Transcript Jak počítaly v Egyptě

Jak počítali ve starém Egyptě 2
Mgr. Jaromír Osčádal
Znali Egypťané zlomky?
• Už v archaickém období používali zlomky.
• Mezi nejstarší zlomky patří ty, které vznikaly
metodou půlení (jedna polovina a čtvrtina,…)
• V počátcích kromě kmenných zlomků:
1 1 1
, , ,...
2 3 4
používali i doplňkové zlomky:
2 3
, ,...
3 4
1
3
2
3
1
4
3
4
1
6
5
6
Tyto zlomky byly používané v období Staré
říše.
Do doby střední říše zůstaly pouze kmenné
zlomky a symbol pro dvě třetiny.
Jak zapisovali zlomky?
• Kmenné zlomky psali v hieroglyfickém písmu
znakem
nad celým číslem jmenovatele.
1
=
5
• V hieratickém písmu zlomek zapisovali tečkou
nad číslem.
1
=
10
• Speciálními zlomky byly části Horova oka,
které se používaly k vyjádřením částí měřice
(hekat asi 4,805 l).
vedžat
Jak zapisovali ostatní zlomky?
• Ostatní zlomky zapisovali jako konečnou
řadu různých kmenných zlomků.
3 1 1
 
4 2 4
5 1 1
 
6 2 3
4 1 1 1
  
5 2 4 20
• Čísla větší než jedna zapisovali formou
smíšených čísel.
5
1
2
2
2
7
1
1
5
10
11
5
11
1 1
6
6
23
9
4
11 1
1 1
5
5
2 4 20
Proč to tak dělali?
• Egypťané používali matematiku k praktickým
výpočtům.
• Chyběla jim obecná představa o racionálních
číslech.
Proč to tak dělali?
• André Weil označil rozhodnutí zapisovat
zlomky formou kmenných zlomků jako
„Wrong Turn“.
• Ale pro starověké Egypťany to muselo
nějakou výhodu mít.
• Kmenné zlomky užívali i jiné civilizace.
Z praktického dělení úrody uměli
Egypťané rozdělit celek na n dílů,
ale představa rozdělit m celků, a každý
celek na n dílů, byla pro ně nepraktická.
• Pro praktické dělení bylo výhodnější takový
zlomek zapsat pomocí větších celků. Vždyť i
nám činí potíže představit si:
11
6
11
1 1
 1 
• ale zápis 6
2 3
nám dává jasnou
představu, kolik z daného množství představuje
požadovaný díl. 11
6
Úloha na dělení chleba
• Rozdělte 5 chlebů mezi 7 kameníků.
5 50
1 1 1
35 14 1
  




70 70 70
2 5 70
7 70
Najdete i jiná
rozdělení?
1 1 1 1 1 1
, , , , , , ...
2 3 4 5 6 7
Jaký největší kmenný zlomek se vejde do
daného racionálního čísla?
1
2
 1 
 
 22 
3

11
1
4
 1 
 
 44 
1
5

3
11
 4
 
 33 
2

11
1
6
 1 
 
 66 
6

11
Vymyslete postup, jak můžeme
najít zápis ve formě egyptských
zlomků.
• Pokuste se zapsat racionální číslo
ve tvaru egyptských zlomků.
6
1 1 1
  
7
2 3 42
8
1 1 1
  
9
2 3 18
9
1 1 1
  
10
2 3 15
7
9
1 1 1
  
2 4 36
Lze každý zlomek 2/n zapsat ve
tvaru egyptského zlomku?
• Co když je n sudé
n  2k
kN
2
2
1


n 2k k
• Co když je n liché
n  2k  1
kN
2
2
2
1



n 2k  1 2k k
2
2
2
1



n 2k  1 2k  2 k  1
2
1
?


n k 1 ?
2
1
2k  1  2k  1
1



2k  1k  1 2k  1k  1
2k  1 k  1
• Co když je n liché
n  2k  1
2
1
?


