Transcript Из истории «Теории вероятностей»

Элективный курс
«Основные вопросы теории
вероятностей и математической
статистики»
МОУ « Кинделинская средняя общеобразовательная школа»
ПРОЕКТ
Основные понятия теории вероятностей и
математической статистики.
Руководитель проекта: Черненко А.А.
Участники проекта: Федулова Н, Власова Ю; Ученицы 9 «б» класса.
Теория и практика
Люди играют с кубиком, в "орла или решку", во
всевозможные лотереи поскольку уверены в том, что эти
игры справедливы, т.е. возможный результат каждого
события имеет одинаковую вероятность – в противном
случае эти игры просто бы не существовали.
Теория и практика
Если подброшенная на ваших глазах реальная
монета 100 раз или хотя бы 10 подряд упала
"орлом" вверх, то вы можете быть уверены, что
она "неправильная", возможно, фальшивая – у
нее явно смещен центр тяжести
Актуальность проекта.
Математическая статистика и теория
вероятностей – науки, занимающаяся
методами обработки экспериментальных
данных, полученных в результате наблюдений
над случайными явлениями, обработкой и
анализом количественных данных о
разнообразных массовых явлениях,
происходящих в обществе. Статистика
изучает численность отдельных групп
населения страны и ее регионов, производство
и потребление товаров, перевозку грузов и
пассажиров, природные ресурсы. Методы
теории вероятностей широко используются на
практике.
Поле смысложизненных ориентиров теории
вероятностей и статистики:
•Технология
•Информатика
•Спорт
•История
•Экономика
•Математика
•Биология
•География
Матрица проекта
Над проектом работали
Автор проекта
руководитель
название школы
Власова Ю, Федулова Надежда
Черненко А.А.
МОУ «Кинделинская средняя школа»
Описание проекта
Название темы проекта
Основные понятия и занимательные задачи теории вероятностей.
Цели – на основе анализа математической и методической литературы
изучить основы теории вероятностей и математической статистики;
формирование умений составлять и решать задачи на применение
статистических понятий; рассмотреть занимательные задачи.
Задачи – сбор информации; разработка методического пособия для учащихся
7-9 классов «Основы теории вероятностей и математической статистики»
Приблизительная продолжительность проекта
Проект рассчитан на 3 недели:
Этапы реализации проекта.
1. Сбор и систематизация информации по теме.
2. Подготовка вопросов к руководителю.
3. Оформление результатов работы.
4. Отчет о проделанной работе. Презентация проекта.
Ожидаемые результаты
Внешним проектом проекта станут созданные материалы: пособие, презентации на
электронном носителе.
Внутренний продукт проекта: формирование умения использовать различные источники
информации; умения работать с компьютером; использовать в своей работе ресурсы
Интернета; умения решать задачи по теории вероятностей и математической статистики.
Основополагающий Что изучает теория вероятностей и какие она решает задачи?
вопрос
Материалы и ресурсы, необходимые для проекта
оборудование



компьютер
принтер
сканер
Материалы
на
печатной основе
1.Афанасьев, В.В. Школьникам о вероятности в играх. Введение в теорию
вероятностей : для учащихся 8-11 классов / В.В. Афанасьев, М.А. Суворова. –
Ярославль: Академия развития, 2006. – 192 с.
2.Вентцель, Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятностей / Е.С. Вентцель,
Л.А. Овчаров. – М.: Высшая школа, 2002. – 445 с.
3.Глеман, М. Вероятность в играх и развлечениях Элементы теории вероятностей
в курсе сред. школы : пособие для учителя/ М. Глеман, Т. Варга. – М.:
Просвещение, 1979. – 176 с.
4.Гмурман, В.Е. Руководство по решению задач по теории вероятностей и
математической статистики / 5.В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 1999. – 400 с.
http://ww.wikipedia.org
http://ru.wikipedia.org
Интернет-ресурсы
http://www.numbers.netai.ru
http://www.slovopedia.com/14/194/1011847.html
http://otherreferats.allbest.ru/mathematics/00045533_0.html
«Основы теории вероятностей и
математической статистики»
Пособие для учащихся
Для тех, кто хочет знать больше!
