Transcript MANAŽERSKÁ ŠTATISTIKA

MANAŽERSKÁ ŠTATISTIKA
RNDr. Ľudmila Grešová
ZÁKLADNÉ POJMY TEÓRIE
PRAVDEPODOBNOSTI
Náhodný pokus a náhodný jav
Náhodný pokus – jeho výsledok nemožno
vopred jednoznačne
predpovedať
Príklady: hod hracou kockou, hod mincou,
rozdávanie kariet, ťah Športky, streľba na
terč, pokus o telefonické spojenie,
priebeh chirurgickej operácie,
podanie lieku pacientovi
Možné výsledky náhodného pokusu nazývame
elementárne javy E1 , E2 ,..., En ,...
Množinu všetkých možných výsledkov pokusu
nazývame množinou elementárnych javov 
Podmnožiny množiny  nazývame náhodné javy
A, B, C,..., A1, A2 , A3 ,...
Náhodný jav je teda jednak výsledok i každý
dôsledok výsledku prevedeného pokusu.
Elementárny jav E nazývame aj priaznivým
nejakému javu A.
Javy– nemožné 
isté I ( = I )
Opačný jav k javu A nazývame jav A , ktorý
nastane práve vtedy, keď nenastane jav A.
Jav A nazývame podjavom javu B práve vtedy,
keď z nastatia javu A vyplýva nastatie javu B. Platí
A B
Javy A, B nazývame ekvivalentné ( A = B ) práve
vtedy, keď A  B  B  A
Zjednotením javov A, B nazývame jav C, ktorý
nastane práve vtedy, ak nastane aspoň jeden z
javov A, B. Platí C  A  B
Prienikom javov A, B nazývame jav C, ktorý
nastane práve vtedy, keď nastanú súčasne javy A
i B. Platí
C  A B
Rozdielom javov A, B nazývame jav C, ktorý
nastane práve vtedy, keď nastane jav A a súčasne
nenastane jav B. Platí
C  A B
Javy A, B nazývame disjunktné (nezlúčiteľné) práve
vtedy, keď nemôžu nastať súčasne, t. j.
A B  
Javy H1 , H 2 ,..., H n nazývame disjunktné, keď sú po
ľubovoľných dvojiciach disjunktné.
Disjunktný systém javov nazývame úplným, keď jeho
zjednotením je jav istý.
Javy H1 , H 2 ,..., H n nazývame hypotézy.
Pravdepodobnosť javu
- číselná miera stupňa objektívnej možnosti nastatia
tohto javu.
Klasická definícia pravdepodobnosti
predpokladá, že 1.  je konečná množina
2. všetky elementárne javy sú
rovnako možné (očakávané).
Pre ľubovoľný jav A definujeme
m
P ( A) 
n
m - počet elementárnych javov priaznivých nastatiu
javu A
n - celkový počet elementárnych javov
Základné vlastnosti pravdepodobnosti
0  P( A)  1
P( I )  1, P()  0
P( A)  1  P( A)
Pre disjunktné javy : ak
A  B  ,
potom P( A  B)  P( A)  P( B)
Príklad 1. Určte pravdepodobnosť toho, že pri hode
kockou
a) padne číslo 6,
b) padne nepárne číslo,
c) nepadne číslo 4.
Príklad 2. V sade 100 žiaroviek je 24 chybných,
zvyšné sú dobré. Určte pravdepodobnosť, že
medzi 11 náhodne vybranými budú práve 2
chybné.
Štatistická definícia pravdepodobnosti
vychádza z výsledkov mnohokrát opakovaného
pokusu
Nech je daná postupnosť n realizácii nejakého
pokusu. Nech jav A sa objaví v k pokusoch.
Hodnota, ku ktorej sa blíži relatívna početnosť
k
n
pri n  vyjadruje pravdepodobnosť javu A.
Platí
k
P ( A) 
n
presnejšie
k
P( A)  lim
n  n
Axiomatická definícia pravdepodobnosti
1. Každému javu A je priradené práve jedno
nezáporné číslo P(A), ktoré nazývame
pravdepodobnosťou javu A.
2. P(I) = 1
3. Pre ľubovoľný systém disjunktných javov
A1 , A2 ,..., An ,...
platí
P( A1  A2 ...  An ...)  P( A1 )  P( A2 )  ...  P( An )  ...
