Transcript 自编第十二章耦合电感和理想变压器李翰逊

第十二章
耦合电感和理想变压器
12-1 基本概念
12-2 耦合电感的VCR
耦合系数
12-3 空心变压器电路的分析 反映阻抗
12-4 耦合电感的去耦等效电路
12-5 理想变压器的VCR
12-6 理想变压器的阻抗变换性质
12-7 理想变压器的实现
12-8 铁心变压器的模型
知识点
• 1、掌握耦合电感元件的电路模型、伏安关系及
同名端和耦合系数、反映阻抗概念。
• 2、熟练对含耦合电感电路的分析[回路法、去
耦等效法、空心变压器（反映阻抗法）]
• 3、牢固掌握理想变压器的伏安关系及阻抗变换
作用。
• 4、熟练分析含理想变压器的电路及全耦合变压
器电路
• 5、了解耦合电感、全耦合变压器和理想变压器
的区别。
• 6、了解实际变压器模型的组成
§12-1 基本概念
一、磁耦合、互感
1
F1 1
N1
2
N2
F2 1
如图，两个线圈1和2，
匝数N1、N2。
线圈1通入电流 i1 ，线圈1
i1
i1
1
1
2
2
中产生自感磁通F11， F11与线圈2交链的部分为F21，
这种磁通交链的现象称为磁耦合。 F21 F11
F21称耦合磁通或互感磁通， i1称为施感电流。
F11穿越自身线圈时，产生自感磁通链 Y11= N1 F11；
F21穿越线圈2时，产生互感磁通链 Y21= N2 F21。
§12-1 基本概念
设两线圈的电压和电流参考方向均各自关联。
由图，磁通方向与电流方向符合右手法则。
12
i1
I
 22
11
 21
i2

其中 11 表示线圈1电流在
本线圈中产生的磁链，称
为自感磁链；类此有 22 ；
12 表示线圈2的线圈电流
在线圈1中产生的磁链，称
为互感磁链，类此有  21。
§12-1 基本概念
线圈2通入电流 i2 ，
自感磁通F22
互感磁通F12
F12 F22
F12
2
1 N1
i2
1
1
F22
N2
i2
2
2
F22穿越线圈2时，产生自感磁通链 Y22= N2F22；
F12穿越线圈1时，产生互感磁通链 Y12= N1 F12。
当周围空间是各向同性的线性磁介质时，则
Y11=L1i1 ， Y22=L2i2 ，Y12=M12i2 ， Y21=M21i1
M12和M21称为互感系数，简称互感，用 M表示。
可以证明，M12=M21，即 M=M12=M21 。
§12-1 基本概念
二、互感电压
两个线圈有磁耦合时，一线圈通有变动电流，在
本线圈产生自感电压，在另一线圈产生互感电压。
设线圈 1的施感电流为 i1，u1与i1关联，则
di1
自感电压 u1 = L1
dt
F11
F21
互感电压u21与互感磁
通F21符合右手螺旋关系
d 21
di1
u21 =
=M
dt
dt
反之
L1
－
u1
L2
i1
+
－ u21 +
+ u21 －
d 21
di1
u21 = 
=M
dt
dt
§12-1 基本概念
线圈 2的施感电流i2
F12
F22
在线圈1中产生互感电压
di2
u12 = M
dt
或 u12 =  M
L1
di2
dt
－
+
u12
u12
L2
+
－
i2
－ u2 +
di2
u 2 = L2
dt
正负号取决于互感磁通与互感电压的参考方向
是否为右手螺旋关系。是，取正；否，取负。
互感电压与另一线圈中通过的电流有关，取正
负时必须知道线圈的绕向。
§12-1 基本概念
三、同名端
1、定义：
当有电流分别从两线圈流入，二者产生的磁场
相互加强，这两个端钮称为同名端(对应端)。
同名端用 、* 、△等标记。
F11
F21
F12
F22
L1
i1

