Transcript Precio unitario

TEMA 3
PLANTEAMIENTO DE SISTEMAS DE ECUACIONES
MATEMÁTICAS CCSS. 2º BACHILLERATO
Dos pasos:
 Identificar incógnitas
 Plantear las ecuaciones
1. Identificar incógnitas
1. Identificar incógnitas
 Fijarse cuáles son las cantidades que no sabemos
PREGUNTA DEL PROBLEMA
Un cliente de un supermercado ha pagado un total
de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y
12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada
artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple
que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que
4 l de aceite más 4 l de leche.
1. Identificar incógnitas
Un cliente de un supermercado ha pagado un total
de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y
12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada
artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple
que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que
4 l de aceite más 4 l de leche.
x : leche
y : jamón
z : aceite
x : precio de 1L de leche (€)
y : precio de 1kg de jamón (€)
z : precio de 1L de aceite (€)
 Escribir correctamente qué cantidad y en qué unidad
viene dada la incógnita
1. Identificar incógnitas
Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas:
A, B y C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gramos y su precio es
de 100 €, la marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de
180 € y la marca C lo hace en cajas de 1 kilogramo a un precio de 330
€. El almacén vende a un cliente 2.5 kilogramos de este producto por
un importe de 890 €. Sabiendo que el lote iba envasado en 5 cajas,
plantea un sistema para determinar cuántos envases de cada tipo se
han comprado.
x:A
y:B
z:C
x : número de envases de la marca A vendidos
y : número de envases de la marca B vendidos
z : número de envases de la marca C vendidos
1. Identificar incógnitas
Una tienda posee 3 tipos de conservas, A, B y C. El precio
medio de las 3 conservas es de 0.90 €. Un cliente compra
30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, debiendo abonar
50.49 €. Otro compra 20 unidades de A y 25 de C y abona
41.47 €. Calcula el precio de una unidad de A, otra de B y
otra de C.
x:A
y:B
z:C
x : precio de una unidad de A (€)
y : precio de una unidad de B (€)
z : precio de una unidad de C (€)
2. Plantear las ecuaciones
2. Plantear las ecuaciones
2.1 IGUALDAD
La suma del precio del autobús y el tren coincide con el del metro
x
y
es lo mismo que
se obtiene
es (ser)
…
x+y=z
z
2. Plantear las ecuaciones
2.2 EXCESO, SUMA, DIFERENCIA
El número de patatas excede en una unidad al de cebollas
x
y
x=y+1
Si al número de móviles se le suma el de ordenadores se obtiene el de TV
x
y
x+y=z
La diferencia entre el salario de Juan y el de Pepe es de 500€
x
y
x - y = 500
z
2. Plantear las ecuaciones
2.3 PROPORCIONES
Hay el doble de chicas que de chicos
x
y
x = 2y
Hay menos chicos, por tanto hay que
multiplicarlo por dos para obtener el
número de chicas
El salario de Juan es el quíntuplo del salario de David
x
y
x = 5y
El salario de David es menor, por tanto lo
multiplicamos por 5 para obtener el de Juan
2. Plantear las ecuaciones
2.3 PROPORCIONES
María gana 2/3 de lo que gana Elena
x
y
x = 2/3 · y
María gana menos, por tanto
multiplicamos lo que gana Elena por 2/3
para obtener el sueldo de María
El coche vale un tercio de lo que vale la moto y el camión
x
y
x = 1/3 · (y+z)
z
El coche vale menos que la suma de lo que
vale la moto y el camión, por tanto dicha
suma se multiplica por 1/3 para obtener el
precio del coche
2. Plantear las ecuaciones
2.3 PROPORCIONES
La edad de Blanca es la mitad de la de Ángel
x
x = y/2
y
Blanca tiene menos años, por
tanto divido la edad de Ángel
por dos, para obtener la de
Blanca…
… o multiplico por dos la edad de Blanca
para obtener la de Ángel
2x = y
El número de hombres y de mujeres duplica al de niños
x
x+y = 2z
(x+y)/2 = z
y
z
Hay menos niños, por tanto multiplico el
número de niños por dos para obtener el
número de hombres y de mujeres…
… o divido el número de hombres y de
mujeres entre dos
2. Plantear las ecuaciones
2.3 PROPORCIONES
Hay ocho veces más chicas que chicos
x
y
x = 8y
Hay menos chicos, luego multiplico por 8 el número
de chicos para obtener el número de chicas
Por cada tres chicas hay diez chicos
x
10x = 3y
y
Hay menos chicas que chicos, por tanto multiplico
el número de chicas por 10 y el número de chicos
por 3
Chicas 3
10 · 3 = 30
Chicos 10
3 · 10 = 30
2. Plantear las ecuaciones
2.4 PORCENTAJES
El lápiz cuesta el 30% de lo que cuesta el boli
x
y
30% = 0,3
5% = 0,05
…
85% = 0,85