Составители: Федулова Н, Власова Ю.;
Руководитель : Черненко А.А.
c. Кинделя 2011 год
Содержание
Предисловие
Часть 1. История возникновения и развития теории
вероятностей.
Часть 2. Основные понятия теории вероятностей.
2.1Относительная частота случайного события.
2.2 События и испытания
Часть 3. Занимательные задачи теории вероятностей.
3.1. «Легкомысленный член жюри»
3.2. «Странное метро»
3.3. « Нетерпеливые дуэлянты»
3.4. « Трехсторонняя дуэль»
3.5. «Выбор наибольшего приданого»
Часть 4. Описательная статистика
4.1 Среднее арифметическое чисел
4.2. Размах
4.3. Мода
4.4. Медиана
Часть 5. Статистический практикум
Ответы к задачам.
Список литературы.
Предисловие.
В повседневной жизни, в практической и научной деятельности часто
наблюдают те или иные явления, проводят определённые эксперименты.
Люди играют с кубиком, в «орла или решку», во всевозможные лотереи
поскольку уверены в том, что эти игры справедливы, т.е. возможный
результат каждого события имеет одинаковую вероятность – в противном
случае эти игры просто бы не существовали. Закономерности случайных
событий изучает специальный раздел математики, который называется
теорией вероятностей. Изучение теории вероятностей и статистики в
школьный курс было введено недавно, и в настоящее время существуют
проблемы с реализацией этого материала в школьных учебниках.
Это пособие является дополнительным к учебникам алгебры для учащихся 7-9х классов. В него включены основные понятия теории вероятностей и
статистики ,задачи на применение этих понятий. Что бы от работы с
пособием получить больше удовольствия в данном пособие предложены
история возникновения этой науки и пять занимательных задач по теории
вероятностей. Для решения, которых требуется лишь здравый смысл, но, тем
не менее, каждое решение сопровождается строгими, логическими
рассуждениями и арифметическими вычислениями, превращающими гипотезы
в неопровержимые факты.
Пособие, может быть, использовано учащимися 7-9-х классов и учителем на
уроках математики, информатики, а так же на занятиях кружка.
Вечные истины
Математику многие любят за ее
вечные истины: дважды два всегда
четыре, сумма четных чисел четна,
а площадь прямоугольника равна
произведению его смежных
сторон.
В любой задаче, которую мы
решаем на уроках математики, у
всех получается один и тот же
ответ – нужно только не делать
ошибок в решении.
Случайные события
Реальная жизнь оказывается не такой
простой и однозначной.
Исходы многих явлений невозможно
предсказать заранее, какой бы
полной информацией мы о них не
располагали.
Нельзя, например, сказать наверняка,
какой стороной упадет брошенная
вверх монета, когда в следующем
году выпадет первый снег или
сколько человек в городе захотят в
течение ближайшего часа позвонить
по телефону.
Такие непредсказуемые явления
называются случайными
Случай имеет свои законы !
Однако случай тоже
имеет свои законы,
которые начинают
проявляться при
многократном
повторении случайных
явлений.
Именно такие
закономерности
изучаются в
специальном разделе
математики – Теории
вероятностей.
Случайность и здравый смысл
«Теория вероятностей есть в сущности не что
иное, как здравый смысл, сведенной к
исчислению»
Лаплас
В настоящее время
Теория вероятностей
имеет статус точной науки
наравне с арифметикой, алгеброй,
геометрией, тригонометрией и т.д.
Этот раздел математики уже входит в школьные
учебники и включен в программу экзамена.
А начиналось все весьма своеобразно…
Азартные игры
Богатый материал для
наблюдения за
случайностью на
протяжении многих
веков давали азартные
игры
У истоков науки
В археологических
раскопках специально
обработанные для игры
кости животных
встречаются, начиная с
V века до н.э.