2k  1 k  1 ?
2
1
1


n k  1 nk  1
Příklady:
2
3
1 1
 
2 6
2
5
1 1
 
3 15
2
7
1 1
 
4 28
2
9
1 1
 
5 45
Vynechání
kroku 3/n
Lze zlomek 3/n zapsat ve tvaru
egyptského zlomku?
• Jak můžeme zapsat n?
n  3k
n  3k  1
n  3k  2
kN
n  3k
kN
• V takovém případě můžeme zlomek
zkrátit.
3
3
1


n 3k k
n  3k  2 k  N
• V takovém případě platí:
3
3
3
3
1




n 3k  2 3k  3 3k  3 k  1
1
3
1
3k  1  3k  2
3
1





k  13k  2
k  13k  2
n k  1 3k  2 k  1
3
1
1


n k  1 k  1  n
n  3k  1 k  N
• V takovém případě platí:
3
3
3
3
1




n 3k  1 3k  3 3k  3 k  1
2
3
1
3k  1  3k  1
3
1





k  1 3k  1
n k  1 3k  1 k  1 k  1  3k  1
3
1
2


n k  1 k  1  n
n  3k  1 k  N
• V takovém případě platí:
Zlomek 2/n lze rozdělit na kmenné zlomky,
protože zlomek 1/(k+1) je největší kmenný
zlomek , který se vejde do hodnoty 3/n, musí
další zlomky být menší (jiné).
3
1
2


n k  1 k  1  n
Příklady:
3
1 1
 
5
2 10
3
4
1 1
 
2 4
3 1 1
1
  
7 3 11 231
3
10
1 1
 
4 20
Lze každý zlomek m/n zapsat
ve tvaru egyptského zlomku?
1/ Pro m = 2 nebo m = 3 jsme rozklad na egyptské
zlomky dokázali na předchozích stránkách.
2/ Předpokládejme, že existuje m – 1, pro které
všechny zlomky h/n, kde h  m - 1 (h, n, mZ), lze
vyjádřit ve tvaru egyptských zlomků.
3/ Bude to samé platit pro m ?
• Pro jednoduchost uvažujme zlomky
menší než jedna.
m n
n  k m z
kN
z  0,1,, m  1
m
m
m
1



n k  m  z k  m  m k 1
m
m
m
1



n k m z k m k
Pro z  0 můžeme dokázat, že
m
2

n k 1
m
1
m
1
m  k  1  k  m  z 





n k 1 k  m  z k 1
k  1 k  m  z 
m z
m z


k  1 k  m  z  k  1 n
m
1
m z


n k  1 k  1  n
Pokud z = 0, lze zlomek krátit na kmenný.
m
m
m
1



n k m z k m k
m
1
m z


n k  1 k  1  n
Pokud z  0 je čitatel druhého zlomku
rozkladu menší než m.
Podle předpokladu lze takový zlomek vyjádřit ve
tvaru egyptských zlomků,
1
které jsou menší (jiné) než
k 1
Všechny zlomky n/m menší než jedna, lze
zapsat ve tvaru egyptských zlomků (konečného
počtu kmenných zlomků).
m
1
m z


n k  1 k  1  n
Existuje jediný zápis zlomku ve
tvaru egyptského zlomku?
• Tento postup poprvé publikoval v roce 1202
Leonardo z Pisy známý jako Fibonacci.
• My jsme si ukázali jen jeden postup, ale
podobných může existovat více s jiným
výsledkem.
• Např. nemusíme vždy použít největší kmenný
zlomek.
3
• Zapište zlomek
ve tvaru egyptských
10
zlomků.
2 2 2 3 1 1 1
  
  
4 5 6 10 4 5 6
3 1
1
 
10 4 20
3 1 1

 
10 4 20
3 1 1
 
10 5 10
3 1 1

 
10 5 10
3 1 2 1
1
 
 
10 6 15 8 120
3 1 1
1

  
10 6 8 120
Zkuste najít různé zápisy zlomků:
3
7
5
11
1 1
1
 
3 11 231
1 1 1
 
3 9 99
1 1
1
 
3 12 84
1 1
1
1
 

3 10 48 2640
1 1
1
 
3 14 42
1 1 1
 
3 15 35
1 1 1
 
4 6 84
1 1
1
 
3 11 33
1 1
1
 
4 5 220
• Představme si zlomek, který lze zapsat
pouze v jedné podobě.
• Seřadíme kmenné zlomky v zápisu od
největšího po nejmenší.
• Jak můžeme použít následující rovnosti
pro získání dalšího zápisu?
1
1
1


x x  1 x  x  1
1 1 1
1 1
1
1
1    


2 3 6
x 2 x 3x 6 x
• To vede ke sporu s předpokladem
jediného zápisu.
Rychle zapište další zápis daného
zlomku
• Využijte rovností:
1
1
1


x x  1 x  x  1
1 1
1
1



x 2 x 3x 6 x
4 1 1
1 1
1 1 1
1
1
 
  
  

