Transcript 百分比的區間估計 - Sites@Duke

主題四、估計與假設檢定
主講人
陳陸輝 特聘研究員兼主任
政治大學選舉研究中心
美國密西根州立大學博士
1
2015/4/13
政治學研究方法班
講授主題
一、樣本與母體
二、無偏估計與效率
三、偏差估計與無偏估計的效率
四、一致性估計
五、區間估計
六、小樣本的區間估計
七、獨立樣本間平均數的差異
八、配對樣本間平均數的差異
九、百分比的區間估計
十、假設檢定
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幾個估計圖形
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一、樣本與母體
（一）推論統計所使用的三種方法
（二）推論統計的主題
（三）評估估計量好壞的標準
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（一）推論統計所使用的三種方法



5
母數統計Parametric statistics
無母數統計Nonparametric statistics
貝氏統計學Bayesian Statistics
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（二）推論統計的主題


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統計估計
假設檢定
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統計估計的兩個類型


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點估計
區間估計
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家庭食品年度支出（母體）
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家庭食品年度支出（N=100）
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（三）評估估計量好壞的標準





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計算的成本(Computational cost)
最小平方(Least squares)
無偏(Unbiasedness)
效率(Efficiency)
大樣本不偏性(Asymptotic properties)
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二、無偏估計與效率
（一）、無偏
（二）、效率
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（一）無偏

當一個樣本的期望值等於他要推論的母體值時，
我們就稱此估計量為無偏估計。用統計符號表示
就是：
E(ˆ)  

E (ˆ) 就是樣本的期望值，而  是母體值。
而偏/誤差的計算方式就是
Bias  E (ˆ)   (6.1)
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隨機樣本：母體參數與樣本估計
隨機樣本是隨機自母體內抽出的一組次集合
我們運用相對次數 f/n 去計算
我們運用機率 p(x)去計算
 以及  2
X 以及 s 2
上述這些隨機變數我們就稱之為
估計量(estimators)
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上述這些固定的母體值，我們就稱之為
參數(parameters)
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（一）無偏的圖形
無 偏 估 計 :兩 個 估 計 量 的 比 較
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目標
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（二）效率
有效較高的估計式是估計值較集中的估計法，
也就是變異數較小的估計式。(請參考下
圖)
假設有兩個估計式，他們的變異數分別是Ｖ
與Ｗ，則相對有效性的計算方式為：
Ｖ相對於Ｗ的效率程度＝
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Var (V )
Var (W )
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效率的圖形
兩種估計式的分佈
P(W)
P(V)
目標
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三、偏差估計與無偏估計的效率
同時考慮無偏與效率：
平均誤差平方(Mean Squared Error， MSE) ：
MSE  E (V   ) (6.3)
2
MSE  var(V )  ( ) (6.4)
2
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三種估計量: 無偏與效率
MSE的圖形
E的變異數
最小
M的MSE
最小
U的誤差
最小
目標
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四、一致性估計
當樣本趨近於無限大時，一致性的估計式所給我
們的估計誤差，趨近於零，而且，該估計式的變
異數也趨近於零。
p limˆ   or lim Prob (| ˆ   |  )  1 (6.5)
n 
n
大樣本不偏性：當樣本增至無限大時，估計的誤差為零。
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一致性估計
一致性估計的圖形
N=200
N=50
N=10
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N=5
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五、區間估計

21
經過一般隨機抽樣程序所獲得的代表性樣本的相
關資訊以及初步統計出來的有關母體的分布，只
是根據樣本資訊來推估母體參數值的點估計，我
們在解讀的時候，還必須將抽樣誤差一併呈現，
這樣的推論才會較為合理。
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1.單一樣本的區間估計
為了讓我們的估計更有信心，我們會以區間估計
（interval estimate）也就是考慮抽樣誤差後加
入一些信賴區間(confidence interval)來做成我們
的估計。所以

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=
X
 抽樣誤差
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(6.6)
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百分之九十五的信心水準