L2
 i2
1
• •
L1
1
2
M
L2
2
§12-1 基本概念
2、同名端的判别
1）已知绕向
1
1
2
•
•
•*
1 •
1
2
•
2
•
3
△
△
*
1 •
•
• 2
2 •
两两判别，采用不同的记号。
同名端与线圈的绕向、位置
有关。
§12-1 基本概念
2）若不知绕向，用实验方法确定
直流法：如图当开关 S 迅速闭合，若mA表正
向偏转，则1与3为同名端。
当有随时间增大的电
流从任一端流入一个线圈
时，将会引起另一个线圈
i1
S 1
US
3
M
L1
+
mA
L2
－
2
4
相应同名端电位的升高。
例12-1 S打开瞬间， mA表偏转方向？如何
判别同名端？
§12-2耦合电感的VCR
耦合系数
一、耦合电感的伏安关系及等效电路
1、耦合电感的伏安关系
1
i1
i2
M
• •
+
u1
L1
2
+
L2
u2
—
—
1
2
di1
di2
u1 = L1
 M
dt
dt
自感电压 互感电压
di2
di1
u2 = L2
 M
dt
dt
自感电压 互感电压
如果互感电压“+”极性
端子与产生它的电流流进的
端子对同名端是一致的，互
感电压取+，反之取－。
di1
di2
u1 = L1  M
dt
dt
di1
di2
u2 = M
 L2
dt
dt
§12-2耦合电感的VCR
耦合系数
一、耦合电感的伏安关系及等效电路
2、耦合电感的等效电路
Ⅰ
a+
u1
M i2
i1
L*1
*
L2
+c
u2
b
i1
a
+
u1
-d
di1
di2
u1 = L1  M
dt
dt
di1
di2
u2 = M
 L2
dt
dt
b
-
L1
di2
M
dt

i2
M
L2

di1
M
dt

+
c
u2
-
d
§12-2耦合电感的VCR
Ⅱ
a+
u1
b
-
i1 M i2
L*1
L2
+c
Ⅱ
a
*
di1
di2
u1 = L1
M
dt
dt
di1
di2
u2 =  M
 L2
dt
dt
-d
i1
+
u2
u1
b
-
耦合系数
L
 1
M
di2
dt

i2
M
L2

di
M 1
dt

+
c
u2
-
d
§12-2耦合电感的VCR
耦合系数
课堂练习
写出下面两电路的伏安关系
i1
i2
+
u1
—
•
L1
M
L2
•
（1）
i2
+
+
u2
u1
—
—
+
M
• •
L1
L2
i1
（2）
u2
—
di1
di2
u1 = L1
 M
dt
dt
di1
di2
u1 =  L1
 M
dt
dt
di2
di1
u2 = L2
 M
dt
dt
di2
di1
u2 = L2
 M
dt
dt
§12-2耦合电感的VCR
耦合系数
例 列写伏安关系式，电路模型如下图。
a-
u1
+
i1
i2
M
*
L1
L2
*
- c
u2
+
d
b
故电路模型也可以用
受控源的形式表示：
di1
di2
u1 = uL1  uM 1 =  L1  M
dt
dt
di2
di1
u2 = uL 2  uM 2 =  L2  M
dt
dt
a-
u1
b
+
i1

i2
M
L1
di2
M
dt

L2
di1
M
dt

- c
u2
+
d
§12-2耦合电感的VCR
耦合系数
二、、耦合系数 k
描述两个耦合线圈的耦合紧疏程度的物理量。
k
def
 12  21

 11  22
由于 Y11=L1i1 ， Y22=L2i2 ，Y12=Mi2 ， Y21=Mi1
k =
M 1
L1 L2
与线圈的结构、相互位
置及周围的磁介质有关。
改变或调整它们的相互位置就能改变耦合因数
的大小。
§12-2耦合电感的VCR
耦合系数
例 12-2 首先将含互感电路化为含互感电压的
等效电路。
（选讲）例12-3 含两对耦合电感注意互感电压。
（此题可以用12-4去耦等效更简单)
*例12-4 一对耦合电感串联
（利用互感电压的解法）
1、顺接 2、反接。
§12-3 空心变压器的分析
耦合电感受控源等效电路
1
施感电流为同频率的正弦
量，伏安关系可用相量表示。
U1 = jL1I1  jMI2
U 2 = jMI1  jL2 I2
受控源等效电路为
注意:受控电压源的极性
反映阻抗
i1
i2
M
• •
+
L1
u1
+
L2
u2
—
—
1
1
I1
+
U1
—
1
I2
+
jL1
jL2
+
+
—
—
jMI2
2
2
2
U 2
jMI1
—
2
§12-3 空心变压器的分析
反映阻抗
一、空心变压器
两个绕在非铁磁材料制成的心子上的互感线圈，
就构成了空心变压器。
原边（初级）— R1、L1
副边（次级）— R2、L2
负载电阻、电抗 — RL、XL
两线圈的互感 — M
空心变压器有五个参数
I1
+
I2
R1
U 1
R2
RL
• •
—
L2
L1
M
XL
§12-3 空心变压器的分析
反映阻抗
I1
R1I1  jL1I1  jMI2 = U1
jMI1  R2  RL  jL2  jX L I2 = 0  +
U1
令 Z11=R1 + jL1 ZM= jM
—
I2
R1
• •
I1 =
U1 Z M
0 Z 22
Z11 Z M
Z M Z 22
=
Z 22U1
2
Z11Z 22  Z M
L2
L1
XL
M
Z22=(R2 + RL)+j(L2 +XL)
Z11I1  Z M I2 = U1
 