Самый древний игральный
кубик найден в
Северном Ираке и
относится к IV
тысячелетию
до н.э.
Закономерности
в случайных событиях
Люди, многократно следившие за бросанием
игральных костей, замечали некоторые
закономерности, управляющие этой игрой.
Результаты этих наблюдений формулировались как
«Золотые правила» и были известны многим
игрокам.
Однако первые вычисления появились только в X-
XI веках.
Знаменитая задача
Одна из самых знаменитых задач, способствовавших
развитию теории вероятностей, была задача о
разделе ставки, помещенная в книге Луки
Паччиоли (1445- ок.1514).
Книга называлась «Сумма знаний по арифметике,
геометрии, отношении и пропорции» и была
опубликована в Венеции в 1494 году.
Задача Паччиоли
Новые имена
Следующим человеком, который внес
значительный вклад в осмысление
законов, управляющих случаем,
был Галилео Галилей (1564 -1642).
Именно он заметил, что результаты
измерений носят случайный
характер.
Результаты физических
экспериментов нуждаются в
поправках, основанных на
теории вероятностей.
Новые имена
Важный этап в развитии теории
вероятностей связан с именами
французских математиков
Блеза Паскаля (1623 -1662) и
Пьера Ферма (1601- 1665).
В ответах этих ученых на запросы
азартных игроков и переписке
между собой были введены
основные понятия этой теории –
вероятность события и
математическое ожидание
Задача кавалера де Мере
На пути становления науки
Выдающийся голландский математик,
механик, астроном и изобретатель
Х.Гюйгенс (1629 - 1695) под влиянием
переписки Паскаля и Ферма
заинтересовался задачами
вероятностного характера, результатом
чего явилась работа «О расчетах в
азартных играх».
Трактат Гюйгенса выдержал несколько
изданий и был единственной книгой по
теории вероятностей в XVII веке.
На пути становления науки
Но как математическая наука теории
вероятностей начинается с работы
выдающегося швейцарского
математика Якоба Бернулли (1654
-1705) «Искусство
предположений».
В этом трактате доказано ряд теорем,
в том числе и самая известная
теорема «Закон больших чисел»
На пути становления науки
Развитие естествознания и
техники точных измерений,
военного дела и связанной с
ней теории стрельбы, учение о
молекулах в кинетической
теории газов ставило перед
учеными конца XVIII века все
новые и новые задачи теории
вероятностей
История продолжается



Крупнейшими
представителями теории
вероятностей как науки
были математики
П.Лаплас (1749-1827)
К. Гаусс (1777-1855)
С. Пуассон (1781-1840)
Русский период в развитии теории
вероятностей
Особенно быстро теория
вероятностей развивалась во
второй половине XIX и XX вв.
Здесь фундаментальные открытия
были сделаны математиками
Петербургской школы
П.Л.Чебышёвым (1821-1894),
А.М.Ляпуновым (1857-1918),
А.А.Марковым (1856-1922).
Недалекое прошлое
Строгое логическое обоснование теории
вероятностей произошло
в XX в. и связано, в первую очередь, с
именами математиков
С.Н.Бернштейна,
А.Н.Колмогорова
Б.П.Гнеденко,
Ю.В.Линника
События и испытания


Предметом исследования в теории
вероятностей являются события,
появляющиеся при определенных условиях,
которые можно воспроизводить
неограниченное количество раз.
Каждое осуществление этих условий
называют испытанием
Примеры
Вероятность случайного события
Степень объективной возможности случайного
события можно измерять числом.
Это число называется
вероятностью случайного события.
Около этого числа группируются относительные
частоты данного случайного события
Относительной частотой
случайного события называют
отношение числа появлений
этого события к общему числу
проведённых экспериментов.
Если подброшенная на ваших глазах реальная монета 100
раз или хотя бы 10 подряд упала «орлом» вверх, то вы
можете быть уверены, что она «неправильная»,
возможно, фальшивая – у нее явно смещен центр
тяжести.
