Slide 3-4

Transcript Slide 3-4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Περιγραφική Στατιστική Slide 3-1

Στόχοι του Μαθήματος

• Διάκριση μεταξύ μέτρων κεντρικής τάσης, μέτρων διασποράς και μέτρων σχήματος κατανομής.

• Κατανόηση της σημασίας του μέσου, της διαμέσου και της επικρατούσας τιμής, του τεταρτημορίου, του εκατοστημορίου και του εύρους.

• Υπολογισμός μέσου, διαμέσου, επικρατούσας τιμής, τεταρτημορίου, εκατοστημορίου, εύρους, διακύμανσης, τυπικής απόκλισης και μέσης απόλυτης απόκλισης.

Slide 3-2

Στόχοι του Μαθήματος-Συνέχεια

• Διάκριση μεταξύ δειγματικής και πληθυσμιακής διακύμανσης και τυπικής απόκλισης.

• Κατανόηση της σημασίας της τυπικής απόκλισης όπως αυτή εφαρμόζεται χρησιμοποιώντας τον εμπειρικό κανόνα.

• Κατανόηση του θηκογράμματος, της ασυμμετρίας και της κύρτωσης.

Slide 3-3

Μέτρα Κεντρικής Τάσης

• Τα Μέτρα Κεντρικής Τάσης παρέχουν πληροφορίες για ‘συγκεκριμένες θέσεις ή τοποθεσίες ενός συνόλου αριθμών’.

Slide 3-4

Επικρατούσα Τιμή

• Η πιο συχνά εμφανιζόμενη τιμή σε ένα σύνολο δεδομένων. • Εφαρμόζεται σε όλα τα επίπεδα μέτρησης δεδομένων (ονομαστικά, διατάξιμα, διαστηματικής κλίμακας και κλίμακας λόγου).

• Bimodal – Δεδομένα που εμφανίζουν 2 επικρατούσας τιμές.

• Multimodal – Δεδομένα που περιλαμβάνουν περισσότερες από 2 επικρατούσας τιμές.

Slide 3-5

Επικρατούσα Τιμή- Παράδειγμα

• Η επικρατούσα τιμή είναι 44.

• Η τιμή 44 εμφανίζεται περισσότερες φορές από οποιαδήποτε άλλη τιμή.

35 37 37 39 41 44 45 41 44 46 43 44 46 43 44 46 40 43 44 46

40 43 45 48 Slide 3-6

Διάμεσος

• Είναι η ενδιάμεση τιμή σε ένα διατεταγμένο σύνολο αριθμών. • Εφαρμόζεται στα διατάξιμα δεδομένα, στα δεδομένα διαστηματικής κλίμακας και κλίμακας λόγου. • Δεν εφαρμόζεται στα ονομαστικά δεδομένα.

• Δεν επηρεάζεται από τις υπερβολικά υψηλές και από τις υπερβολικά χαμηλές τιμές.

Slide 3-7

Διάμεσος: Υπολογιστική Λειτουργία

• Πρώτη Λειτουργία – Τοποθέτηση των παρατηρήσεων σε ένα διατεταγμένο σύνολο.

– Αν ο αριθμών των στοιχείων είναι μονός, η διάμεσος είναι το μέσο στοιχείο του διατεταγμένου συνόλου. – Αν ο αριθμών των στοιχείων είναι ζυγός, η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δυο μέσων στοιχείων. • Δεύτερη Λειτουργία – Η θέση της διαμέσου σε ένα διατεταγμένο σύνολο δίνεται από (n+1)/2.

Slide 3-8

Διάμεσος: Παράδειγμα με μονό αριθμό στοιχείων

Το διατεταγμένο σύνολο περιλαμβάνει: 3 4 5 7 8 9 11 14 15 16 16 17 19 19 20 21 22 • Υπάρχουν 17 στοιχεία στο διατεταγμένο σύνολο.

• Θέση της Διαμέσου = (n+1)/2 = (17+1)/2 = 9 • Η διάμεσος είναι το 9 ο στοιχείο, δηλ. το15.

• Αν το 22 αντικατασταθεί από το 100, η διάμεσος παραμένει το 15.

• Αν το 3 αντικατασταθεί από το -103, η διάμεσος παραμένει το 15.

Slide 3-9

Μέσος

• Είναι ο μέσος όρος μιας ομάδας αριθμών.

• Εφαρμόζεται στα δεδομένα διαστηματικής κλίμακας και κλίμακας λόγου, δεν εφαρμόζεται στα ονομαστικά ή διατάξιμα δεδομένα.

• Επηρεάζεται από κάθε παρατήρηση, περιλαμβανομένων και των υπερβολικών τιμών.

• Υπολογίζεται αθροίζοντας όλες τις παρατηρήσεις και διαιρώντας με τον αριθμό τους.