Z M I1  Z 22 I2 = 0
RL
R2
=
U1
Z11 
2
ZM
=
U1
Z11  M 2 Y22
Z 22
1Y11Z M

U
I2 =
2
Z 22  M  Y11
1
1
其中 Y11 =
Y22 =
Z11
Z 22
§12-3 空心变压器的分析
二、引入阻抗(反映阻抗)
M 2 Y22 = M 2
当副边开路，即 I2 = 0


U
U
1
I1 =
= 1
R1  jL1 Z11
I1 =
U1
Z11  M 2 Y22
分母多出一项 M 2 Y22
该项是Z22通过互感反映
到原边的等效阻抗。故称
为引入阻抗或反映阻抗。
1
R2  RL  jL2  jX L
R22
=
副边加载时
反映阻抗
M 2
R22  jX 22
jX22

M 2 R22  jX 22 
=
R222  X 222

M 2 R22 M 2 X 22
=
j
R222  X 222
R222  X 222
反映电抗
反映电阻
恒为正值 与X22性质相反
§12-3 空心变压器的分析

M 2 R22
反映电阻：
2
R22

2
X 22
反映阻抗
所吸收的功率代表了原边通过
互感 M 输送到副边去的功率。
2



M
X 22
反映电抗：
2
R22

2
X 22
有一负号，当X22> 0为感性时,
则－X22 < 0 ，反映电抗为容性。
结论： 引入阻抗的性质与Z22相反，感性变为容性，
或容性变为感性；引入阻抗吸收的复功率就
是副边回路吸收的复功率。
§12-3 空心变压器的分析
反映阻抗
*三、空心变压器的原副边等效电路
I1 =
U1
Z11  M 2 Y22
原边等效电路
I1
U 1
I2
Z M Y11U1
Z11
Z22
—
反映阻抗
—
I2 =
M 2 Y11
+
M 2 Y22
+
副边等效电路
 U1Y11Z M
2
Z 22  M  Y11
Z M Y11U1 —等效电源
开路电压
M 2 Y11 —原边反映到副
边的等效阻抗
§12-3 空心变压器的分析
反映阻抗
例：电路如图，U S = 100 V ， =1rad/s，求电流 I2 。
解： 1）列方程求解
10  j5I1  j3I2 = 10
 j3I  15  j10I = 0
1
U S
2
10  j5 10
 j3
0
j30
I =
=
2
10  j5
 j3
109 j175
 j3 15  j10
+
= 145.531.9 mA
5W
R1
R2
• •
L1 =5H
—
j30

=
=
0
.
1455

31
.
9


206 .17 58.1

I1 10W
M
3H
a I2
L2 =10H RL
b
副边消耗的功率
P = I 22 ( R2  RL )
= 0.14552 (5  10)
= 0.318 W
10W
§12-3 空心变压器的分析
反映阻抗
2）用副边等效电路求解
Z M = j3
M 2 Y11
(M ) 2 = 9
1
1
Y11 =
=
Z11 10  j5
I2
+
Z M Y11U1
—
Z 22 = 5  10  j10 = 15  j10
1
j3 
10

Z M Y11U1
10  j5
j30
I =
=
=
2
2
(M ) Y11  Z 22 9  1  15  j10 109  j175
10  j5
= 145.531.9 mA
思考题：用该例题验证反映电阻吸收的功率等于
副边电阻吸收的功率。
Z22
§12-4 耦合电感的去耦等效电路
*去耦等效(两电感有公共端)
(a) 同名端接在一起
j M