Вот таблица результатов 100 экспериментов по
подбрасывании монеты полученные девятиклассниками.
Событие
Всего
«Орёл»
44
«Решка»
56
Значит частота выпадения «орёл»
равна44:100=0,44, а частота выпадения
«решка» равна 56:100=0,56.
События могут быть
Достоверные
Невозможные
Случайные
Несовместные
Независимые
Противоположные
Для решения вероятностных задач
необходим здравый смысл и строгая
логика рассуждений, подтвержденная
точными расчетами
В данной части предложены пять задач по
«Теории вероятности», для решения которых
требуется лишь здравый смысл, но тем не
менее каждое решение сопровождается
строгими логическими рассуждениями и
арифметическими вычислениями,
превращающими гипотезы в
неопровержимые факты.
Содержание
Легкомысленный член жюри
Странное метро
Нетерпеливые дуэлянты
Трехсторонняя дуэль
Выбор наибольшего приданного
Легкомысленный член жюри
В жюри из трех человек два члена
независимо друг от друга
принимают правильное решение с
вероятностью p, а третий для
внесения решения бросает монету
(окончательное решение
выноситься большинством голосов).
Жюри из одного человека выносит
правильное решение с
вероятностью p. Какое из этих
жюри выносит правильное
решение?
Решение
Странное метро
Виктор кончает работу во время между 15 и 17 часами. Его мать и
невеста живут в противоположных частях города. Виктор садиться
в первый подошедший к платформе поезд, идущий в любом
направление, и обедает с той из дам, к которой приедет. Мать
Виктора жалуется на то. что он редко у нее бывает. Но юноша
утверждает, что его шансы обедать с ней и с невесткой равны. Он
обедал с матерью дважды в течение 20 рабочих дней. Объясните
это явление.
Решение
Нетерпеливые дуэлянты
Дуэли в городе Осторожности редко кончаются
печальным исходом. Дело в том, что каждый
дуэлянт прибывает на место встречи в
случайный момент времени между 5 и 6 часами
утра и, прождав соперника 5 минут, удаляется. В
случае же прибытия последнего в эти пять
минут дуэль состоится. Какая часть дуэлей
действительно заканчивается поединком.
Решение
Трехсторонняя дуэль
А, В и С сходятся для трехсторонней дуэли.
Известно, что для А вероятность попасть в цель
равна 0,3, для С-0,5, а В стреляет без промаха.
Дуэлянты могут стрелять в любого противника по
выбору. Первым стреляет А, затем В, дальше С и
т.д. в циклическом порядке (раненый выбывает из
дуэли), пока лишь один человек не останется
невредимым. Какой должна быть стратегия А?
Решение
Выбор наибольшего
приданого
Король для испытания кандидата на роль
придворного мудреца предлагает ему
женитьбу на молодой придворной даме,
имеющей наибольшее приданое. Сумма
приданого записывается на билетиках и
они перемешиваются. Наудачу вытягивается
билетик и мудрец должен решить, является ли это приданое наибольшим. Если он
выносит правильное решение, то получает
эту леди в жены вместе с приданым, в противном
случае - не получает ничего. При отказе от суммы,
указанной в первом билетике, мудрец должен
вытянуть второй билет и отказаться или нет от него
и т.д., пока не сделает выбор или не отвергнет все
приданые. При дворе короля всего несколько богатых и
привлекательных дам, все их приданые различны. Как
должен действовать мудрец?
Решение
Среднестатистические
характеристики:
Среднее арифметическое
 Размах
 Мода
 Медиана

Определение:
Средним арифметическим ряда
чисел называется частное от
деления суммы этих чисел на число
слагаемых.
Пример 1.
В таблице показан расход электроэнергии некоторой семьей в течении
года:
месяц
Расход, кВтч
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
85
80
74
61
54
34
32
33
62
78
81
82
Найдите средний ежемесячный расход электроэнергии этой семьей.
