Transcript Titre de la Rubrique - Institut des Actuaires
SEMINAIRE du 27 mars Copules et
dépendance entre les risques
Marie-Christine BRASSIER Gilles DEPOMMIER Przemyslaw SLOMA
ALTIA – 76, rue de la Victoire, 75009 Paris Tél : +33 (0)1 42 97 91 70 - Fax : +33 (0)1 42 97 91 80 Site : www.altia.fr Mail : [email protected]
Plan de la Présentation Pourquoi les Copules ?
Les principes de base
Etude d’un cas Pratique : estimation des provisions nettes de recours sur une branche longue
Pourquoi les Copules ?
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Pourquoi les Copules ?
Les Copules Un moyen de mesurer la dépendance.
Permettent de coupler les lois marginales des variables afin d’obtenir la loi jointe.
Les copules permettent de modéliser les dépendances, en particulier dans les extrêmes.
Les limites du coefficient de corrélation Le coefficient de corrélation utilisé classiquement pour mesurer la dépendance possède des insuffisances
Cov
(
X X
Y
,
Y
) Il ne « fonctionne » que pour des variables Gaussiennes, pour lesquelles corrélation et dépendances recouvrent la même réalité Dans les autres cas, son utilisation est délicate : Ainsi, la non corrélation de deux variables non gaussiennes ne signifie pas une absence de dépendance.
Exemple: X et X 2 sont manifestement des variables dépendantes, cependant si X suit par exemple une loi normale, le coefficient de corrélation en X et X 2 est nul Le coefficient de corrélation ne mesure pas la structure de la dépendance
Les limites du coefficient de corrélation Le coefficient de corrélation peut être le même alors que la structure de dépendance est totalement différente (notamment pour les valeurs extrêmes)
Année de survenance 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Charge sinistre évaluée Branche A 320 250 350 825 850 950 850 1550 1507 Branche B 320 250 350 1507 1550 825 950 850 850
Estimation du coefficient de corrélation : 0,48 Mais avec forte dépendance des valeurs faibles
Année de survenance 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Charge sinistre évaluée Branche A 320 250 350 825 850 950 850 1550 1507 Branche B 825 850 850 950 320 250 350 1550 1507
Estimation du coefficient de corrélation : 0,48 Mais avec forte dépendance des valeurs fortes
Les limites du coefficient de corrélation : risques extrêmes Dépendance des risques extrêmes : Copule de Gumbel vs. Copule Normale
Copula: Gumbel:tau de Kendall=0.6
Copula: Normale: tau de Kendall=0.6
0.0
0.2
0.4
U 0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
U 0.6
0.8
1.0
Les Copules : Les principes de base
ALTIA – 76, rue de la Victoire, 75009 Paris Tél : +33 (0)1 42 97 91 70 - Fax : +33 (0)1 42 97 91 80 Site : www.altia.fr Mail : [email protected]
Qu’est-ce qu’un copule : le théorème de Sklar Le théorème de Sklar (cas bivarié): Soit F une fonction de répartition en dimension 2 admettant F1 et F2 pour marginales. Alors nous pouvons représenter F à l’aide d’une copule avec
F(x 1 ,x 2 )=C(F 1 (x 1 ),F 2 (x 2 ))
De façon schématique : Les marginales de chaque variable étant données, il suffit de les joindre par une fonction copule ayant les propriétés de dépendance souhaitées de manière à obtenir la loi jointe.
F Y Structure de dépendance (fonction copule) F x, y F y
Les familles de Copules Il existe différents types de copules Chaque copule exprime une structure de dépendance différente Dépendance dans les valeurs petites Dépendance dans les valeurs extrêmes Dépendance de queue Dépendance positive ou négative….
Famille des copules Archimédiennes Copule de Gumbel : Dépendances positives et plus accentuées sur la queue supérieure.
Copule de Frank : Dépendances aussi bien positives que négatives
Copule de Clayton
: positives. Et particulièrement sur les événements à faible intensité Dépendances Copule HRT : Dépendance sur des événements extrêmes de forte intensité (structure de dépendance inversée par apport à la copule de Clayton) Famille des copules Elliptiques : elle s’applique à des distributions symétriques.