Z tejto definície vyplývajú ďalšie vlastnosti pre
pravdepodobnosť
P( A  B)  P( A)  P( A  B)
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
Poslednú vlastnosť môžeme zovšeobecniť na
ľubovoľný počet javov.
Príklad 3. V urne je 19 guličiek, z ktorých každá
je očíslovaná práve jedným z čísel 1, 2, ..., 19.
Náhodne vyberieme jednu guľku. Určte
pravdepodobnosť, že vytiahnutá guľka je
označená číslom, ktoré je deliteľné dvoma
alebo troma.
Podmienená pravdepodobnosť
Pravdepodobnosť javu A za podmienky, že nastal
jav B
definujeme
P( A  B)
P( A / B) 
P( B)
alebo
P( A  B)
P( B / A) 
P( A)
Pre pravdepodobnosť prieniku javov platí
P( A  B)  P( B).P( A / B) alebo P( A  B)  P( A).P( B / A)
Ak P( A  B)  P( A).P( B)
nezávislé.
javy A, B nazývame
Príklad 4. Isté zariadenie je v bezporuchovej
prevádzke aspoň 2 roky s pravdepodobnosťou
0,8 a aspoň 3 roky s pravdepodobnosťou 0,5.
Je známe, že toto zariadenie bolo 2 roky v
bezporuchovej prevádzke. Určte
pravdepodobnosť toho, že bude v
bezporuchovej prevádzke ešte aspoň rok.
Veta o úplnej pravdepodobnosti
poskytuje súvislosť medzi hypotézami a podmienenou
pravdepodobnosťou.
Pre ľubovoľný jav A platí
n
P( A)   P( H i ).P( A / H i )
i 1
kde H1 , H 2 ,..., H n
tvoria úplný systém a jav A
môže nastať súčasne s jednou z nich.
Bayesov vzorec
Je daný úplný systém javov H1 , H 2 ,..., H n. Pred
pokusom sú známe ich pravdepodobnosti
P( H1 ), P( H2 ),..., P( H n )
Urobil sa pokus a ako výsledok nastal jav A. Ako sa
zmenia pravdepodobnosti hypotéz v súvislosti s
nastatím javu A.
Platí
P( H i ).P( A / H i )
P( H i / A) 
P( A)
Príklad 5. Do obchodu dodávajú 2 továrne K, L
výrobky toho istého druhu v pomere 2 : 3
dodávaných množstiev. Pravdepodobnosť
dobrého výrobku z továrne K je 0,82, z
továrne L je 0,91. Určte pravdepodobnosť, že
a) kúpený výrobok nebude zmätok
b) kúpený výrobok pochádza z továrne L.
Opakované nezávislé pokusy
Nezávislými nazývame také pokusy, ak
pravdepodobnosť ľubovoľného výsledku
každého z pokusov nezávisí od toho, aké
výsledky mali predchádzajúce pokusy.
Ináč povedané pravdepodobnosť nastatia javu
A je v každom pokuse rovnaká.
Príklady – niekoľko postupných hádzaní kockou
– niekoľko postupných hádzaní mincou
– niekoľko postupných ťahov karty zo
sady kariet (ak vytiahnutú kartu po každom
pokuse vrátime späť do sady a karty sa
premiešajú)
– niekoľko výstrelov ( ak sa
zameriavanie robí pred každým výstrelom)
Príklad 6. Pravdepodobnosť zásahu cieľa
jedným výstrelom je 0,25. Na cieľ vystrelíme
nezávisle na sebe pri tých istých podmienkach
päťkrát. Určte pravdepodobnosť, že
a) cieľ zasiahneme práve ráz
b)
aspoň ráz
c) koľkokrát najpravdepodobnejšie zasiahneme.
.
Bernoulliho vzorec
Pravdepodobnosť toho, že pri n – násobnom
nezávislom opakovaní daného pokusu jav A
nastane práve k- krát
je
n k
nk
Pn (k )    p (1  p) , k 0,1, 2,..., n
k 
kde p je pravdepodobnosť objavenia javu A v
každom pokuse.
Pre najpravdepodobnejší počet k0 výskytu
skúmaného javu A v sérii n nezávislých pokusov
platí:
k0  np  q, np  p , q  1 p