1% = 0,01
x = 0,3·y
10% = 0,1
90% = 0,9
El número de profesores es el 40% del de alumnos
x
x = 0,4·y
y
2. Plantear las ecuaciones
2.4 PORCENTAJES
La suma del número de patatas y cebollas es el 10% del de los tomates
x
x+y = 0,1·z
y
z
El precio del coche A rebajado un 20% coincide con el de B
x
0,8·x = y
y
Rebajar un 20% equivale a quedarse con el 80% del valor
En general, rebajar un x% significa
quedarse con (100-x)% del valor
2. Plantear las ecuaciones
2.4 PORCENTAJES
Juan gana un 20% más que Ana
x
y
x = 1,2·y
Ganar (o ser, o aumentar) un 20% más, equivale al 120% del valor
En general, ganar (o ser, o aumentar) un
x% más equivale al (100+x)% del valor
El beneficio de A aumentado un 50% sería igual al de la empresa B
y
x
1,5·x = y
2. Plantear las ecuaciones
2.5 DEUDA / SOBRANTE
Con el dinero que tengo, si compro la moto y el casco dejaría una deuda de 200€
x
x + 200 = y + z
y
z
Tengo menos dinero de lo que valen la moto y el casco,
por tanto debo sumar a mi dinero la deuda (200€) para
obtener el coste total de la compra (moto+casco)
Con el dinero que tengo, comprando el lápiz y el periódico me sobra 1 €
x
x–1=y+z
x = y + z +1
y
z
Tengo más dinero de lo que valen el lápiz y el
periódico, por tanto resto a mi dinero el sobrante de la
compra (1€) para obtener el coste total.
… de otra forma, sumo al coste total (lápiz+periódico)
un euro para obtener el dinero que tengo.
2. Plantear las ecuaciones
2.6 MEDIAS ARITMÉTICAS
La media de la nota del examen A y la nota del examen B fue de 7
(x+y)/2 = 7
x
y
La media del salario de Pedro, Juan y Ana es de 1500€
x
y
z
media se calcula dividiendo la suma de las
(x+y+z)/3 = 1500 La
cantidades por el número total de sumandos.
La empresa B gana la media de lo que ganan A y C
y
y = (x+z)/2
x z
2. Plantear las ecuaciones
2.7 CANTIDAD · PRECIO UNITARIO = PRECIO TOTAL
He comprado 4 libretas, a 3€ cada una, y he comprado 2 lápices que
cuestan 0,50€ cada uno. En total me he gastado…
4 · 3 + 2 · 0,50 = 13
Precio total
He comprado 4 libretas y 2 lápices. En total me he gastado 13€.
¿Cuánto cuesta cada libreta y cada lápiz?
x
4 · x + 2 · y = 13
y
Precio unitario
Cada libreta cuesta 3€ y cada lápiz 0,50€. En total me he gastado 13€.
¿Cuántas libretas y cuántos lapices he comprado?
y
x
x · 3 + y · 0,50 = 13
Cantidad
3. Ejemplos
3. Ejemplos
3.1 Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l
de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el
precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que
1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l
de leche.
x : precio de 1L de leche (€)
Precio unitario
y : precio de 1kg de jamón (€)
z : precio de 1L de aceite (€)
cantidad·preciounitario + cantidad·preciounitario + cantidad·preciounitario + … = precio total
24·x + 6·y + 12·z = 156
1ª Ecuación (la del dinero)
3. Ejemplos
3.1 Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l
de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el
precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que
1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l
de leche.
x : precio de 1L de leche (€)
Precio unitario
y : precio de 1kg de jamón (€)
z : precio de 1L de aceite (€)
sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche
z
z = 3x
2ª Ecuación (proporción)
x
3. Ejemplos
3.1 Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l
de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el
precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que
1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l
de leche.
x : precio de 1L de leche (€)
Precio unitario
y : precio de 1kg de jamón (€)
z : precio de 1L de aceite (€)
y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche
y
y = 4·z + 4·x
z
x
3ª Ecuación (suma y cantidad·precio unitario)
3. Ejemplos
3.1 Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l
de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el
precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que
1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l
de leche.
x : precio de 1L de leche (€)
Precio unitario
y : precio de 1kg de jamón (€)
z : precio de 1L de aceite (€)
24x + 6y + 12z = 156
z = 3x
y = 4z + 4x
arreglamos
4x + y + 2z = 26
-3x + z = 0
-4x + y - 4z = 0
3. Ejemplos
3.1 Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l
de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el
precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que
1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l
de leche.
4x + y + 2z = 26
-3x + z = 0
-4x + y - 4z = 0
x
y
26 1 2
0 0 1
0 1 4
A