I1
1
j  L1
*

I1

I2
2
*
j  L2


I2
2
1
j (L1–M)
* *

I1
j (L2–M)
I2
2
1
* *
(L1–M)
j M
I
3

3



U 23 = jL2 I 2  jM I 1



I = I1 I2

I
3
I

U 13 = jω L1 I 1  jω M I 2

M


(L2–M)





整理得 U 13 = jω( L1  M ) I 1  jω M I

U 23 = jω( L2  M ) I 2  jω M I
§12-4 耦合电感的去耦等效电路
(b) 非同名端接在一起

j M

I1
1
j  L1
I1

I2
I2
2
1
2
*

j (L2+M)
j (L1+M)
j  L2
*


I1
I2
2
1
(L2+M)
(L1+M)
-j M
-M


3
I
3




U 23 = jL2 I 2  jM I 1

I = I1 I2
I

U 13 = jL1 I 1  jM I 2


3


I





整理得 U 13 = jω( L1  M ) I 1  jω M I

U 23 = jω( L2  M ) I 2  jω M I
§12-4 耦合电感的去耦等效电路
一、两个耦合电感的串联
1、顺接 i +
u1
+
R1 • L1
u
M
+
+
u2
u
R2
•
L2
—
u1
i +
—
R1
—
L1+ M
R2
+
u2
L2 + M
—
—
 di
di
di 
KVL方程 u1 = R1i   L1  M  = R1i  L1  M 
dt
dt 
 dt
 di
di
di 
u 2 = R2i   L2  M  = R2i  L2  M 
dt
dt 
 dt
di
u = u1  u 2 = R1  R2 i  L1  L2  2M 
dt
—
§12-4 含有耦合电感电路的计算
对正弦稳态电路
U1 = R1  j L1  M I
U 2 = R2  j L2  M I
U = R1  R2   j L1  L2  2M I
无感等效电路为
i
+
u
—
R1 + R2
L1+ L2+2 M
U 1
I +
+
R1
•
U
—
jL1
+
R2
jM
•
U 2
jL2
—
—
等效电感为
L=L1+ L2+2 M
顺接时，电感增大！
§12-4 耦合电感的去耦等效电路
2、反接
u1 = R1i  L1  M 
di
dt
di
u2 = R2i  L2  M 
dt
di
u = R1  R2 i  L1  L2  2M 
dt
等效电感为 L=L1+ L2－2 M
+
互感削弱，互感的这种作
用称为互感“容性”效应。
R1
—
L1
•
M
u
+
R2
•
u2
L2
—
—
无感等效电路为
反接时，电感减小！
等效电感减少，自感被
u1
i +
i
+
u
—
R1 + R2
L1+ L2-2 M
§12-4 耦合电感的去耦等效电路
二、两个耦合电感的并联
I １
+
1、同侧并联
I = I1  I2
U = R1  jL1 I1  jMI2 = Z1 I1  Z M I2
U = R2  jL2 I2  jMI1 = Z M I1  Z 2 I2
•
U
L1
—
ZM= jM
解得： I1 = Z 2 Z M 2 U
I = Z1  Z 2  22Z M U
Z1 Z 2  Z M
I 2 = Z 1 Z M 2 U
Z1 Z 2  Z M
I1
R1
令 Z1=R1 + jL1 Z2=R2 + jL2
Z1 Z 2  Z M
M
U
Z1Z 2  Z M2
Z eq = =
I Z1  Z 2  2Z M
•
I2
L2
R2
§12-4 耦合电感的去耦等效电路
U = R1  jL1 I1  jMI2
I2 = I  I1
U = R2  jL2 I2  jMI1
I1 = I  I2
I １
+
L1
U
•
I2
L2
R2
—
U = jMI  R2  j L2  M I2
无感等效电路
I １
M
I1
+
点1的位置
I1
R1
U = jMI  R1  j L1  M I1
注意：变换前后节
•
M
U
L1－M
L2 －M
R1
—
I2
R2
§12-4 耦合电感的去耦等效电路
I １
2、异侧并联
+
与同侧并联类似，可得：
U =  jMI  R1  jL1  M I1
U =  jMI  R2  jL2  M I2
•
U
M
I1
I2
L1
L2
R1
—
•
R2
无感等效电路
I １ －M
注意：变换前后节
I1
+
U
点1的位置
L1 + M
L2 + M
R1
—
I2
R2
§12-4 耦合电感的去耦等效电路
三、一端相接的互感线圈的去耦等效电路（课堂练习）
同名端
在同侧
１
I1
M
•
•
L1
2
I2
L2
１
I1
M
•
L2
L1
3
同名端
在异侧
I
0
0
１
I1
0(3)
•
3
I
L1- M
2
I2
2
I2
L2- M
3
１
I1
L1+ M
2
I2
L2+ M
3
M
-M
I
I
0(3)
注意：3与3点
的区别
§12-4 耦合电感的去耦等效电路
I2
四、举例
已知：U 1= 20V,
例1 电路如图，
+
R2
•
R1=6W，L1=8W，R2=4W，L2=6W，
二个线圈耦合系数k =0.5，求：
2）二线圈反接时的开路电压 U 2 。
解：1） 
k=
M
L1 L2
M = k L1L2 = k L1L2
= 0.5 8  6 = 3.46W
L2
+
1）二线圈顺接时的开路电压 U 2 ；
C
U 1
—
I1
M
U 2
R1
•
L1
—
D
C、D开路，线圈1
中无互感电压
U1