(85+80+74+61+54+34+32+33+62+78+81+82):12=6
3
Ответ: 63 кВтч
Определение:
Размахом ряда чисел
называется разность между
наибольшим и наименьшим
из этих чисел.
Определение
Модой ряда чисел называется
число, чаще других
встречающееся в данном ряду.
Пример 3.
За день было продано в универмаге 22 пары женских
туфель. Статист изучал размеры проданной обуви и
получил такой ряд данных:
36, 35, 37, 36, 37, 38, 39, 37, 38, 36, 37, 38, 39, 39, 38, 37, 37,
37, 38, 35, 37, 37.
Упорядочим данный ряд:
35,35, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 38, 38, 38,
38, 38, 39, 39, 39.
Оказалось, что туфлей с размером 37 продали больше
всего.
Число 37 и есть мода данного ряда.
Определение:
Медиана число, которое
разделяет упорядоченный
числовой набор на две
одинаковые по численности
части.
Решаемая задача:
В таблице показано рост учащихся
№
1
2
3
4
5
6
Фамилия
Бикеева
Бражникова
Власова
Второва
Компаниец
Константинов
Рост
№
160
172
165
159
167
158
7
8
9
10
11
12
Фамилия
Рост
Корнева
Кильдяйкин
Маратканова
Стрехнёв
Тельнов
Федулова
165
155
167
175
163
171
Найдите среднее арифметическое, размах, моду и медиану данного ряда.
Решение:
1.
2.
3.
Среднее арифметическое данного ряда:
(160+172+165+159+167+158+165+155+167+175+163+171):12=164,75
Размах ряда:
175-155=20
Мода данного ряда:
числа 165 и 167.
4.
Медиана ряда:
155;158;159;160;163;165;165;167;167;171;172;175.
(165+165):2=165
Ответ: среднее арифметическое – 164,75,
размах – 20, мода – 165,167.
Статистический практикум
Задача 1
Найти среднее арифметическое, медиану, размах и моду следующих
наборов чисел:
а) 1,2, 3, 4, 5, 6,7;
б) 1, 3, 5, 6, 8, 8, 9;
Задача 2
Найти:
а) медиану и моду числового набора 10, 11,11, 12, 13, 14, 14, 17;
б) медиану вот такого числового набора 5, 4, 1, 9, 2, 8, 6, 7;
Задача 3
Имеется 5 бочек с вином объёмом 40, 50, 60, 100, 70 литров
соответственно. Насколько отличается среднее арифметическое этого
набора чисел от его медианы.
Задача 4
Постройте круговую диаграмму результатов контрольной работы по
математике. В классе 23 человека, на «5» написали 5 человек, на «4»
- 9 человек, на «3» - 7 человек, остальные не справились с
контрольной работой.
Задача 5
В ходе наблюдения за изменением подъёма уровня воды в течение суток
были выписаны значения нескольких замеров: 13, 19, 24, 17, 15, 13,
11. Определить медиану, моду и среднее арифметическое полученного
набора чисел.
Задача 6
В результате наблюдения за изменением температуры в течение суток
были выписаны значения нескольких замеров: -5, -2, 0, 4, 1, -2, -6.
Насколько медиана полученного набора чисел отличается от его
моды?
Задача 7
Менеджер бассейна проводил в течение недели статистическое
исследование о количестве посетителей бассейна за день. В результате
исследований был получен следующий ряд данных: 55, 52, 60, 52, 80,
60, 54. Определите среднее арифметическое этого ряда.
Задача 8
Записана численность населения пяти городов (в тыс. чел.): 1240, 860,
530, 2240, 700. Выясните, насколько среднее арифметическое этих
чисел больше их медианы.
Задача 1: а) 4; 4;6;моды нет, б) 6;6;8;8
Задача 2: а) мода 11 и 14; медиана 12, б) медиана 5,5
Задача 3: на 4
Задача 5: медиана 15,мода 13,среднее арифметическое 16
Задача 6: на 0
Задача 7: 59
Задача 8: на 254
Изучать следует то, что
необходимо для решения задач
сегодня, а главное завтра.