23
一般而言，我們做區間估計時，以百分之九十五的信心
水準為原則。
在雙尾檢定時，整個分佈的左右兩邊各佔所有分布的
2.5%。用標準常態分布表可以發現其z值為1.96。所以，
我們可以說，這一個點估計的上下各1.96個標準誤
(standard error，或是SE)之下，是我們在百分之九十
五信心水準之下的區間估計。也就是
「當我們運用以下區間估計  值時，有百分之九十五的
機會，  會落在以下的區間中。」
P( X -1.96 SE <  < X +1.96 SE) = 95% (5.3)
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百分之九十五的信心水準
圖5.3 對 母體比 例估 計的95%信心程 度
p
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六、小樣本的區間估計
一般而言，當樣本數小於30而且其分布屬於常態分布時，
我們運用t分布。（查表參考593頁）
用t值做區間估計的公式是：
 = X  t 0.025
s
N
(6.12)
t值自由度（degree of freedom, df）的計算方式是：
df = N-1 (6.13)
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七、獨立樣本間平均數的差異
以百分之九十五信賴區間，兩套獨立樣本間的差
異為：
1   2 = ( X 1  X 2 ) 
z 0.025
 12
N1

 22
N2
(6.15)
如果兩個母體的變異數相同，公式可以改寫為：
1   2
26
1
1
= ( X 1  X 2 )  z 0.025 *  * N  N
1
2
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(6.16)
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不知母體的變異數，獨立樣本間平均數之差異
不知道母體的變異數時，百分之九十五信賴區間，獨立樣本
間的差異就變成：
1
  2 = ( X 1  X 2)  t 0.025 * s P *
1
1

(5.11)
N1 N 2
而的計算方式，在假定兩個母體的變異數相同的情況下，它
的計算公式為：
2
( X 1  X 1 ) 2  ( X 2  X 2 ) 2
(5.12)
P =
( N 1  1)  ( N 2  1)
s
估計t分布的自由度的計算方式則是
27
df= ( N 1  1 )+( N 2  1 ) (5.13)
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八、配對樣本間平均數差異的估計
先計算個別選民評分的差異：
D = X1 - X
2
(6.20)
建構平均母體差異，△，的信賴區間：
s D (6.21)
△ ＝ D  t
0.025
N
( D  D ) 2 (6.22)
2
sD 
N 1
也可以用以下的公式計算與表示
sD
△ ＝ 1   2 = ( X  X )  t 0.025
(6.23)
1
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2
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N
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九、百分比的區間估計
（一）單一大樣本的區間估計
（二）兩套獨立樣本差異的區間估計
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（一） 單一大樣本的區間估計

以百分之九十五的信心水準而言，在大樣本時對母體百
分比的區間估計公式為：
  P  1.96
 (1   )
N
(6.24)
其中，
 = 母體的比例
P = 樣本的比例
N = 樣本數
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（二）兩套獨立樣本差異的區間估計

例如，我們要估計兩個不同時間點所做的民意調查，
是不是出現了顯著差異時，我們若是要對兩次訪問
的差異進行比較，以百分之九十五信心水準而言，
估計公式為：
P1 (1  P1 ) P2 (1  P2 )
 1   2  ( P1  P2 )  1.96

N1
N2
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十、 假設檢定
在統計上，有以下兩種假設。
1) 虛無假設(null hypothesis)
通常用 H 0來代表。
2) 對立假設(alternative hypothesis)
通常用 H1 來表示，也有用H A 來表示的。
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統計假設的兩種決策
1)
2)
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拒絕虛無假設
通常p值小於0.05。
不拒絕虛無假設
通常p值大於或是等於0.05。
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兩種統計上假設檢定的錯誤類型
表7-1
統計檢定的兩種錯誤類型表
事實
H0
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決
不拒絕H
策
拒絕
H0
0
為真
H1
為真
1- (正確機率)  (錯誤機率)