I =
=
2


53
.
1

1
R1  jL1
§12-4 耦合电感的去耦等效电路
I2
I1 在线圈2中产生互感电压 U M 2
+
U M 2 = jMI1 = 6.92836.9 V
U 2 = U M 2  U1 = 25.889.25 V
U M 2 L2
•
+ I
2）反接时，互感电压如图
U 2 = U M 2  U1 = 15.05  16.1
1
V
此例给出了判别同名端的一种方法：
U 1
R2
•
C
U M 2
M
U 2
R1
•
L1
—
—
D
一交流电压源接于一线圈上，线圈顺接时，两
端电压高；线圈反接时，两端电压低。
思考题：根据互感线圈顺接和反接时电感值不同，还能
给出一种判别同名端的方法吗？
§12-4 耦合电感的去耦等效电路
例2 求图示含源二端网络的等效电路，已知： U1=6V，
L1= L2= 10W， M=5W， R2= R1=6W 。
解：1）求开路电压

U
1
I =
R1  R2  jL1
I
R1
•
L1
L2
M
•
a
+
U 1
R2
—
U oc = U ab = jMI  R2 I
6  j5
R2  jM 
 6 = 30 V
=
U1 =
12  j10
R1  R2  jL1
b
§12-4 耦合电感的去耦等效电路
2）求等效阻抗
I
方法一：画去耦等效电路
R1
L1－M
•
L1
L2
M
•
a
+
U 1
R2
—
L2－M
M
R1
b
Zeq
R2

R2  jM R1  j L1  M 
Z eq = j L2  M  
R1  R2  jL1

6  j56  j10  j5
= j10  j5 
12  j10
6  j5
= j5 
= 3  j7.5W
2
§12-4 耦合电感的去耦等效电路
方法二： 画出受控源等效电路
R1  jL1 I1  jMI2  R2 I1  I2  = 0

 jL2 I2  jMI1  R2 I1  I2  = U
R1

L1 jMI 2
I1

R1  R2  jL1 I1  R2  jM I2 = 0





R2  jM I1  R2  jL2 I 2 = U
+
I1  I2

L2 jMI1
+
—
—
R2
I2
+
U
—
R1  R2  jL1 0

R

j

M
U

R1  R2  jL1 U
2
I =
=
2
R1  R2  jL1 R2  jM
R2  jL2 R1  R2  jL1   R2  jM 2
R2  jM
R2  jL2
2