4 26 2
3 0
1
4 0 4
A
 26
1
 26

 416
 16
 26
 4 1 2   x   26

    

3
0
1

 y   0 
  4 1  4  z   0 

    
z
4 1 26
3 0 0
4 1 0
A
4
1
2
 3 0 1  26  0
4 1 4
rg(A)=rg(A/b)=3=n  Por el Teorema de
Rouche-Frobenius es un SCD

 78
3
 26
 x  1 
   
X   y   16
z  3 
   
Sol. 
1L de leche cuesta: 1€
1kg de jamón cuesta: 16€
1L de aceite cuesta: 3€
3. Ejemplos
3.2
Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas: A, B y
C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gramos y su precio es de 100 €, la
marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 180 € y la marca C
lo hace en cajas de 1 kilogramo a un precio de 330 €. El almacén vende a un
cliente 2.5 kilogramos de este producto por un importe de 890 €. Sabiendo
que el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema para determinar
cuántos envases de cada tipo se han vendido.
Cantidad
x : número de envases de la marca A vendidos
y : número de envases de la marca B vendidos
z : número de envases de la marca C vendidos
3. Ejemplos
3.2
Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas: A, B y
C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gramos y su precio es de 100 €, la
marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 180 € y la marca C
lo hace en cajas de 1 kilogramo a un precio de 330 €. El almacén vende a un
cliente 2.5 kilogramos de este producto por un importe de 890 €. Sabiendo
que el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema para determinar
cuántos envases de cada tipo se han vendido.
Peso unitario
Precio unitario
A
B
C
250 g
100 €
500 g
180 €
1 kg (1000 g)
330 €
LOTE (5 cajas)
?
?
?
?
?
2,5 kg
890 €
3. Ejemplos
3.2
Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas: A, B y
C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gramos y su precio es de 100 €, la
marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 180 € y la marca C
lo hace en cajas de 1 kilogramo a un precio de 330 €. El almacén vende a un
cliente 2.5 kilogramos de este producto por un importe de 890 €. Sabiendo
que el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema para determinar
cuántos envases de cada tipo se han vendido.
Peso unitario
Precio unitario
A
B
C
250 g
100 €
500 g
180 €
1 kg (1000 g)
330 €
El almacén vende a un cliente 2.5 kilogramos…
¡¡ cantidad · pesounitario !!
250·x + 500·y + 1000·z = 2500
3. Ejemplos
3.2
Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas: A, B y
C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gramos y su precio es de 100 €, la
marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 180 € y la marca C
lo hace en cajas de 1 kilogramo a un precio de 330 €. El almacén vende a un
cliente 2.5 kilogramos de este producto por un importe de 890 €. Sabiendo
que el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema para determinar
cuántos envases de cada tipo se han vendido.
Peso unitario
Precio unitario
A
B
C
250 g
100 €
500 g
180 €
1 kg (1000 g)
330 €
…por un importe de 890 €…
100·x + 180·y + 330·z = 890
3. Ejemplos
3.2
Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas: A, B y
C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gramos y su precio es de 100 €, la
marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 180 € y la marca C
lo hace en cajas de 1 kilogramo a un precio de 330 €. El almacén vende a un
cliente 2.5 kilogramos de este producto por un importe de 890 €. Sabiendo
que el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema para determinar
cuántos envases de cada tipo se han vendido.
Peso unitario
Precio unitario
A
B
C
250 g
100 €
500 g
180 €
1 kg (1000 g)
330 €
El lote iba envasado en 5 cajas
x+y+z=5
LOTE (5 cajas)
?
?
?
?
?
3. Ejemplos
3.2
Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas: A, B y
C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gramos y su precio es de 100 €, la
marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 180 € y la marca C
lo hace en cajas de 1 kilogramo a un precio de 330 €. El almacén vende a un
cliente 2.5 kilogramos de este producto por un importe de 890 €. Sabiendo
que el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema para determinar
cuántos envases de cada tipo se han vendido.
x+y+z=5
100x + 180y + 330z = 890
250x + 500y + 1000z= 2500
arreglamos
x+y+z=5
10x + 18y + 33z = 89
x + 2y + 4z= 10
3. Ejemplos
3.2
Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas: A, B y
C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gramos y su precio es de 100 €, la
marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 180 € y la marca C
lo hace en cajas de 1 kilogramo a un precio de 330 €. El almacén vende a un
cliente 2.5 kilogramos de este producto por un importe de 890 €. Sabiendo
que el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema para determinar
cuántos envases de cada tipo se han vendido.
 1 1 1   x  5 

