由波函数引起的衰变的不确定性研究
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杭州会议报告2011-10-12
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Uncertainty study of
DS ( D ) ® gln (l = e, m) decays
determined by wave function
侯
宇
召
介子的辐射性纯轻衰变不仅仅只与衰变常数有关，
同时还与介子的波函数有很大的关系。这就决定了对
介子的辐射性衰变的理论预言具有了很大的强子型的
不确定性。我们以D-以及D为例，通过利用他们的波
函数来描述其正反夸克强子化的过程的方法来计算了
其辐射性纯轻衰变得分支比，并详细的讨论了由介子
波函数而引起的D-以及D介子辐射性纯轻衰变的不确
定性。
最近几年在研究重粒子衰变时得到的波函数类
型主要有：GEN（Gegenbauer polynomial-like form）、
MGEN（exponential form）、KKQT、KLS、Huang [1]
等等。由于结构函数的类型不同，函数内参数值也不
确定，从而导致了在求解B、D介子衰变时产生了不
确定性。我们研究的是D介子的纯轻衰变时由波函数
及其参数而导致的不确定性。
利用介子的结构函数及波函数的各种模型来研
究介子的放射性纯轻衰变的不确定性。
1、介子的波函数：
实验室没有观测到自由夸克的存在，组成介子的夸克被禁
闭在介子的内部，而夸克禁闭是强相互作用的特征，为了刻画
这种强相互作用，人们引进了介子的波函数。我们利用的是狄
拉克（Dirac）旋量结构得到的波函数展开。一般情况下，可
以按照16个旋量结构展开：这16个旋量结构分别
m
mn
是 1a b ，g amb ，s a b ， (g g5 )a b ， g5ab [2]。
m
(
g
g5 )a b
对于重赝标介子M，我们只考虑领头阶
g5a b
和
的贡献，其它的贡献忽略不计，这样重介子的
波函数就可以写为：
Y M ,a b =
其中，
量， f
i
A
P
(PM g5 )a b f M + g5a b f M
2 Nc
{
}
Nc = 3 是颜色自由度， PM 是相应的介子动
A
M
是介子中轻夸克的四动量分布函数， f
介子中重夸克的四动量分布函数。
P
M
是
利用重夸克的有效理论，我们可以将介子的波函
数化为：
Y M ,a b =
i
(PM g5 )a b + M B g5a b f
2 Nc
{
}
M
( x, b)
x 表示轻夸克携带的动量分数，b 代表轻夸克横向动
量的共轭，
a b 是旋量指标。我们采用的Lorentz标量波
函数的具体形式如下：[3-4]
Gen
M
1
( x, b)
f M 6 x(1 x)[1 CD (1 2 x)] ,
2 2 NC
1
1 xM D 2
( x, b 0)
f M N M x(1 x) exp[ (
) ] ,
2
2 2 NC
KLS
M
GN
M
KKQT
M
xM D
1
( x, b 0)
f M N M x exp[
] ,
2 2 NC
2 D
2 D
1
( x, b 0)
f M N M x ( x) (
x) J 0 (b x(
x)) ,
MD
MD
2 2 NC
2
2
(1
x
)
m
xm
1
d
c
MHuang ( x, b 0)
f M N M x(1 x) exp( D
) ,
x(1 x)
2 2 NC
其中 NM是函数的归一化常数， fM是介子的衰变常数。
第一个波函数 MGen 是Gegenbauer的多项式模型的，其
KLS
C
0.7
中 D
。第二个M 是高斯模型的波函数。
第三个函数模型
KKQT
M
GN
是指数型的。第四个M
是通过解运动方程得出的波函数，其中，
尔函数。最后一个
Huang
M
J 0 是贝塞
是由函数模型得出的波
函数。其中 md 0.37GeV , mc 1.5GeV , D 0.75 。除