U
R2  jM 
Z eq = = R2  jL2 
= 3  j7.5W
I
R1  R2  jL1
2
§12-5 理想变压器的VCR
一、理想变压器
理想变压器只有一个参数
匝比
N2
n=
N1
+
i1
i2
•
•
u1
—
+
u2
1: n
—
1: n
在图示参考方向下，方程为： u2 = n i1
=

n
u1
u2
i
2
u1i1  u2i2 =  ni2   u2i2 = 0
i1
i2
n
+
+
•
输入理想变压器的瞬时功率等
于零，它既不耗能也不储能，将能
u1
u2
•
—
1: n
1: n
量由原边全部传输到副边输出，将 u
2
= n i2 = 1 i1
电压、电流按变比作数值变换。
u1
n
—
§12-5 理想变压器的VCR
二、空心变压器与理想变压器
空心变压器经“理想化”和“极限化”就演
变成理想变压器。
1、空心变压器本身无损耗，即R1=R2=0；
2、耦合因数k=1；
3、 L1 、L2 和M均为无限大，但保持
不变，n为匝数比。
L1
=n
L2
§12-5 理想变压器的VCR
！在分析有关互感、变压器的问题时，注意电压电
流的方向
例 12-13
练习12-14 P572
§12-6 理想变压器的阻抗变换性质
理想变压器的阻抗变换作用
Z in
1
U2
U
= 1 = n
I1
 nI 2
+
Zin
1 U2
1
= 2 ( ) = 2 Z L
n
I2
n
理想变压器的受控源等效电路
+
I1
I2
+
+
U1
—
nI 2
nI 2
nU1 U 2
nU1
—
—
U1
I1
I2
•
•
+
U 2
—
—
1: n
ZL
§12-6 理想变压器的阻抗变换性质
例1、电路如图，RL=10W，为使负载能从电源
获得最大功率，求匝比。
解：Z in = 12 RL = 102
n
n
10
= 10000
2
n
1
=
n
RS = 10 4 W
•
+
•
uS
—
1: n
1000 = 31.6
RL
§12-6 理想变压器的阻抗变换性质
例2、电路如图，求 I2 。已知：U S = 500 V 。
I100
W
1
解：方法一 列方程求解
100I1 U1 = 500
+
10000I2 = U 2
U1
= 0.1
U 2
—
I1
= 10
I 2
I2 = 25180 mA
U S
I2
+•
U1
-
+
•
U 2
-
10kW
1 : 10
将理想变压器的电压 (U1 U 2 )
电流 ( I1 I2 ) 作为未知量
列写理想变压器的伏安关系。
§12-6 理想变压器的阻抗变换性质
I1 100 W
方法二 戴维南定理求解
1、开路电压
 I2 = 0
 I1 = 0
U1 =U S = 500 V
U oc = U 2 = 10U1
= 5000 V
2、等效阻抗
Z eq = n2 Z1
= 102 100 = 10 kW
I2
+•
+
U S
U1
-
—
+
10kW
U 2
•-
1 : 10
3、电流 I2
10kW I2
+
Z eq
U oc
10kW
—
I 2 = 4 500 4 = 25180 mA
10  10
§12-6 理想变压器的阻抗变换性质
I1 100 W
方法三 先求 I1
+•
+
U S
Z in = n 2 Z 2
U1
-
—
2
1

=   10000 = 100 W
10 

50

0
I1 =
= 0.25 A
100  100
1
I2 =  I1 = 0.025 A
10
= 25180 mA
I2
+
10kW
U 2
•-
1 : 10
100W I1
+
U S
—
Zin
100W
例3.

I1
5:1
*
+
*

U1
两个副边并联原边


解： I = 1 I  1 I
1
2
3 (根据)
5
6




U1 = 5 U2 , U1 = 6 U 3
+
*
5W
–


U3
–
6:1
R
§12-6
理想变压器的阻抗变换性质

I2
理想变压器副边有两个线圈，
+
变比分别为5:1和6:1。

4W U
2
求原边等效电阻R。
–
100W

I3
180W



U1
U1
U1
R=  = 
=



1
1
I1
I 2  I 3 1 U2 1 U 3

5
6
5 4 6 5

 R = 100 // 180 = 64.3Ω
=
U1


U1
U1
 2
2
5 4 6 5
=
1
1
1
 2
2
5 4 6 5
§12-7 理想变压器的实现
理想变压器是满足一定条件后的耦合电感。
一、理想变压器(全耦合没有漏磁通）
Φ11 = Φ21
Φ22 = Φ12
Φ = Φ11  Φ22
u2 (t )
N2
=
=n
u1 (t )
N1
二、、 L1 、L2 和M均为无限大，但保持
u1 di1
N2 di2
M di2 di1
=