3 10 90 3 18 27 54
9 3 9
6 1 1 1 1
1
1 1
1
1
 
  
 


11 2 22 2 23 506 2 44 66 132
Jaký bude základní zápis
egyptského zlomku?
• Ukázali jsme si, že jeden zlomek lze zapsat
v několika tvarech.
• Můžeme jeden z nich považovat za jakýsi
základní tvar?
• Může být určující počet kmenných zlomků?
4 1 1
1
1
 


17 5 29 1233 3039345
4 1 1
1
 

17 5 30 510
Jaký bude základní zápis
egyptského zlomku?
• Za základní tvar můžeme považovat
výsledek našeho postupu, který se skládá
z největších kmenných zlomků.
• Tento postup patří do skupiny takzvaných
„hladových algoritmů“, protože do zápisu
vložíme vždy největší kmenný zlomek,
který se vejde do zbylé hodnoty.
Jaký bude základní zápis
egyptského zlomku?
• Bohužel jen velmi těžko určíme, zda daný zápis
pomocí egyptských zlomků je tento základní.
• Jednou z možností je zlomky sečíst a přepočítat
podle algoritmu.
• Je ale výhodný pro porovnávání zlomků.
• Zlomek je zapsán v základním tvaru, pokud
součet posledních zlomků s největším zlomkem
1/n je menší než 1/(n-1).
1 1 1
1
  
2 3 14 231
1
1

230 231
1
1
1


13 14 231
1 1 1
1
 

2 3 14 231
• Zjistěte, zda je daný zápis zlomků v základním
tvaru:
1 1 1
1 11 1 1
 


2 6 22 66 2 6 22 66
NE
1
1 3 1 1



22 66
66
21
33  11  3  1 8 1 1 1 1
 
66
11 2 5 37 4070
• Zjistěte, zda je daný zápis zlomků v základním tvaru:
1 1 1
1
11 1 1
  

2 4 15 660 2 4 15 660
ANO
1
1
1
44  1 3
 


14 15 660
660
44
1 1 1
1
165  44  1 7
  


3 4 15 660
660
22
1 1 1
1
330  165  44  1 9
1   


2 4 15 660
660
11
Porovnávání zlomků
• Které číslo je větší?
11
1
26
11
5
nebo
.
7
3
1 1
1
2 14
• Zápis
a
nám dává
jasnou představu, který z daných zlomků
je větší.
• Tento zápis má pro porovnání zlomků
jasnou výhodu.
• Porovnejte zlomky pomocí tvaru
egyptských zlomků:
7 8
,
8 9
9 7
,
10 9
11 1 11 1

2 3 24 2 3 18
11 1 11 1

2 3 15 2 4 36
Příklady:
• Porovnejte zlomky nezapsané v základním
tvaru:
1 1 11
,
3 10 4 5
1
1
20  6   15  12  
60
60
1 1 11 1
,
3 10 3 9 180
• Porovnejte zlomky:
11 11
,
39 45
1 1 1 1
,
10 30 15 20
11 1 1 1
,
6 9 5 15 90
1
1
60  20    45  36  
180
180
1
1
6  2   4  3 
60
60
 1 1  2 1 1  1 1
1           1   
 3  10  3 2  10  6  10
1
1
15  10    18  6  1 
90
90
Jak mohli sčítat zlomky?
• Pokud kmenných zlomků nebylo mnoho a
byly různé, staří písaři je jen připojili k
sobě.
• Pokud některé kmenné zlomky z obou
sčítanců byly stejné, rozložili je pomocí
tabulky 2/n, nebo použili univerzálnější
postup.
Jak mohli sčítat zlomky?
• Kmenné zlomky při sčítání převedeme na
společného jmenovatele. Výsledek opět
vyjádříme ve formě egyptského zlomku.
• Egypťané mnohdy nepoužili společného
jmenovatele, každý kmenný zlomek
vyjadřovali jako násobek vybraného
zlomku. Tyto násobky nemusely být
celočíselné.
• Sečtěte zlomky a výsledky ověřte
klasickým sčítáním zlomků.
11 11