    
10 18 33   y    89
 1 2 4   z   10 

    
Aplico la regla de Cramer:
x
y
5 1 1
89 18 33
10 2 4
A
1 5 1
10 89 33
1 10 4
A

2
2
1

2
2
1
z
1
1
1
A  10 18 33  1  0
1 2 4
1 1 5
10 18 89
1 2 10
A
1
 1
1
rg(A)=rg(A/b)=3=n  Por el
Teorema de Rouche-Frobenius es un
SCD
 x   2
   
X   y    2
 z  1
   
3. Ejemplos
3.2
Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas: A, B y
C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gramos y su precio es de 100 €, la
marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 180 € y la marca C
lo hace en cajas de 1 kilogramo a un precio de 330 €. El almacén vende a un
cliente 2.5 kilogramos de este producto por un importe de 890 €. Sabiendo
que el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema para determinar
cuántos envases de cada tipo se han vendido.
Sol. 
2 cajas de la marca A
2 cajas de la marca B
1 caja de la marca C
LOTE (5 cajas)
A
A
B
B
C
3. Ejemplos
3.3
Una tienda posee 3 tipos de conservas, A, B y C. El precio medio de las 3
conservas es de 0.90€. Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de
C, debiendo abonar 59€. Otro compra 20 unidades de A y 25 de C y abona
37€. Calcula el precio de una unidad de A, otra de B y otra de C.
Precio unitario
x : precio de una unidad de A (€)
y : precio de una unidad de B (€)
z : precio de una unidad de C (€)
El precio medio de las tres conservas es de 0,90€.
(x + y + z)/3 = 0,90
1ª Ecuación (media aritmética)
3. Ejemplos
3.3
Una tienda posee 3 tipos de conservas, A, B y C. El precio medio de las 3
conservas es de 0.90€. Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de
C, debiendo abonar 59€. Otro compra 20 unidades de A y 25 de C y abona
37€. Calcula el precio de una unidad de A, otra de B y otra de C.
Precio unitario
x : precio de una unidad de A (€)
y : precio de una unidad de B (€)
z : precio de una unidad de C (€)
Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, debiendo
abonar 59€.
30·x + 20·y + 10·z = 59
2ª Ecuación
(cantidad · precio unitario)
LOTE CLIENTE 1
3. Ejemplos
3.3
Una tienda posee 3 tipos de conservas, A, B y C. El precio medio de las 3
conservas es de 0.90€. Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de
C, debiendo abonar 59€. Otro compra 20 unidades de A y 25 de C y abona
37€. Calcula el precio de una unidad de A, otra de B y otra de C.
Precio unitario
x : precio de una unidad de A (€)
y : precio de una unidad de B (€)
z : precio de una unidad de C (€)
Otro compra 20 unidades de A y 25 de C y abona 37€.
20·x + 25·z = 37
3ª Ecuación
(cantidad · precio unitario)
LOTE CLIENTE 2
3. Ejemplos
3.3
Una tienda posee 3 tipos de conservas, A, B y C. El precio medio de las 3
conservas es de 0.90 €. Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de
C, debiendo abonar 59€. Otro compra 20 unidades de A y 25 de C y abona
37€. Calcula el precio de una unidad de A, otra de B y otra de C.
(x + y + z)/3 = 0,90
30x + 20y + 10z = 59
20x + 25z= 37
arreglamos
x + y + z = 2,7
3x + 2y + z = 5,9
4x + 5z= 7,4
3. Ejemplos
3.3
Una tienda posee 3 tipos de conservas, A, B y C. El precio medio de las 3
conservas es de 0.90€. Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de
C, debiendo abonar 59€. Otro compra 20 unidades de A y 25 de C y abona
37€. Calcula el precio de una unidad de A, otra de B y otra de C.
 1 1 1   x   2,70

   

3
2
1

y

5
,
9

   

 4 0 5   z   7,4 

   

1 1 1
A  3 2 1  9  0
4 0 5
 x   1,1 
   
X   y   1 
 z   0,6 
   
Aplico la regla de Cramer:
x
2,7 1 1
5,9 2 1
7, 4 0 5
y
A

1 2,7 1
3 5,9 1
4 7, 4 5
A
 9,9
 1,1
9
z
1 1 2,7
3 2 5,9
4 0 7,4
A

 5,4
 0,6
9
Sol. 

9
1
9
rg(A)=rg(A/b)=3=n  Por el
Teorema de Rouche-Frobenius es un
SCD
Una unidad de A cuesta 1,10€
Una unidad de B cuesta 1€
Una unidad de C cuesta 0,60€
TEMA 3
PLANTEAMIENTO DE SISTEMAS DE ECUACIONES
FIN
MATEMÁTICAS CCSS. 2º BACHILLERATO