了
KKQT
M
模型中 x 表示重夸克携带的动量分数外，
其它模型中 x 表示轻夸克携带的动量分数。在这里我
们认为波函数中的横动量部分是无关的，所以我们假
定
b 0 。其图形如下：
图 1
波函数的归一化为：
ò
1
0
f
M
fM
(x)dx =
2 2 Nc
其中 Nc = 3 是颜色自由度， f M
常数。
是介子的衰变
以前关于D介子研究的文章中仅仅只计算
了衰变中主要图像的贡献而忽略掉了其他图形
的贡献，这对于B介子来说毫无疑问是可以的，
但是对D介子来说就等于忽略掉了很重要部分
的贡献。2003年文献[5]的文章中就提到了这一
点，他们详细的计算了每一幅图形的贡献并做
了对比。在其文章中指出B介子的各副图的贡
献与总的贡献的比例是a:b:c: a+b+c =
1.40:0.0005: 0.04: 1，可以看出与a相比b和c
的贡献可以忽略不计。
然而对于DS介子来说其比例关系为
a:b:c:a+b+c=14.27:3.47:17.32:1，对于D-介子
来说是a:b:c:a+b+c=7.30:0.94:6.03:1，从比例
关系中可以得出对于D介子来说其b和c的贡
献不可以忽略。在本文中，我们利用D介子的
波函数来描述其强子化过程，详细的计算了D介子和D介子辐射性纯轻衰变的分支比，并对
其不确定性进行了分析。
2、D介子的纯轻衰变的不确定性研究
在标准模型下，纯轻衰变的四动量费曼图为：[6]
Ds ( D ) l
图 2
但是由于轻子的质量太小，甚至可以忽略不计，纯轻
2
2
m
m
D
(
D
)
l
衰变 s
受到了螺旋 l
DS 抑制。但是
如果有一个外加的光子
从带电粒子中放出的话，
这种抑制就会被克服[7] 。 D ( D ) l
s
而纯轻衰变 D ( D ) l 中共有四个带电粒子。这样衰变
s
就变为放射性的衰变 D ( D ) l ，其费曼图如下图：
s
图 3
然而当光子从中间波色子中放出时会有一个很小的因子，与其他
三幅图相比他可以忽略。这样我们只需计算光子从c夸克（粲夸
克）、 s夸克（奇异夸克）和从轻子中放出时的三幅费曼图。
其相应的有效哈密顿量为：
H a i 2GF eVcs c[Qc
H b i 2GF eVcs c[Qs PR
p p c mc
( pc p )
p s p ms
H c i 2GF eVcs (c PL s )[l
PL ]s (l PL ),
( ps p )
]s (l PL ),
p p l ml
( pl p )
PL ],
然后根据介子衰变常数的强子矩阵元的表达式：0 c 5 s Ds if D pD
s
[8]并且在忽略掉抑制因子 ml mc 后，可以得到其衰变振幅：
2eGFVcs
1
1
f B [(
2
)i pB p
6
( ps p )
( pc p )
1
1
(6
2
)( p p ) pB ](l PL )
( ps p )
( pc p )
s
利用波函数的归一化条件可以得到：
1 ( x)
1 ( x)
2eGFVcs
2 2 N c [(
dx 2
dx)i pDs p
0 (p p )
0 (p p )
6
s
c
1
( x)
0
( ps p )
(6
1
( x)
0
( pc p )
dx 2
dx)( p p ) pDs ](l PL )
由波函数的定义可以得到： ps (1 x) PDs , pc xPDs
代入上式中得到：
1 ( x)
1 ( x)
2eGFVcs
2 2 N c [(
dx 2
dx)i pDs p
0 (1 x )
0 ( x)
6 PB p
1
( x)
0
(1 x)
(6
1
( x)
0
( x)
dx 2
dx)( p p ) pDs ](l PL )
化简后得到：
其中
6eC
[C1i pDs p
6
C2 ( p p ) pDs ](l PL )
C 2 2GFVcs ,
1 ( x)
( x)
C1
dx 2
dx ,
0 (1 x )
0 ( x)
1 ( x)
1 ( x)
C2 6
dx 2
dx.