Slide 3-10

Πληθυσμιακός Μέσος

  

X N

   93 5  5  

X

Slide 3-11

Δειγματικός Μέσος

 

n X

  

X X X

3    6  379 6 

X

Slide 3-12

Τεταρτημόρια

Είναι Μέτρα Κεντρικής Τάσης που χωρίζουν το σύνολο των δεδομένων σε 4 υποσύνολα.

• Q • Q • Q 1 2 3 : 25% : 50% : 75% των δεδομένων ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο.

Slide 3-13

Τεταρτημόρια-Συνέχεια

• Το Q 1 είναι ίσο με το 25 ο εκατοστημόριο • Το Q 2 τοποθετείται στο 50 εκατοστημόριο και είναι ίσο με τη διάμεσο ο • Το Q 3 είναι ίσο με το 75 ο εκατοστημόριο Οι τιμές των τεταρτημορίων δεν είναι αναγκαστικά κομμάτι των δεδομένων.

Slide 3-14

Τεταρτημόρια

Slide 3-15

Τεταρτημόρια: Παράδειγμα

• Διατεταγμένο σύνολο: 106, 109, 114, 116, 121, 122, 125, 129 • Q • Q • Q 1 2 3 : : :

 25 100 ( )

 50 100 ( )

 75 100 ( )

1 

2 

Slide 3-16

Μέτρα Διασποράς

• Τα Μέτρα Διασποράς περιγράφουν την απόκλιση ή την διασπορά ενός συνόλου δεδομένων.

Slide 3-17

Μεταβλητότητα

Μη Μεταβλητότητα των Χρηματορροών Μεταβλητότητα των Χρηματορροών

Slide 3-18

Μεταβλητότητα

Μεταβλητότητα

Μη Μεταβλητότητα Slide 3-19

Εύρος

• Η διαφορά μεταξύ της υψηλότερης και της χαμηλότερης τιμής σε ένα σύνολο δεδομένων.

• Εύκολο να υπολογιστεί.

• Αγνοεί όλα τα στοιχεία των δεδομένων εκτός από τις τιμές που βρίσκονται στα 2 άκρα.

• Παράδειγμα: Εύρος =

35 37 37 39 41 41 43 43 44 44 44 44 45 46 46 46

= Υψηλότερη-Χαμηλότερη τιμή

40 43 44 46

= 48 - 35 = 13

40 43 45 48

Slide 3-20

Ενδοτεταρτημοριακό Εύρος

• Εύρος τιμών μεταξύ του πρώτου και του τρίτου τεταρτημορίου. • Εύρος του “middle half”.

• Λιγότερο επηρεασμένο από τις ακραίες τιμές.



 







3 

Slide 3-21

Απόκλιση από το μέσο

• Παρατηρήσεις: 5, 9, 16, 17, 18 • Μέσος:   

N X

 65 5  13 • Αποκλίσεις από το μέσο: -8, -4, 3, 4, 5

+5 +3 +4

-8 -4

0 5 10



15 20

Slide 3-22

Μέση Απόλυτη Απόκλιση

• Μέσος όρος των απόλυτων αποκλίσεων από τον μέσο.

5 9 16 17 18

 

-8 -4 +3 +4 +5 0

 

+8 +4 +3 +4 +5 24

   24 5 

X N

Slide 3-23

Πληθυσμιακή Διακύμανση

• Μέσος όρος τετραγωνικών αποκλίσεων από τον αριθμητικό μέσο.

X

5 9 16 17 18

  

   2

-8 -4 +3 +4 +5 0 64 16 9 16 25 130

 2   





X N



Slide 3-24

Πληθυσμιακή Τυπική Απόκλιση

• Τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης

X

 

5 9 16 17 18 -8 -4 +3 +4 +5 0



   2

64 16 9 16 25 130

 2       





X N



  2 1 3 0 5  2

Slide 3-25

Εμπειρικός Κανόνας

• Τα δεδομένα ακολουθούν την κανονική κατανομή (ή κατά προσέγγιση κανονική) Απόσταση από το μέσο       1 2 3    © 2002 Thomson / South-Western Ποσοστό των τιμών που βρίσκεται πλησίον του μέσου 68 95 99.7

Slide 3-26

Δειγματική Διακύμανση

• Μέσος όρος των τετραγωνικών αποκλίσεων από τον αριθμητικό μέσο.

2,398 1,844 1,539 1,311 7,092



625 71 -234 -462 0





 2

390,625 5,041 54,756 213,444 663,866

2 





X n



Slide 3-27

Δειγματική Τυπική Απόκλιση

• Τετραγωνική ρίζα της δειγματικής διακύμανσης

X X







 2

2,398 1,844 1,539 1,311 7,092 625 71 -234 -462 0 390,625 5,041 54,756 213,444 663,866

2 

      

X n

  1

 2

2 3

Slide 3-28

Συντελεστής Μεταβλητότητας

• Εύρος της τυπικής απόκλισης από το μέσο, εκφρασμένο ως ποσοστό.

• Μέτρο της σχετικής διασποράς.