28 24
1 1
1 1
5 3 8  2  1 24  8  1
1   1  ;
 

4 8
3 24 8 4
8
24
1 1 11


3 15 3 9
2 1 1 1 1 1 1 1 15  10  6 1 1 1
 
   
 
   ;
3 9 15 2 6 9 15 2
90
2 3 90
2 4 38 45  30  1
 

5 9 45
90
• Sečtěte zlomky a výsledky ověřte
klasickým sčítáním zlomků.
1 1 11
1 49

 18  6  15  10  
90 90
5 15 6 9
1 1
1
1 1 1 1 1
1
  
      ;
2 23 1035 3 9 10 2 30 90
4 5 49
 
15 18 90
1 115
31
11 111
 1


 42  12  28  21 24  
84 84
84
27 347
1 1
9 61 115
1  ;


3 28 14 84 84
Jak odčítali zlomky?
• Odečetli stejné kmenné zlomky a zbytek
převedli na společného jmenovatele.
• Mnohdy nepoužili společného
jmenovatele, každý kmenný zlomek
vyjadřovali jako násobek vybraného
zlomku. Tyto násobky nemusely být
celočíselné.
• Odečtěte zlomky:
1111 11


3489 38
11 1 11 1


2 3 24 2 3 42
1 1 13 1 1


;
4 9 36 3 36
59 11 59  33 13



72 24
72
36
1
1
1
1

 7  4  
 ;
24 42
168 56
7 6 49  48 1
 

8 7
56
56
• Odečtěte zlomky:
11 1 1 1


2 3 60 2 10
1 1
1
1 1

 20  1  6   ;
3 60 10
60 4
17 3 17  12 1
 

20 5
20
4
111 111


248 369
1 18  1 1 1
36  18  9  24  12  8 

;
72
72
4 72
7 11 63  44 19



8 18
72
72
• Úlohy z Rhindova papyru:
• R21:
2 1
3 15
doplňte do 1:
1
1 1 1
2 1 
1 
  15  10  1   3  1  
15
15 5 15
 3 15 
2 1 1 1 10  3  1  1
   
1
3 5 15 15
15
• R22:
2 1
doplňte do 1:
3 30
1
1 1 1
2 1 
1 
 6  3 

  30  20  1 
30
30 5 10
 3 30 
2 1 1
1 20  6  3  1
  

1
3 5 10 30
30
Násobení zlomku celým číslem
• Probíhalo jako běžné násobení.
• Vynásobte
1
2
11
24
číslem 3.
11
24
1
1
2
1 1 1
1
1    2
2 2 4
4
• Vynásobte
1
2
4
11
38
číslem 5.
11
38
21 111

34 246
11
1
23
1 1 1 1
11
1     2
2 3 3 8
68
• Vynásobte
1
2
4
1 1
7 10
číslem 6.
1 1
7 10
21 11 1

7 5 4 5 28
12 1 11 1 1

2 5 14 2 3 14 15
1 1 1 1 1 1
1 612 1 1 1
1
     

1

2 3 4 5 14 15 28 420 3 9 79 24885
1 1 1
1
3 10 42
Jak násobili zlomky?
• Nejvíce příkladů součinu zlomků
nalezneme na Rhintově papyru.
• Pokud násobíme dva kmenné zlomky,
dostaneme opět kmenný zlomek.
Jak násobili zlomky?
• Vynásobíme zlomky z obou činitelů, tak
jak jsme zvyklí podle distributivního
zákona.
• Nakonec sečteme všechny výsledky
součinů podle předchozích postupů
převodem na společného jmenovatele.
• Vynásobte zlomky:
11 1 1
;
2 4 3 15
11 1 11
;
2 4 20 2 3
1
1 1 1 1  1 1 1