Copule Gaussienne Copule de Student
Dépendogramme Les dépendogrammes permettent d’appréhender de manière graphique la structure de dépendance entre 2 variables aléatoire.
Méthodologie d’obtention : Nuage de points des marges uniformes (U 1 ,U 2 ) extraits d’un échantillon ou résultant des simulations d’une copule théorique.
Les marges uniformes extraites de l’échantillon correspondent au classement par rang des marginales.
Représentation Graphique de la Copule d'Indépendance
1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
U
0,6 0,7 0,8 0,9 1
Représentation Graphique de la Copule de Gumbel
1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
U
0,6 0,7 0,8 0,9 1
Dépendogramme selon le type de Copule Exemples de familles de copules en dimension 2 GUMBEL
Gumbel Représentation Graphique de la copule
1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
U
0,6 0,7 0,8 0,9 1
Frank Représentation Graphique de la copule
1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
U
0,6 0,7 0,8 0,9 1 FRANK HRT
HRT Représentation Graphique de la copule
1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
U
0,6 0,7 0,8 0,9 1
Normale Représentation Graphique de la copule
1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
U
0,6 0,7 0,8 0,9 1 NORMALE 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 CLAYTON
Clayton Représentation Graphique de la copule
1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
U
0,6 0,7 0,8 0,9 1
Student Représentation Graphique de la copule
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
U
0,6 0,7 0,8 0,9 1 STUDENT
Exemple de processus d’estimation d’une Copule Disposer des deux vecteurs observés pour les deux variables dont on étudie la dépendance Estimer le paramètre de chaque copule à l’aide de l’estimateur du taux de Kendall (Gumbel, Clayton, HRT, Frank, Student, Normale) cf annexe 1: taux de Kendall selon chaque copule – cf annexe 2 : estimateur empirique du taux de Kendall Représentation graphique des (u i ,v i ) obtenu avec les paramètres estimés et les (ui,vi) empiriques
Exemple de processus d’estimation d’une Copule (suite) Choix de la « meilleure » copule : Par adéquation graphique : Comparaison du dépendogramme dépendogrammes théoriques empirique avec les Utilisation du test de Kolmogorov Smirnov Comparaison de la fonction K(z) empirique avec la fonction K(z) théorique de chacune des familles. La fonction K(z) est ni plus ni moins la fonction de répartition de la copule C(U,V).
Sup F n
(
x
)
F
(
x
) Test de Kolmogorov Smirnov et calcule de de manière à choisir la copule adéquate.
Etude d’un Cas Pratique : estimation des provisions nettes de recours sur une branche longue
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Application Pratique Les données Triangles de liquidation des paiements (en flux) d’une branche longue Triangles de liquidation des recours (en flux) de la même branche longue 12 années d’historique Objectif : calculer les provisions nettes de recours selon que l’on considère qu’il y a indépendance ou non
Application Pratique (best estimate, var 90%...) selon trois méthodes Provision brutes – provisions de recours, en considérant que les résidus des deux triangles sont indépendants Provisions brutes – provisions nettes de recours en considérant que les résidus des deux triangles sont dépendants Provisions nettes de recours sur le triangle des paiements nets de recours Méthode de projections des triangles – Bootstrap Dépendance entre les triangles modélisée au niveau des résidus de Pearson de deux triangles
Application Pratique - Résultats Dépendogramme des résidus:
Dépendogramme
0.0
0.2
0.4
Recours 0.6
0.8
1.0
Nombre des points=78 (triangle 12x12) Corrélation de Pearson=0,563 taux de Kendall= 0,413
Application Pratique - Résultats Calibration d’une copula et le test d’ajustement
Copule Normale Gumbel Frank Clayton t-Student paramètre 0,64 1,81
4,61 1,38
0,68 tau de Kendall 0,44 0,45
0,43 0,41
0,48 p-value 0,19 0,23
0,02 0,05
0,21