(錯誤機率) 1-
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(正確機率)
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幾個統計檢定常用的名詞
(1- )乘以100我們稱之為信心水準(confidence level)。
我們常說的百分之九十五信心水準，就是當 等於5%時，
計算出來的結果。
 又稱之為顯著程度（significance
level），也就是我們犯
下第一型錯誤的機率。
（1-  ）稱之為檢定力(power of a test)或是統計的效力
(statistical power)。
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古典的假設檢定的步驟
1)設定虛無假設以及對立假設，並確定樣本數、標準差
以及顯著程度，一般而言，統計上可以接受的顯著
程度為0.05或是更小的值。
2)利用上述資訊找出統計檢定的判別值(critical value)
（通常用Z*來表示）以及拒絕虛無假設的區域。
3)利用公式，計算觀察樣本的Z值。如果我們觀察樣本
的Z值大於統計檢定的判別值，我們就拒絕虛無假設；
否則，就不拒絕虛無假設。
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假設檢定判別值的決定
單尾檢定而言，
統計檢定決定的Z*值在α=0.05時為1.645。
雙尾檢定而言，
統計檢定決定的Z*值在α=0.05時為1.96。
而計算Z值的公式為
Z =|
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X  0
/ N
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| (5.21)
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SPSS的具體操作：獨立樣本T檢定
我們要檢視不同性別對兩個政黨喜好程
度是否存在顯著差異
TEDS2008PE
對國民黨喜好程度N2
對民進黨喜好程度N2A
性別S18
政黨喜好重新編碼成0~10（其他設為遺
漏值）
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性別與主要政黨喜好差異
對國民黨喜好程度N2N
對民進黨喜好程度N2AN
假設此兩個變數為數字資料
性別S18：1男性;2女性
Analyze Compare Means
Independent-Samples T-Test
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性別與主要政黨喜好差異KMT
統計的假設：
H 0 : 1  2
H a : 1  2
你的研究假設？
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性別與主要政黨喜好差異KMT
Levene's Test for Equality of Variances
虛無假設：變異數相等
對立假設：變異數不相等
Sig<0.05看第二行資訊
Sig>0.05看第一行資訊
Sig, p值與統計的虛無假設
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性別與主要政黨喜好差異KMT
表一 不同性別對國民黨評分差異的獨立樣本 T 檢定結果
平均數
標準差
樣本數
統計檢定結果
男性
4.97
2.54
904
t=-1.864,df=1,759
女性
5.20
2.51
857
p=0.063
資料來源：游清鑫，（2009）。
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性別與主要政黨喜好差異KMT
統計說明：
從表一的資訊中我們發現：t值為-1.864自由度為
1,759，查表得知p>0.05，所以無法拒絕虛無假設，男
性與女性對國民黨的評價並不具備統計上的顯著差異。
論文描述：
表一中我們發現：男性對於國民黨的評價分數為4.97，
低於女性的5.20。不過，經過統計上的檢定我們得知，
兩者並不具備統計上的顯著差異。本研究假設並未驗
證。
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性別與主要政黨喜好差異DPP
研究假設：
統計的虛無假設與對立假設
表二 不同性別對民進黨評分差異的獨立樣本 T 檢定結果
平均數
標準差
（樣本數）
統計檢定結果
男性
4.68
2.49
（896）
t=2.034,df=1,744
女性
4.43
2.55
（850）
p<0.05
資料來源：游清鑫，（2009）。
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性別與主要政黨喜好差異DPP
統計說明：
從表二的資訊中我們發現：t值為2.034自由度為1,744，
查表得知p<0.05，所以拒絕虛無假設，男性與女性對
民進黨的評價具備統計上的顯著差異。
論文描述：
表二中我們發現：男性對於民進黨的評價分數為4.68，
低於女性的4.43，且經過統計上的檢定我們得知，兩
者具備統計上的顯著差異。本研究假設主張男性對民
進黨的評價分數較女性為高，獲得支持。
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SPSS的具體操作：配對樣本T檢定
我們要檢視民眾對兩個政黨喜好程度是
否存在顯著差異
Analyze Compare Means
Paired-Samples T-Test
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民眾對兩個主要政黨喜好的差異
統計的假設：
H 0 : 1  2
H a : 1  2
你的研究假設？
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民眾對兩個主要政黨喜好的差異
表三 民眾對國民黨與民進黨評分差異的配對樣本 T 檢定結果
平均數
標準差
（樣本數）
統計檢定結果
國民黨
5.07
2.52
（1,743）
t=5.007,
民進黨
4.56
2.52
（1,743）
df=1,742
差 異
0.51
4.26
（1,743）
p<0.001
資料來源：游清鑫，（2009）。
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民眾對兩個主要政黨喜好的差異
統計說明：
從表三的資訊中我們發現：t值為5.007自由度為1,742，
查表得知p<0.001，所以拒絕虛無假設，民眾對國民
黨與民進黨的評價具備統計上的顯著差異。
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論文描述：
表三中我們發現：民眾對於國民黨的評價分數為5.07，
高於對民進黨的4.56，且經過統計上的檢定我們得知，
兩者具備統計上的顯著差異。本研究假設主張：因為
扁家弊案與國民黨勝選，使得民眾對國民黨的評價分
數較民進黨顯著為高，此一主張獲得支持。
政治學研究方法班
2015/4/13
SPSS的具體操作：單一樣本T檢定
我們要檢視民眾對政黨喜好程度與
特定數值是否存在顯著差異
Analyze Compare Means
One-Samples T-Test
50
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2015/4/13