        
 2 4   3 15  6 12 30 60
1 1 1
 10  5  2  1 
 
60 4 20
1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1

           
 2 4 20   2 3  4 8 40 6 12 60
1
 30  15  3  20  10  2  

120
2 11
 
3 26
• Úlohy z Rhindova papyru:
11
• R7: Vynásobte 1
24
a
1 1
:
4 28
1
1
 1 1 1 1  1 1 1 1

1             
 2 4   4 28  4 8 16 28 56 112
1 11
1 1 1 1

  7  3 1
1    
2 24
2 4  28 2

1 1
11
• R9: Vynásobte 1
a
:
2 14
24
1
1
 1 1 1 1  1 1 1 1


1            
 2 4   2 14  2 4 8 14 28 56
1
1 1

 14  7  3  2  1   
1
2
2  28

Jak písaři dělili zlomky?
• V dochovaných úlohách mnoho dělení
zlomků nenajdeme.
• První skupinou na dělení smíšeným
číslem jsou úlohy o kvalitě chleba a piva.
• Výsledek se hledal ve formě násobků
dělitele, ale v papyrech mnohdy detailní
postup chybí.
Rhindův papyrus úloha R69
1
3
2
•
měřice mouky převeďte na 80 chlebů.
1
• Udejte jejich kvalitu. Počítejte s 3 , až
2
najdete 80.
1
• Udejte jejich kvalitu. Počítejte s 3 , až
2
najdeš 80.
• „Vypočítejte, kolik chlebů uděláte z jedné
měřice.“
1
2
1
1
3
2
2
3
3
10
35
1
1
20
70
7
2
2
7
1
1
1
1
21
6
1
3
6
1 1 1
70  7  2    80
3 2 6
• Výsledek je :
Z jedné měřice mouky vyrobíme
10
1
3
2
35
20
70
2
1
3
7
1
1
6
1
2 1 1
22   
3 7 21
2
3
1
7
1
21
1
2
3
1
2
1
6
chlebů.
Egypťané ke každé slovní úloze
psali zkoušku
L
2 1 1 
1

  22       3   
3 7 21 
2

1
1 1
1
 66  2  4   11   

7
3 14 42
1
 79  24  14  3  1 
 80
42
P  80
Příklad na dělení ve slovní úloze:
• R34: Množství, jehož
dají 10.
11
24
k němu přidané
1 1
x      x  10
2 4
 1 1
1     x  10
 2 4
R34: Množství, jehož
\1
11
1
24
2
1
3
2
\4
7
11
24
k němu přidané dají 10.
7
28
• Čtyřnásobek a dvojnásobek dají víc jak deset,
proto vybereme čtyřnásobek a jednonásobek.
1
• Do deseti chybí 5 .
4
1
• Vybrané násobky představují 35  .
1 4
• Jednonásobek představuje 7  .
4
1
• Jedna čtvrtina je tedy dělitele.
7
\
1
7
1
4
2 1 1

7 4 28
1
2
1 1
2 14
1
\
1
Výsledek je:
11 1
5
2 7 14
4
Příklad na dělení ve slovní úloze:
• R32: Množství, jehož
dají 2.
11
34
k němu přidané
1 1
x    x  2
3 4
 1 1
1     x  2
 3 4
• R32: Množství, jehož
dají 2.
1
2
3
1
3
1
6
1
12
1
114
1
228
11
34
221
1
1
 12  4  3  1
396
18 18
1 1
2 36
1 1
4 72
1 1
8 144
1
72
1
144
1
11
34
k němu přidané
1
144
1
1 5 2
144
1
76
144
1
228
1  38  19  2  1  144  2
3 8
144
1
19
144
Výsledek:
1
2
144
1 1 1 1
1
1
1
6 12 114 228
144
2 2 8
Napište zkoušku k této úloze
L
1
1   1 1
 1 1
 1   