L’estimation du paramètre de la copule: La méthode du pseudo-maximum de vraisemblance La méthode des moments: (tau de Kendall) Test d’ajustement de la copule: Test basé sur la statistique de Cramer-von-Mises et le processus empirique de copules
Application Pratique - Résultats Les résidus et les copula retenues - dépondogrammes
Dépendogramme Copula: Normale
0.0
0.2
0.4
Recours 0.6
Copula: Gumbel
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
U
Copula: t-Student
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
U 0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
U 0.6
0.8
1.0
Application Pratique - Résultats Résultats de projections:
Copula: Normale
quantile 50% 75% 95% 99,5%
Provisions nettes de recours calculées par la différence provisions brutes - provisions recours
dépendance indépendance (1) (2) 54 224 906 62 655 333 74 479 416 86 966 691 54 260 881 65 016 630 80 298 931 97 357 842
Copula: Gumbel
quantile 50% 75% 95% 99,5%
Provisions nettes de recours calculées par la différence provisions brutes - provisions recours
dépendance (1) 54 520 020 indépendance (2) 54 260 881 62 836 289 74 414 908 86 792 567 65 016 630 80 298 931 97 357 842
Provisions nettes de recours calculées sur la base des triangles nets de recours
(2)/(1) en% 100% 104% 108% 112% 53 257 298 59 374 239 69 146 218 79 622 850
Provisions nettes de recours calculées sur la base des triangles nets de recours
(2)/(1) en% 100% 103% 108% 112% 53 257 298 59 374 239 69 146 218 79 622 850
Application Pratique - Résultats Résultats de projections:
Copula: t-Student
quantile 50% 75% 95% 99,5%
Provisions nettes de recours calculées par la différence provisions brutes - provisions recours
dépendance (1) indépendance (2) 54 412 806 54 260 881 62 325 807 73 988 394 85 741 182 65 016 630 80 298 931 97 357 842
Provisions nettes de recours calculées sur la base des triangles nets de recours
(2)/(1) en% 100% 104% 109% 114% 53 257 298 59 374 239 69 146 218 79 622 850 Les calculs statistiques: Logiciel R (package ChainLadder et package copula) + les développements internes d'ALTIA
Conclusion
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Importance de la mesure des dépendances : retour d’expérience Paramétrage et données Homogénéité des données et des comportements Valeurs extrêmes Mesure de la dépendance Le choix de la copule La dépendance des extrêmes Les crises de corrélation
Annexes
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Annexe 1 : Formules mathématiques Formules des différentes copules Copule HRT Copule Normale
Annexe 1 : formules mathématiques (suite) Copule de Student: Les propriétés du tau de Kendal: 1 (
X
,
Y
) 1 Si X et Y sont comonotones alors
X
,
Y
) 1 Si X et Y sont contremonotones alors
X
,
Y
) 1 Si X et Y sont indépendantes alors
X
,
Y
) 0 Il existe une formule fermée théorique déterminée en fonction de la copule (et de son paramètre) 1 1 (
X
,
Y
) 4
O O C
(
u
,
v
)
c
(
u
,
v
)
dudv
Annexe 2 : Estimation du Paramètre de Kendall par la méthode des moments Le tau de Kendall correspond à la probabilité de concordance moins celle de discordance.
(
X
,
Y
)
P
[(
X
X
' ) (
Y
Y
' ) 0 ]
P
[(
X
X
' ) (
Y
Y
' ) 0 ] Méthodologie de calcul : Tau de kendall empirique : Il suffit de compter le nombre de paires concordantes n c , de retrancher le nombre de paires discordantes n d , puis de diviser le tout par le nombre total de paires possibles.
deux paires (x1,y1), (x2,y2) sont concordantes si: x1
Annexe 2 : Méthode d’estimation du taux de Kendall Exemple de calcul : Kendall’s tau can be estimated directly by using the raw data: where n
c
is the number of concordant pairs, and n
d
pairs in the data set is the number of discordant Exemples de Méthode d’estimation : Méthode des moments (inversion du tau de Kendall) Maximum de vraisemblance Inference Functions for Margins (IFM) Canonical Maximum Likelihood (CML) Statistique de Crener von mises ?
….
Annexe 3 :Méthode du Bootstrap
Les étapes de la méthode du Bootstrap
Soit X 1 , X 2 ,..., X N un échantillon de N variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées.
étape1
On effectue N tirages aléatoires avec remise dans l’échantillon et on obtient un pseudo échantillon de taille N.
