2
6 6
7 I 3 160
I1= -8,15A
I2= -2,22 A
I3= 17,78 A
b) Potencia en los elementos activos OJO REEMPLAZO INCORRECTO
P160V 160 I 2
P20 A V f 1 (20A)
P160V 160 (2)
LVK:
P160V 320
P160V 320W
consume
P100V (100V )( I1 )
P100V 100(8)
P100V 800 W
160 2 I 2 V f 1 4( I 2 I1 ) 0
V f 1 160 4 I1 6 I 2
P20 A 80 I1 120 I 2 3200
P20 A 80(8) 120(2) 3200
P20 A 2800 W
Ejm:
Ejercicio 20:
4
2
Ix
I1
140V
I3
2VX
2I X
3
80V
2
+ Vx 20 A
I2
5
I4
4
I5
Respetando las corrientes de mallas asignadas.
Determinar:
a) Potencias asociadas con las fuentes controladas.
b) Potencia en la resistencia de 5 ohmios.
Nota: Todos los elementos pasivos están en ohmios.
3
SM1
Malla 1, Malla 3 y Malla 4
SOLUCION Ejercicio 20
Ecuaciones de SM1
2V X I 3 I 1
2I X I 4 I3
pero : V X 2 I 5 2 I 3
pero : I X I1
4I 5 4I 3 I 3 I1
2 I1 I 3 I 4 0
2)
I 1 5I 3 4 I 5 0 1)
Ecuación Auxiliar
140 80 I1 (2 3) I 3 (4 2) I 4 (5 4) I 2 (3 5) I 5 (2 4)
60 5I1 8I 2 6I 3 9I 4 6I 5
Malla 2
I 2 20A
SM2
4)
Malla 5
0 2I 3 4I 4 9I 5
5)
3)
4 I1 0
1 0 5 0
2 0 1 1
I 0
0
2
5 8 6
9 6 I 3 60
0
1
0
0
0
I 4 20
0 0 2 4 9 I 5 0
P2Vx V f 1 (2VX )
LVK:
140 2 I1 V f 1 3I1 3I 2 0
V f 1 140 5I1 3I 2
P2Vx (140 5I1 3I 2 )(4I 5 4I 3 )W R//
P2 Ix V f 2 (2I X )
LVK:
5( I 2 I 4 ) V f 2 4( I 4 I 5 ) 0
V f 2 5 I 2 5I 4 4 I 4 4 I 5
V f 2 5 I 2 9 I 4 4 I 5
P2 Ix (5I 2 9I 4 4I 5 )(2I1 )W R//
P2 I 2 R
P2 ( I 2 I 4 ) 2 (5)
R//