Transcript Přímá úměrnost - graf a rovnice

Úměrnosti
Přímá úměrnost.
Rovnice a graf přímé úměrnosti.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Přímá úměrnost (úměra).
Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede
od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin.
Určete, zda se jedná o přímou úměru a své tvrzení zdůvodněte.
Ano. Jde o přímou úměru dráhy a času.
Průměrná rychlost 60 km/h znamená, že automobil ujede 60 kilometrů za jednu
hodinu, jinými slovy 60 kilometrů každou hodinu. Za jednu hodinu tedy 60
kilometrů, za dvě hodiny dvakrát více, za tři hodiny třikrát více, atd. Z toho tedy
vyplývá, že kolikrát se zvětší jedna veličina, tolikrát se zvětší i veličina druhá.
Sestavte tabulku této přímé úměry.
Čas (hod.):
1
2
3
4
5
6
Dráha (km):
60
120
180
240
300
360
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Přímá úměrnost (úměra) - opakování.
Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede
od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin.
Čas (hod.):
1
2
3
4
5
6
Dráha (km):
60
120
180
240
300
360
Zopakujme si, co již o přímé úměrnosti víme:
Kolikrát se zvětší (zmenší) jedna veličina, tolikrát se
zvětší (zmenší) druhá veličina.
V jakém poměru se zvětší (zmenší) jedna veličina,
v takovém poměru se zvětší (zmenší) druhá veličina.
Takový vztah mezi dvěma veličinami se nazývá přímá
úměrnost.
Říkáme, že veličiny jsou přímo úměrné.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Graf přímé úměrnosti (úměry).
Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede
od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin.
Čas (hod.):
1
2
3
4
5
6
Dráha (km):
60
120
180
240
300
360
Ze zadaných a vypočtených hodnot v tabulce sestav graf závislosti dráhy na čase.
Nejdříve si
sestrojíme vhodně
volenou kartézskou
soustavu souřadnic.
… a 1 dílek na
ose dráhy
odpovídá
60 kilometrům
… 1 dílek na
ose času
odpovídá
1 hodině …
Jen v
kladných
hodnotách …
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Graf přímé úměrnosti (úměry).
Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede
od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin.
Čas (hod.):
1
2
3
4
5
6
Dráha (km):
60
120
180
240
300
360
Ze zadaných a vypočtených hodnot v tabulce sestav graf závislosti dráhy na čase.
Poté již do grafu
postupně
sestrojíme
příslušné body.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Graf přímé úměrnosti (úměry).
Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede
od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin.
Čas (hod.):
1
2
3
4
5
6
Dráha (km):
60
120
180
240
300
360
Ze zadaných a vypočtených hodnot v tabulce sestav graf závislosti dráhy na čase.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Graf přímé úměrnosti (úměry).
Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede
od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin.
Čas (hod.):
1
2
3
4
5
6
Dráha (km):
60
120
180
240
300
360
Ze zadaných a vypočtených hodnot v tabulce sestav graf závislosti dráhy na čase.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Graf přímé úměrnosti (úměry).
Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede
od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin.
Čas (hod.):
1
2
3
4
5
6
Dráha (km):
60
120
180
240
300
360
Ze zadaných a vypočtených hodnot v tabulce sestav graf závislosti dráhy na čase.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Graf přímé úměrnosti (úměry).
Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede
od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin.
Čas (hod.):
1
2
3
4
5
6
Dráha (km):
60
120
180
240
300
360
Ze zadaných a vypočtených hodnot v tabulce sestav graf závislosti dráhy na čase.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Graf přímé úměrnosti (úměry).
Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede
od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin.
Čas (hod.):
1
2
3
4
5
6
Dráha (km):
60
120
180
240
300
360
Ze zadaných a vypočtených hodnot v tabulce sestav graf závislosti dráhy na čase.
Co je grafem naší
přímé úměry?
Kdy to nebudou
jen tyto body?
Jsou to jen
sestrojené body?
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Graf přímé úměrnosti (úměry).
Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede
od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin.
Čas (hod.):
1
2
3
4
5
6
Dráha (km):
60
120
180
240
300
360
Ze zadaných a vypočtených hodnot v tabulce sestav graf závislosti dráhy na čase.
Grafem přímé úměry,
která popisuje
závislost ujeté dráhy
na čase při průměrné
rychlosti 60 km/h je
polopřímka,
procházející „našimi
body“?
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Graf přímé úměrnosti (úměry).
Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede
od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin.
Čas (hod.):
1
2
3
4
5
6
Dráha (km):
60
120
180
240
300
360
Ze zadaných a vypočtených hodnot v tabulce sestav graf závislosti dráhy na čase.
Grafem přímé úměrnosti je obecně
přímka procházející počátkem soustavy
souřadnic (pokud je definičním oborem
množina reálných čísel).
Avšak vzhledem k definičnímu oboru
pracujeme většinou pouze
s podmnožinami přímky,
tj. buď s polopřímkou nebo s úsečkou.
Pokud je však definičním oborem
množina přirozených čísel, pak grafem
závislosti je množina izolovaných bodů
ležících na přímce (event. na
polopřímce).
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Graf přímé úměrnosti (úměry).
Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede
od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin.
Čas (hod.):
1
2
3
4
5
6
Dráha (km):
60
120
180
240
300
360
Ze zadaných a vypočtených hodnot v tabulce sestav graf závislosti dráhy na čase.
Existuje nějaký vztah,
Jak jsme
si tedy
vzorec,
rovnice,
která
vyvodili,
grafem
přímé
nám pomůže všechny
úměry
je polopřímka,
body
Ano
odpovídající
existuje. naší
která
přímé
A myúměře,
siznázorňuje
tuto všechny
rovnici
graficky
množinu
společně
uspořádané
odvodíme.
dvojice
všech
bodů,
které
času a k němu
odpovídají
dané
přímé
odpovídající dráhy
úměře.