=

L1 dt
L1 dt dt
N1 dt L 、L
u2 M di1
di2 N1 di1
di2
=

=

L2 L2 dt
dt N 2 dt
dt
1
2
L1
=n
L2
不变

i1 (t ) = -ni2 (t )
§12-8 铁芯变压器的模型
实际变压器是有损耗的，也不可能全耦合，即 L1，
L2 , k 1。除了用具有互感的电路来分析计算以外，还
常用含有理想变压器的电路模形来表示。
一、理想变压器(全耦合，无损，m= 线性变压器)
u2 = nu1
i1
+
1:n
* *
i2
+
u1
u2
–
–
i1 = ni2
U2 = nU1
I1 = nI 2
§12-8 铁芯变压器的模型
二、全耦合变压器(k=1，无损 ，m， 线性)

I1
j M
+
*

j L1
U1
–
–
*

j L2 U 2
1:n
* *
j L1
与理想变压器不同之处是要考
虑自感L1 、L2和互感M。
+
–
+
U1
I2

I1


L2 / M = n = M / L1

U2 = nU1
I2
+

U2
–
理想变压器
全耦合变压器的等值电路图
I1 =
1 U = nI
2
jωL 1 1
L1：激磁电感
(magnetizing inductance )
§12-8 铁芯变压器的模型
三、无损非全耦合变压器(忽略损耗，k1，m， 线性)
F21
i1
+
u1
–
F12
i2
F1s
F2s
N1
N2
+
u2
–
dΨ 1 dΨ 1S dΨ 21 dΨ 12
u1 =
=


dt
dt
dt
dt
dΨ 2 dΨ 2S dΨ 12 dΨ 21
u2 =
=


dt
dt
dt
dt
在线性情况下，有
di1
di 1
di 2
di 1
u1 = L1S
 L10
M
= L1S
 u1'
dt
dt
dt
dt
di2
di 2
di1
di2
u2 = L2 S
 L20
M
= L2 S
 u2'
dt
dt
dt
dt
全耦合部分
§12-8 铁芯变压器的模型
由此得无损非全耦合变压器的电路模型：
i1
+
u1
–
L1S
L2
1:n
+
* *
u1' L10
–
+
u2 '
–
S
i2
+
L1S, L2S：漏电感
u2
(leakage inductance)
–
全耦合变压器
ψ1S N1Φ1S
ψ
NΦ
L1S =
=
,
L10 = 21 = 1 21
i1
i1
i1
i1
ψ 2S N 2Φ2S
ψ12 N 2Φ12
L2S =
=
,
L20 =
=
i2
i2
i2
i2
ψ12 N1Φ12 ψ 21 N 2Φ21
M=
=
=
=
i2
i2
i1
i1
L1 = L1S  L10 ,
L2 = L2S  L20
n = N 2 / N1 ,
M = L10  L 20
§12-8 铁芯变压器的模型
四、考虑导线电阻(铜损)和铁心损耗的非全耦合变压器
(k1，m， 线性)
i1
R1
L1S
1: n
+
u1
–
* *
Rm
L10
L2
S
R2 i2
+
u2
–
上面考虑的实际变压器认为是线性的情况下讨论的。实际
上铁心变压器由于铁磁材料 B–H特性的非线性, 初级和次级都
是非线性元件，本来不能利用线性电路的方法来分析计算，
但漏磁通是通过空气闭合的，所以漏感LS1，LS2 基本上是线性
的，但磁化电感LM(L10)仍是非线性的，但是其值很大，并联
在电路上起的影响很小，只取很小的电流，电机学中常用这
种等值电路。
§12-8 铁芯变压器的模型
*例12-16 全耦合变压器 P581
*例12-17 利用戴维南求全耦合变压器
例12-18 自耦变压器
变压器小结：
变压器的原理本质上都是互感作用，实际上有习惯处理方法。
Z11
空心变压器：电路参数 L1 、L2 、M,
储能。
Z引入
理想变压器：电路参数n, 不耗能、
不储能，变压、变流、变阻
抗，等值电路为：
铁心变压器：电路参数 L1, L2, n, M , R1, R2 .
注意：理想变压器不要与全耦合变压器混为一谈。
n2Z2
第十二章
小
结
一、互感
正确列写互感电路的伏安关系，特别是互感电
压的正负。
二、含有互感电路的计算
会画去耦等效电路（互感的串联、并联及一端
联接）。
三、空心变压器和理想变压器
反映阻抗、理想变压器伏安关系。
四、同名端的判别