0 (1 x )
0 ( x)
1
我们将振幅 A平方后对其变量进行归一化，然后可以
得到衰变宽度对光子能量的微分：
d
6C 2
2
2
(C1 C2 )(M Ds E ) E
2
dE
(12 )
最后对光子的能量值
E
积分得到衰变宽度：
3
M Ds
C 2
2
2
(C1 C2 )
2
(24 )
即可以通过公式
Br
Ds
得到D介子衰变的分支比 。
,
表 1 波函数种类与影响因子的关系
波函数
KLS
GN
GEN
Huang
KKQT
(C12 C22 ) D l
S
24.0445
28.4296
30.7426
30.1052
39.4907
(C12 C22 ) D l 24.5063
28.4446
30.7426
30.0337
36.4470
表 2 波函数中的参数变化时对分支比的影响
波函数
参数
Br(D-s)×10-5
Br(D-)×10-6
GEN
CD=0.7±0.1
1.263488±0.001868
1.157828±0.001686
GN
=0.4±0.1
1.169734±0.08120
1.069288±0.018315
KKQT
D=0.75±0.1
1.620095±0.137970
1.370613±0.034177
KLS
=0.4±0.1
1.025390±0.091764
0.953498±0.082003
Huang
D=0.75±0.1
1.237763±0.007077
1.132268±0.006844
S
表 3 波函数的种类对分支比的影响
波函数
KLS
Br( DS l ）
1.025390
×10-5
D
)l
Br(
×10-6
0.953498
C.D. Lu
GN
GEN
Huang
KKQT
1.169734
1.263488
1.237763
1.620095
1.8
1.069288
1.157828
1.132268
1.370613
4.6
图4中的(a) ,(b)两图分别表示了D介子和D-介子的辐
射性纯轻衰变的衰变宽度与光子能量的微分比例关系。
由图中我们可以看出，虽然当选取的波函数种类不同
时各条曲线具有相同的形状，但是不同的波函数却有
不同的峰值， D介子和D-介子的辐射性纯轻衰变的峰
值的变化范围分别为(2.0-3.5)×10-17和(0.9-1.4)×10-18。
同时还可以明显的看出虽然其峰值在小范围内有一定
的变化，但其还在各自的量级10-17和10-18上。
表 1，表 2和表 3则详细的显示了由波函数而引起
的D(D-)介子辐射性纯轻衰变的不确定性的数值分析。
表 1显示了波函数种类对影响因子的影响，影响因子
包含了所有来自于波函数的影响；表 2显示了当波函
数中的参数变化时而引起的分支比的变化，从表中可
以看出参数的变化对D和D-的辐射性纯轻衰变的影响不
是很大，近似可以忽略；表 2波函数的种类对分支比
的影响，表中明显的显示出了分支比对波函数种类的
变化比较敏感，由波函数的种类而引起的D和D-介子衰
变分支比的变化(1.025390-1.706812)×10-5 和
(0.953498-1.576725)×10-6。
表3 中我们还可以看出在5种波函数中，
KLS
D
得出的
曲线较低，其得出的影响因子和分支比的数值也较小，
DKKQT
得出的曲线最高，其得出的影响因子和分支比的数值
也较大，而其他三种波函数得出的曲线几乎重合在一
块，而且其数值也比较接近，所以我们认为,另外三个
波函数比较适合用来研究D(D-)的衰变。
参考文献
[1] Lu Cai-Dian and Song Ge-Liang. Physics Letters B, 2003,562: 75 – 80.
[2] CHEN Jun-Xiao, HOU Zhao-Yu, Li Ying and Lu Cai-Dian.High Energy
Physics And Nuclear Physics 2006, 4(30):289-293.
[3] LI Run-Hui, Lu Cai-Dian and Zou Hao. Phys. Rev. D, 2008,78: 014018.
[4] Hsieh Ron-Chou and Chen Chuan-Hung. Phys. Rev. D,2004, 66:
057504; LI Ying, HUA Juan. Chinese Physics C 10(32) :781-787.
[5] Lu Cai-Dian and Song Ge-Liang. Physics Letters B, 2003,562: 75 – 80.
[6] Gustavo Burdman, Goldman T and Daniel Wyler. Phys.
Rev. D, 1995, 51: 111.
[7] Particle Data Group. Phys. Rev. D, 2002, 66(1): 1.
谢 谢！
在计算过程中我采用了以下的参数：
M Ds 1.97Gev ,
Vcs 0.974 , M D 1.87Gev ,
Vcd 0.22, Ds 0.5 1012 ,
D 1.05 10
12
,
f Ds 0.23Gev ,
f D 0.23Gev
6.582122 1025 , 1/137, N c 3,
CD 0.7 , D 0.75 , 3.14159265359 ,
5
GF 1.66 10 GeV
mc 1.5
2
, 0.4 , md 0.37 ,