Transcript Kolokium DINAMIK DAN BIFURKASI

DINAMIK DAN BIFURKASI DARI
PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN
SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL
DIMENSI DUA
Syamsyida Rozi
0302017037
Pembimbing I : Rahmi Rusin, M.Sc.Tech
Pembimbing II: Arie Wibowo, M.Si
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS INDONESIA
Pendahuluan
Latar Belakang dan Masalah
Sistem PD

x f  x 
Sistem PD Perturbasi
x  F μ, x 
Mengandung
parameter & variabel
Solusi
analitik
Solusi
numerik
Struktur kualitatif dari sistem
Perubahan
nilai parameter
Perubahan struktur
kualitatif sistem?
Teori bifurkasi
Pendahuluan
TUJUAN
 Menjelaskan definisi dan konsep bifurkasi
 Mempelajari jenis-jenis bifurkasi
Pendahuluan
BATASAN MASALAH
 Bifurkasi pada PD order satu dan sistem PD dimensi dua
order satu.
 Persamaan pada PD dan sistem PD adalah persamaan
autonomous.
 Fungsi dari PD dan sistem PD berupa fungsi linear, kuadrat,
dan kubik.
TEORI DASAR

Bentuk matematis dari sistem PD x  f  x 
Titik keseimbangan
Stabilitas
titik keseimbangan
Struktur
Kualitatif
Sistem PD
Medan arah
Trajektori
Orbit
Medan vektor
Phase portrait
next
… TEORI DASAR
 Titik x*
n
disebut titik keseimbangan dari x  f  x  jika
f  x*   0 .
 Jika fungsi f pada sistem adalah fungsi linear, sistem dapat
ditulis dalam bentuk x  Ax, yaitu
 
 1




 
 2










 
 n 
x
x
x












a11 a12
a21 a22
an1 an2
a1n   x1 



a2n   x2 





nn  
a




n 
x
x2
x2
x1
x1
Center
Spiral
Stabil asimtotik
x2
Stabil
x2
x2
x1
x1
x1
Saddle point
Star nodes
Nodes
Tidak stabil
Stabil asimtotik
Tidak stabil
… TEORI DASAR
Stabilitas titik keseimbangan dari sistem PD dimensi dua
Nilai eigen
Stabilitas titik
keseimbangan
Nama titik
keseimbangan
1 > 2 >0
1 < 2 <0
1 <0< 2
1 = 2 >0
1 = 2 <0
1,2 =   i
 <0
 >0
1,2 =  i
Tidak stabil
Stabil asimtotik
Node
Node
Saddle point
Star/degenerate node
Star/degenerate node
Tidak stabil
Tidak stabil
Stabil asimtotik
Stabil asimtotik
Tidak stabil
Stabil
Spiral
Center
… TEORI DASAR
 Jika f adalah fungsi nonlinear, sistem dapat dilinearisasi
menjadi bentuk x  Df x* xx* , dengan
 
f1  *
x 
x1  
f 2  *
*
Df  x   x  x 
1

















 

f1  *
x 
x2  
f 2  *
x 
x2  
f n  x* f n  x*
x1   x2  
f1  *
 x 
xn  

f 2  *
x 
xn  
f n  x*
xn 
Matriks Df x* disebut matriks Jacobian.








… TEORI DASAR
 Linearisasi tersebut hanya dapat dilakukan jika sistem
memiliki titik keseimbangan hiperbolik, yaitu suatu titik
keseimbangan dimana bagian real dari setiap nilai eigen
matriks Jacobiannya tidak sama dengan nol.
 Teorema Grobman-Hartman : Jika x* adalah titik
keseimbangan hiperbolik dari sistem PD nonlinear, maka
terdapat lingkungan dari x* dimana medan vektor

mempunyai struktur kualitatif yang
x  Df x* xx*

sama dengan medan vektor
. (Hale & Kocak 1991:
x f  x
301)
 

next
… TEORI DASAR
CONTOH PERSAMAAN DIFERENSIAL

x x
 Titik keseimbangan dari PD tersebut adalah x = 0.
 Medan arah dan trajektori dari PD tersebut adalah
… TEORI DASAR

x x
 Medan vektor
0
 Orbit dan phase portrait
0
Dinamik Dan Bifurkasi Dari Persamaan Diferensial Dan
Sistem Persamaan Diferensial Dimensi Dua