Exemple: N=5
(X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 )
(X 1 , X 5 , X 3 , X 5 , X 1 )
étape2
On répète étape1 B fois, où B est grand. On obtient alors B pseudo échantillons.
Exemple: N=5, B=3
X=(X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 )
(X 1 , X 5 , X 3 , X 5 , X 1 )=X (1) X=(X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 )
(X 2 , X 5 , X 2 , X 1 , X 2 ) )= X (2) X=(X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 )
(X 3 , X 3 , X 4 , X 1 , X 4 ) )= X (3)
Annexe 3 : Principe du Bootstrap
étape3
Pour chaque pseudo échantillon X (j) T(X (j) ) (j=1,..,B) d’un paramètre d’intérêt (inconnu). L’estimateur du bootstrap est calculée par :
q
boot
1
B k B
1
T
(
X
(
k
) )
Exemple: N=5,B=3,
q
-variance de X 1 ,T- estimateur de
q ,
c.à.d.
T
(
X
)
T
(
X
1 ,..,
X N
)
N
1 1
i N
1
X
2 ,
X
1
N i N
1
X i X=(X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 )
X=(X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 )
(X 1 , X 5 , X 3 , X 5 , X 1 )=X (1) (X 2 , X 5 , X 2 , X 1 , X 2 ) )= X (2) X=(X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 )
(X 3 , X 3 , X 4 , X 1 , X 4 ) )= X (3)
Annexe 3 : Principe du Bootstrap
Exemple: N=5,B=3,
q
-variance de X 1 ,T- estimateur de
q
X=(X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 )
(X 1 , X 5 , X 3 , X 5 , X 1 )=X (1) X=(X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 )
(X 2 , X 5 , X 2 , X 1 , X 2 ) )= X (2) X=(X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 )
(X 3 , X 3 , X 4 , X 1 , X 4 ) )= X (3) Pour X (1) , X (2) , X (3) on calcule T(X (1) ), T(X (2) ), T(X (3) ).
q
boot
1 3
T
(
X
( 1 ) )
T
(
X
( 2 ) )
T
(
X
( 3 ) )
Annexe 3 : Applications du Bootstrap aux triangles de liquidation
Hypothèses du modèle: On suppose des paramètres: que les variables C ij (paiements) sont indépendantes et suivent la loi de Poisson Surdispersé avec E(C ij )= C ij * Var(C ij )= Φ*C ij * Dans l’application classique du ré-échantillonnage, les données sont supposées indépendantes et identiquement distribuées.
Cependant les variables C ij (paiements) sont supposées indépendantes mais pas identiquement distribuées.
Par conséquent, la méthode sera appliquée non pas directement aux variables C ij mais aux résidus définis de façon qu’ils soient indépendants et identiquement distribués.
Annexe 3 : Applications du Bootstrap aux triangles de liquidation
Hypothèses du modèle – Applications des Copules Par conséquent, la méthode sera appliquée non pas directement aux variables C ij mais aux résidus définis de façon qu’ils soient indépendants et identiquement distribués.
Dans ce modelé la copule C (inconnue, à estimer) modélisera la dépendance entre les résidus de deux triangles de liquidation: Mathématiquement la copule C sera associé à la loi jointe des résidus:
Annexe 3 : Applications du Bootstrap aux triangles de liquidation
Annexe 3 : Applications du Bootstrap aux triangles de liquidation
Annexe 3 : Applications du Bootstrap aux triangles de liquidation
Annexe 3 : Applications du Bootstrap aux triangles de liquidation
Annexe 4 : Dépendogramme Etape 1 : «Transformation» des marginales en couples uniformes en utilisant la classification par rang
Représentation Graphique de la copule
Dépendogramme empirique : 1 0,9 U est la transformation uniforme 0,8 0,7 du CAC 0,6 0,5 V est la transformation uniforme 0,4 0,3 du taux de chômage 0,2 0,1 0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
U
0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Etape 2 : Estimation du paramètre â pour chaque famille de copule à l’aide de la méthode des moments Etape 3 : Représentation graphique des dépendogrammes Etape 4 : Représentation graphique de la fonction K(z) empirique et comparaison avec la fonction K(z) théorique de chacune des familles Etape 5 : Choix de la copule en se fixant un critère de décision.