  1    
 6 12 114 228  3 4 
P
2
Dělení dvou zlomků je velmi
nepohodlné
• Vydělte
4
1
4
1
2
1
1
3
1
12
1
2
1
1
3
číslem
1
4
.
1 1
1
 1  1
4 12
3
1
1
1 4   5
3
3
• Egypťané znali mnohem víc. Uměli proměřit
plochy kruhu, trojúhelníku, lichoběžníku,
vypočítat objem válce, hranolu i jehlanu
(pyramidy), komolého jehlanu (nedokončené
pyramidy), určit sklon pyramidy, využívali
podobnosti objektů, počítali členy geometrické a
aritmetické posloupnosti, rozdělovali příděly na
nestejné díly. Znali mnohem víc!!
• MATEMATIKU POTŘEBOVALI KAŽDÝ DEN
ŽIVOTA VE STAROVĚKÉM EGYPTĚ.
Binární algoritmus
Představte si zápis racionálního
čísla v dvojkové soustavě
0,0111012
Tento zápis představuje součet kmenných zlomků.
0,011101 2
1 1
1
1
 2 3 4 6
2
2 2
2
Zápis může být i periodický,


1 1 1 1 
1 1

0,011101 2  2  3   4  6   1  3  6  
2 2 2 2   2 2

i periodu můžeme zapsat ve tvaru kmenných
zlomků.
0,011101
2
1
1  1
1
 2  3  4  6
2
2
2
2
1
1  1
1  23
 2  3  4  6  3

2
2 2
2  2 1
 1


 1 1
23
1
1 1
1 1
1
1
1
1
 2  3  1  3  3
 2 3 1 3
 3 3
2
2  2 2  2 1 2
2
2  2 1 2  2 1



Podobným postupem lze vyjádřit každý periodický
zápis pomocí kmenných zlomků typu:
1
n
2
1
r
p
2  2 1



Pomocí zápisu v dvojkové
soustavě zapište zlomek ve formě
kmenných zlomků


3  11 
1 1  1
1  23
    0,011011        3

2
7  111 2
4 8  32 64  2  1
1 1  1 1 1
1 1 1
1
      3
   
4 8  4 8  2  1 4 8 28 56
1 1
5  101 
  0,1012  

2 8
8  1000 2
• Podobný postup můžeme uplatnit i pro
zápis v trojkové soustavě, kde využijeme
rovnosti: 2 1 1
3

2

6
• Zápis rozdělíme na řády zapsané
jedničkou a řády zapsané dvojkou.
Konec
Použité zdroje:
1)
2)
3)
4)
5)
BEČVÁŘ, Jindřich, Martina BEČVÁŘOVÁ a Hana VYMAZALOVÁ. Matematika ve starověku: Egypt a
Mezopotámie. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2003, 371 s. Dějiny matematiky (Prometheus), sv. 23. ISBN 80719-6255-4.
VYMAZALOVÁ, Hana. Staroegyptská matematika: hieratické matematické texty. Vyd. 1. Praha: Český
egyptologický ústav, 2006, 155 s. Dějiny matematiky (Český egyptologický ústav), sv. 31. ISBN 80-7308156-3.
VYMAZALOVÁ, Hana. Počty v zemi faraonů: matematika stavitelů pyramid. Praha: Český egyptologický
ústav Filozofické fakulty Univerzity Karlovy v Praze, 2008, 32 s. ISBN 978-80-7363-215-1.
VYMAZALOVÁ, Hana a Filip COPPENS. Moudrost svitků boha Thovta: vědecké poznání za vlády
faraonů. Vyd. 1. Praha: Univerzita Karlova v Praze, Filozofická fakulta, 2011, 352 s. ISBN 978-807-3083588.
JOHNSON, Paul. Civilizace starého Egypta. Vyd. 1. Praha: Academia, 2002, 262 s. ISBN 80-200-0949-3.
Obrázky
• Snímek 1
– http://en.wikipedia.org/wiki/File:Thoth.svghttp://cs.wikipedia.org/wiki/Soubor:Thot
h.svg
– http://nd01.jxs.cz/197/156/8237c60d3f_23536666_o2.jpg
• Snímek 3
– Zdroj 1) strana 43
• Snímek 4
– Zdroj 1) strana 43
• Snímek 5
– http://www.aloha.net/~hawmtn/h_eye.gif
• Snímek 13
– Zdroj 2) strana 52
• Snímek 82
– http://en.wikipedia.org/wiki/File:Thoth.svghttp://cs.wikipedia.org/wiki/Soubor:Thot
h.svg