Bentuk matematis sistem PD perturbasi : x  F μ, x 
 Teori bifurkasi : Teori yang membahas tentang
kemungkinan perubahan dalam struktur kualitatif solusi dari
sistem PD yang mengandung parameter dan variabel.
 Bifurkasi : Perubahan struktur kualitatif dari sistem.
 Diagram bifurkasi : Kurva yang mendeskripsikan titik
keseimbangan dan stabilitas dari titik keseimbangan tersebut
untuk setiap nilai parameter yang berbeda.
 Nilai bifurkasi : Nilai parameter  di mana terjadinya
bifurkasi.
 Titik bifurkasi : Titik di mana terjadinya bifurkasi.
 Ketika diberikan suatu nilai parameter, sistem dikatakan
mempunyai struktur orbit stabil jika struktur kualitatif dari
sistem tersebut tidak mengalami perubahan ketika terjadi
perubahan nilai parameter.
Dinamik & Bifurkasi dari PD & Sistem PD Dimensi Dua

PD PERTURBASI x  F  μ, x 
F  μ,x 
F  μ,x 
F  μ,x 
FUNGSI
FUNGSI
FUNGSI
LINEAR
KUADRAT
KUBIK
Tidak
mengalami
bifurkasi
•Saddle node
bifurcation
•Transcritical
bifurcation
•Hysteresis bifurcation
•Subcritical pitchfork
bifurcation
•Supercritical pitchfork
bifurcation
•Imperfect bifurcation
Dinamik & Bifurkasi dari PD & Sistem PD Dimensi Dua

SISTEM PD DIMENSI DUA x  F  μ, x 
F  μ,x 
F  μ,x 
FUNGSI
FUNGSI
KUADRAT
KUBIK
•Saddle node
bifurcation
•Transcritical
bifurcation
•Subcritical pitchfork
bifurcation
•Supercritical pitchfork
bifurcation
•Hopf bifurcation
Dinamik & Bifurkasi dari PD & Sistem PD Dimensi Dua
DINAMIK & BIFURKASI DARI PD
PD

x  f  x
f  x  fungsi linear
f fungsi C1
f  0  0
f ' 0   0

PD PERTURBASI x  F  μ,x 
F  μ,x  fungsi linear
F fungsi C1
F  0, x   f  x 
F  0,0   f ' 0   0
 
x  
Titik keseimbangan
Hiperbolik : x   μ 
PD perturbasi tidak mengalami bifurkasi
Dinamik & Bifurkasi dari PD

PD perturbasi x  F  μ,x  , dengan fungsi F berupa fungsi linear

PD x    x

 <0
 =0
0

 >0
f  x  x
Phase portrait dari PD
Untuk setiap nilai parameter  yang berbeda, solusi dari PD
selalu menuju titik keseimbangan, sehingga PD tersebut
tidak mengalami perubahan struktur orbit atau tidak
mengalami bifurkasi.
Dinamik & Bifurkasi dari PD
DINAMIK & BIFURKASI DARI PD


PD PERTURBASI x  F  μ,x 
PD x  f  x 
F  μ,x  fungsi kuadrat
f  x  fungsi kuadrat
f fungsi C 2
f  0  0
f ' 0   0
f '' 0   0
Memiliki titik kritis
Memiliki nilai kritis
 μ 
2
F fungsi C
F  0, x   f  x 
F  0,0   0
x  
2
 F  0,0   f '' 0   0
x2  
• Jika   μ  f '' 0  <0 terdapat dua titik keseimbangan
• Jika   μ   0 terdapat satu titik keseimbangan
• Jika   μ  f '' 0  > 0 tidak terdapat titik keseimbangan
Dinamik & Bifurkasi dari PD
  <0
  =0
  >0
f '' 0  > 0
f '' 0  < 0
Phase portrait untuk f '' 0  yang berbeda
Dinamik & Bifurkasi dari PD
Jenis bifurkasi : Saddle Node Bifurcation

PD x  c  x2
F  0, x   x2
c
 c
0
x
c<0
c
c=0
c>0
Phase portrait
Keterangan:
Tidak stabil
Stabil
Diagram bifurkasi
Nilai bifurkasi : c = 0. Titik bifurkasi :  0,0  . Bentuk umum PD
yang mengalami saddle node bifurcation : x  c  x2
Dinamik & Bifurkasi dari PD
Jenis bifurkasi : Transcritical Bifurcation