„najít“,
vypočítat?
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Graf přímé úměrnosti (úměry).
Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede
od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin.
Čas (hod.):
1
2
3
4
5
6
Dráha (km):
60
120
180
240
300
360
Podívejte se na tabulku a pokuste se najít vztah mezi odpovídajícími si hodnotami
času a dráhy.
60
120
180
240
300
360
:
:
:
:
:
:
1
2
3
4
5
6
=
=
=
=
=
=
60
60
60
60
60
60
Konstanta.
V našem případě
číslo 60, tedy
průměrná
rychlost
automobilu
60 km/h.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Rovnice přímé úměrnosti (úměry).
Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede
od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin.
Čas (hod.):
1
2
3
4
5
6
Dráha (km):
60
120
180
240
300
360
Podívejte se na tabulku a pokuste se najít vztah mezi odpovídajícími si hodnotami
času a dráhy.
60
120
180
240
300
360
Dráha.
:
:
:
:
:
:
1
2
3
4
5
6
=
=
=
=
=
=
60
60
60
60
60
60
s : t = v
s = v.t
Konstanta.
V našem případě
číslo 60, tedy
průměrná
rychlost
automobilu
60 km/h.
Čas.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Obecná rovnice přímé úměrnosti (úměry).
Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede
od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin.
x
Dráhay(km):
1
2
3
4
5
6
60
120
180
240
300
360
Čas (hod.):
Podívejte se na tabulku a pokuste se najít vztah mezi odpovídajícími si hodnotami
času a dráhy.
y
60
120
180
240
300
360
:
:
:
:
:
:
1
2
3
4
5
6
=
=
=
=
=
=
60
60
60
60
60
60
Urči pomocí rovnice a
následně i grafu další
odpovídající hodnoty.
Např. jakou dráhu ujede
automobil za 1,5 hodiny, za
jak dlouho ujede 330 km,
atd.
ys : x
t == vk
ys = v
k . tx
Rovnici naší
přímé úměrnosti
si nyní
zobecníme.
x
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Přímá úměrnost (úměra) – příklady - 1.
Příklad: Jeden rohlík stojí 2,- Kč. Kolik korun budou stát 2, 3, …, 8 rohlíků?
Sestav tabulku přímé úměry.
x … počet rohlíků (kusů):
1
2
3
4
5
6
7
8
y … cena rohlíků (Kč):
2
4
6
8
10
12
14
16
Urči rovnici přímé úměry.
2:
4:
6:
8:
…
1
2
3
4
=
=
=
=
Sestroj graf přímé úměry.
2
2
2
2
k=2
y=k.x
y=2.x
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Příklady k procvičení - 2
Urči rovnici přímé úměry, doplň tabulku a sestroj graf dané úměry (v R).
x
y
2
8
12
18
10
12
36
16
42
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Příklady k procvičení - 2
Urči rovnici přímé úměry, doplň tabulku a sestroj graf dané úměry (v R).
x
2
8
12
y
18
10
12
36
16
42
Konstanta k:
36 : 12 = 3
k=3
Rovnice přímé úměry:
y=k.x
y = 3x
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Příklady k procvičení - 2
Urči rovnici přímé úměry, doplň tabulku a sestroj graf dané úměry (v R).
x
2
4
6
8
10
12
14
16
y
6
12
18
24
30
36
42
48
Konstanta k:
36 : 12 = 3
k=3
Graf:
Rovnice přímé úměry:
y=k.x
y = 3.x
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Příklady k procvičení - 3
Urči rovnici přímé úměry, doplň tabulku a sestroj graf dané úměry (v R+).
15
x
y
2,5
5
20
10
25
35
15
20
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Příklady k procvičení - 3
Urči rovnici přímé úměry, doplň tabulku a sestroj graf dané úměry (v R+).
15
x
y
2,5
5
20
10
25
35
15
20
Konstanta k:
10 : 20 = 0,5
k = 0,5
Rovnice přímé úměry:
y=k.x
y = 0,5 . x
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Příklady k procvičení - 3
Urči rovnici přímé úměry, doplň tabulku a sestroj graf dané úměry (v R+).
x
5
10
15
20
25
30
35
40
y
2,5
5
7,5
10
12,5
15
17,5
20
Konstanta k:
10 : 20 = 0,5
k = 0,5
Graf:
Rovnice přímé úměry:
y=k.x
y = 0,5 . x
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Přímá úměrnost (úměra) - závěr.
Příklad: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Urči kolik kilometrů ujede
od chvíle, kdy začneme měřit čas za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin.
Čas (hod.):
1
2
3
4
5
6
Dráha (km):
60
120
180
240
300
360
Shrňme si, co již o přímé úměrnosti víme:
Kolikrát se zvětší (zmenší) jedna veličina, tolikrát se zvětší (zmenší) druhá veličina.
V jakém poměru se zvětší (zmenší) jedna veličina, v takovém poměru se zvětší
(zmenší) druhá veličina.
Takový vztah mezi dvěma veličinami se nazývá přímá úměrnost.
Říkáme, že veličiny jsou přímo úměrné.
Rovnice přímé úměry … y = k . x
Grafem přímé úměrnosti je obecně přímka procházející počátkem soustavy souřadnic
(pokud je definičním oborem množina reálných čísel). Avšak vzhledem k definičnímu
oboru pracujeme většinou pouze s podmnožinami přímky, tj. buď s polopřímkou nebo
s úsečkou. Pokud je však definičním oborem množina přirozených čísel, pak grafem
závislosti je množina izolovaných bodů ležících na přímce (event. na polopřímce).
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.