C V

Slide 3-29

Συντελεστής Μεταβλητότητας

  1 1   29

C V

2  84   10   2 2  100   10 84  100  

Slide 3-30

Μέτρα Σχήματος

• • •

Ασυμμετρία

– Απουσία συμμετρίας – Ακραίες τιμές στη μια πλευρά της κατανομής

Κύρτωση

– Κορυφή μιας κατανομής

Θηκόγραμμα

Slide 3-31

Ασυμμετρία

Αρνητική Ασυμμετρία Συμμετρία Θετική Ασυμμετρία

Slide 3-32

Ασυμμετρία

Μέσος Επικρατούσα Τιμή Διάμεσος Μέσος Διάμεσος Επικρατούσα Τιμή Αρνητική Ασυμμετρία Συμμετρία Επικρατούσα Τιμή Διάμεσος Μέσος Θετική Ασυμμετρία

Slide 3-33

Συντελεστής Ασυμμετρίας

• Συνοπτικό μέτρο ασυμμετρίας

 3    

M d

 • Αν S < 0, η κατανομή είναι αρνητικά ασύμμετρη (ασύμμετρη στα αριστερά).

• Αν S = 0, η κατανομή είναι συμμετρική (όχι ασύμμετρη).

• Αν S > 0, η κατανομή είναι θετικά ασύμμετρη (ασύμμετρη στα δεξιά).

Slide 3-34

Συντελεστής Ασυμμετρίας

 1  23

M d

 1 1   26

1     3   1  1

M d

 1   2  26

M d

 2 2   26

2     3   2  2 

M d

 2  3  29

M d

 3 3   26

3     3   3  3

M d

 3    .

Slide 3-35

Κύρτωση

• Κορυφή μιας κατανομής – Λεπτόκυρτη: ψηλή και λεπτή – Μεσόκυρτη κανονική στο σχήμα – Πλατύκυρτη: επίπεδη και εξαπλωμένη προς τα έξω

Λεπτόκυρτη Μεσόκυρτη Πλατόκυρτη

Slide 3-36

Θηκόγραμμα

•

Χρησιμοποιούνται 5 συγκεκριμένες τιμές:

–

Διάμεσος, Q 2

–

Πρώτο τεταρτημόριο, Q 1

–

Τρίτο τεταρτημόριο, Q 3

–

Ελάχιστη τιμή στο σύνολο δεδομένων

–

Μέγιστη τιμή στο σύνολο δεδομένων

Slide 3-37

Θηκόγραμμα-Συνέχεια

• •

Εσωτερικά Όρια

–

IQR = Q 3 - Q 1

–

Χαμηλότερο εσωτερικό όριο =

–

Q 1 - 1.5 IQR Υψηλότερο εσωτερικό όριο = Q 3 + 1.5 IQR Εξωτερικά Όρια

–

Χαμηλότερο εξωτερικό όριο =

–

Q 1 - 3.0 IQR Υψηλότερο εξωτερικό όριο = Q 3 + 3.0 IQR

Slide 3-38

Θηκόγραμμα

Ελάχιστη τιμή

Q 1 Q 2 Q 3

Slide 3-39

Ασυμμετρία: Θηκογράμματα και Συντελεστής Ασυμμετρίας

S < 0 S = 0 S > 0 Αρνητική Ασυμμετρία

Συμμετρία Θετική Ασυμμετρία Slide 3-40

Slide 3-4

Transcript Slide 3-4

Στόχοι του Μαθήματος

Στόχοι του Μαθήματος-Συνέχεια

Μέτρα Κεντρικής Τάσης

Επικρατούσα Τιμή

Επικρατούσα Τιμή- Παράδειγμα

Διάμεσος

Διάμεσος: Υπολογιστική Λειτουργία

Διάμεσος: Παράδειγμα με μονό αριθμό στοιχείων

Μέσος

Πληθυσμιακός Μέσος

X

Δειγματικός Μέσος

X X X

X

Τεταρτημόρια

Τεταρτημόρια-Συνέχεια

Τεταρτημόρια

Τεταρτημόρια: Παράδειγμα

Μέτρα Διασποράς

Μεταβλητότητα

Μεταβλητότητα

Εύρος

Ενδοτεταρτημοριακό Εύρος

 



Απόκλιση από το μέσο

Μέση Απόλυτη Απόκλιση

Πληθυσμιακή Διακύμανση

X





Πληθυσμιακή Τυπική Απόκλιση

X





Εμπειρικός Κανόνας

Δειγματική Διακύμανση





Δειγματική Τυπική Απόκλιση

Συντελεστής Μεταβλητότητας

Συντελεστής Μεταβλητότητας

Μέτρα Σχήματος

Ασυμμετρία

Ασυμμετρία

Συντελεστής Ασυμμετρίας

Συντελεστής Ασυμμετρίας

Κύρτωση

Θηκόγραμμα

Θηκόγραμμα-Συνέχεια

Θηκόγραμμα

Ασυμμετρία: Θηκογράμματα και Συντελεστής Ασυμμετρίας

Directory