PD x  cx  x2
c
0
c<0
F  c, x 
F  c, x 
F  c, x 
x
x
0
c=0
Phase portrait
c
x
0
c>0
Dinamik & Bifurkasi dari PD
… Transcritical Bifurcation
x
c
Keterangan:
tidak stabil
stabil
Diagram bifurkasi
Nilai bifurkasi : c = 0. Titik bifurkasi :  0,0  . Bentuk umum PD

yang mengalami transcritical bifurcation : x  cx  x2.
next
Dinamik & Bifurkasi dari PD
PD

x  f  x
f  x  fungsi kubik
PD PERTURBASI

x  F  μ,x 
F  μ,x  fungsi kubik
f fungsi C 3
f  0  0
F fungsi C 3
F  0, x   f  x 
f '' 0   0
F  0,0   0
x  
2 F  0,0   0
x2  
f ' 0   0
f ''' 0   0
3F  0,0   f ''' 0   0
x3  
Dinamik & Bifurkasi dari PD
Jenis bifurkasi : Hysteresis Bifurcation

x
PD  c  x  x3
Fungsi F  c, x   c  x  x3 mempunyai nilai minimum pada c1  2
3 3
dan mempunyai nilai maksimum pada c2  2 .
3 3
x
c  c1
c 0
c  c2
c1
c2
c
F  0, x   x  x3
Phase portrait
Nilai bifurkasi: c  2 dan c 2 .
3 3
3 3
Keterangan :
Tidak stabil
Stabil
Diagram bifurkasi
Dinamik & Bifurkasi dari PD
Jenis bifurkasi : Supercritical Pitchfork Bifurcation

PD x  dx  x3
F  d, x
F  d, x
0
d<0
x
0
F  d, x
x
d=0
Phase portrait
 d
0
d>0
d
x
Dinamik & Bifurkasi dari PD
… Supercritical Pitchfork Bifurcation
x
d
Keterangan :
Tidak stabil
Stabil
Diagram bifurkasi
Nilai bifurkasi : c = 0. Titik bifurkasi :  0,0  .
Dinamik & Bifurkasi dari PD
Jenis bifurkasi : Subcritical Pitchfork Bifurcation

PD x  dx  x3
F  d, x
 d
0
d<0
F  d, x
d
x
0
d=0
Phase portrait
F  d, x
x
0
d>0
x
Dinamik & Bifurkasi dari PD
… Subcritical Pitchfork Bifurcation
x
d
Keterangan :
Tidak stabil
Stabil
Diagram bifurkasi
Nilai bifurkasi : c = 0. Titik bifurkasi :  0,0  .
Dinamik & Bifurkasi dari PD
Jenis bifurkasi : Imperfect Bifurcation

PD x  c  dx  x3
3
Kurva bifurkasi: 4d  27c2, yaitu c  2d d  c1 atau c  2d d  c2
3 3
3 3
c  c2
x
c  c1
d
Phase portrait
Dinamik & Bifurkasi dari PD
Diagram bifurkasi pada bidang-  d , x 

x

x
d
d
c0
c=0
Diagram bifurkasi pada bidang-  c, x 
x
x
c
d0
c1
c2
d>0
c
next
Dinamik & Bifurkasi dari Sistem PD Dimensi Dua
Saddle node bifurcation pada sistem PD dimensi dua

Sistem PD x1    x12

x2 x2

0 
 2x1
Matriks Jacobian dari sistem adalah J  


1 x1,x2  x1*,x2*
 0




x2

 ,0














x2

 ,0 
 0,0 
x1
x1
x2
<0
=0
x1
>0
Dinamik & Bifurkasi dari Sistem PD Dimensi Dua
Transcritical bifurcation pada sistem PD dimensi dua

Sistem PD x1   x1  x12

x2 x2
0 
   2x1

Matriks Jacobian dari sistem adalah J  

0
1 x1,x2  x1*,x2*















x2
x2
 0,0 




 ,0
 0,0 
x1
x1
x2
<0
=0
 ,0
 0,0 
x1
>0
next
Dinamik & Bifurkasi dari Sistem PD Dimensi Dua
Supercritical Pitchfork bifurcation pada sistem PD
dimensi dua

Sistem PD x1  x1  x13

x2 x2

2
0 
   3x1
Matriks Jacobian dari sistem adalah J  


0
1 x1,x2  x1*,x2*





x2
 0,0 
<0









x2
x1

 0,0 
x2
 ,0 
 0,0    ,0
>0
x1
x1
=0





Dinamik & Bifurkasi dari Sistem PD Dimensi Dua
Subcritical Pitchfork bifurcation pada sistem PD
dimensi dua

Sistem PD x1  x1  x13


x2 x2
2
0 
   3x1
Matriks Jacobian dari sistem adalah J  


0
1 x1,x2  x1*,x2*





<0
 ,0
 0,0  





x2
x2





 ,0 
 0,0 
x1
x2
x1
=0
 0,0 
x1
>0
next





Dinamik & Bifurkasi dari Sistem PD Dimensi Dua
Degenerate Hopf Bifurcation

Sistem PD x1  x2   x1

x2 x1   x2
Dalam koordinat polar, sistem tersebut berbentuk r  r

 1
x2
x2
x1
x1
<0
x2
=0
Phase portrait
x1
>0
Dinamik & Bifurkasi dari Sistem PD Dimensi Dua
… Degenerate Hopf Bifurcation
a

Keterangan :
Tidak stabil
Stabil
Diagram bifurkasi
Dinamik & Bifurkasi dari Sistem PD Dimensi Dua
Supercritical Hopf Bifurcation


 2

Sistem PD x1  x2      x1  x22   x1

x2 x1      x12  x22   x2



Dalam koordinat polar, sistem tersebut berbentuk r     r 2  r


 1
x2
<0
x2
x2
x1
x1
=0
Phase portrait

x1
>0
Dinamik & Bifurkasi dari Sistem PD Dimensi Dua
… Supercritical Hopf Bifurcation
a

Keterangan :
Tidak stabil
Stabil
Diagram bifurkasi
Dinamik & Bifurkasi dari Sistem PD Dimensi Dua
Subcritical Hopf Bifurcation
Sistem PD

2


  2
2
x1  x2      x1  x2   c   c2 










x2 x1  




x12  x22   c 

2





 x1





 c2   x2
Dalam koordinat polar, sistem tersebut berbentuk











r   r c  c   r




 1
2



2
2
Dinamik & Bifurkasi dari Sistem PD Dimensi Dua
x2
x2
x1
x1
x2
=0
>0
x1
x2
x2
x1
c2 <  < 0
  c 2
x1
 < c2
Dinamik & Bifurkasi dari Sistem PD Dimensi Dua
… Subcritical Hopf Bifurcation
a

Keterangan :
Tidak stabil
Stabil
Diagram bifurkasi
TEOREMA FUNGSI IMPLISIT
Misalkan F  μ,x  , dengan μ
memenuhi kondisi
n,
x
adalah fungsi C1 yang
F  0,0   0
F  0,0   0 dan
x  
Maka terdapat  > 0 dan  > 0, dan fungsi C1,  :μ : μ <   
sedemikian sehingga   0   0 dan F  μ,  μ    0 untuk μ <  .
Lebih jauh lagi jika  μ0, x0  n x sedemikian sehingga μ < 
dan x < dan memenuhi persamaan F  μ0, x0   0, maka
x0   μ0  . (Hale dan Kocak 1991:41).
KESIMPULAN
 Sistem PD perturbasi dapat mengalami perubahan struktur
kualitatif jika nilai parameter dalam sistem diubah, sehingga
sistem dikatakan mengalami bifurkasi.
 PD linear ataupun sistem PD linear dimensi dua yang
memiliki titik keseimbangan hiperbolik, tidak akan
mengalami perubahan struktur kualitatif jika nilai parameter
dalam sistem diubah. Dalam hal ini PD ataupun sistem PD
dikatakan mempunyai struktur orbit stabil.
 Jika F pada PD ataupun sistem PD berupa fungsi kuadrat,
terdapat jenis bifurkasi, yaitu Saddle node dan Transcritical
bifurcation.
 Jika F pada PD berupa fungsi kubik, terdapat jenis bifurkasi,
yaitu Hysteresis, Subcritical pitchfork, Supercritical pitchfork,
dan Imperfect bifurcation.
KESIMPULAN
 Jika F pada sistem PD dimensi dua berupa fungsi kubik,
terdapat jenis bifurkasi, yaitu Subcritical pitchfork dan
Supercritical pitchfork bifurcation.
 Hopf bifurcation pada sistem PD dimensi dua ditandai
dengan adanya kemunculan orbit periodik pada phase
portrait dari sistem tersebut.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Alligood, K.T., Sauer, T.D., Yorke, and J. A. Chaos: An Introduction to
Dynamical Systems. New York: Springer-Verlag, 1996.
[2] Boyce, W.E., DiPrima, R.C. Elementary Differential Equations. New
York: John Wiley  Sons, 1997.
[3] Hale, J., Kocak, H. Dynamics and Bifurcations. New York: SpringerVerlag, 1991.
[4] Nagle, R.K., Saff, E.B. Fundamentals of Differential Equations and
Boundary Value Problems. Reading, MA: Addison-Wesley, 1996.
[5] Perko, L. Differential Equations and Dynamical Systems. New York:
Springer-Verlag, 1996.
[6] Strogatz, S.H. Nonlinear Dynamics and Chaos. Reading, MA: AddisonWesley, 1994.
[7] Thompson, J.M.T., Stewart, H.B. Nonlinear Dynamics and Chaos.
Chichester: John Wiley  Sons, 2002.
[8] Wiggins, S. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and
Chaos. New York: Springer-Verlag, 1990.
TERIMA KASIH
Contoh sistem PD dimensi dua

x1  x1

x2   x2