Transcript QIS 4 – Risques Non vie - Institut des Actuaires

Modélisation du capital économique : Le risque de souscription
Non-Vie
Yu PEI
ISFA Promotion 2008
Tutrices: Marie MEIGNIE
Esterina MASIELLO
Calendrier général de Solvabilité II
Spécifications du QIS 4
2008
Processus d’approbation
par le Parlement et le Conseil Européen
de la Directive de niveau 1
2009
Résultats du QIS 4
Avis du CEIOPS pour les mesures
d’application (niveau 2)
2010
Transposition de la Directive de niveau 1
en droit local
2011
QIS 4
Préparation des
mesures de niveau 2
et de niveau 3
Spécifications du QIS 5
QIS 5
Résultats du QIS 5
Adoption des
mesures de niveau 2
et de niveau 3
2012
2013
2 Avril 2010
Entrée en vigueur du nouveau régime prudentiel Solvabilité II
Présentation de mémoire d'actuariat
Page 2
Risque de souscription Non-Vie
►
Définition :
Le risque de souscription en Non-Vie est le risque d’assurance spécifique qui résulte des contrats
d’assurance. Il a trait aux incertitudes relatives aux résultats des souscriptions de l’assureur (TS.XIII.A.1)
► Compositions :
Risque de prime (premium risk) : risque que le coût des futurs sinistres soit supérieur aux primes
perçues;
► Risque de réserve (reserve risk) : risque lié à la nature aléatoire de l’évaluation des sinistres et à leur
mauvaise estimation;
► Risque catastrophe (CAT risk) : risque résultant d’événements extrêmes ou irréguliers non capturés
par les risques de tarification et de provisionnement;
►
2 Avril 2010
Présentation de mémoire d'actuariat
Page 3
Présentation générale
Risque de souscription non vie
►
►
Formule de perte du portefeuille
« RunOff » et « New »
Y  Y runoff  Y new
L  S  P  Y  R  P




►
►
R runoff  RNrun1off  RNrun off
∆R: Différence entre les réserves N et N+1
Capital économique

R  R runoff  R new
P: Prime sur [N,N+1]
S: Sinistralité sur la période
Y: Règlement des sinistres sur la période


►
new
R new  RNnew
1  RN
RunOff : sinistres des années de survenance passées
New : sinistres de l’année de survenance à venir
Risque de prime et Risque de réserve
En Solvabilité II, α=99.5%
L
SCR

EC
L

VaR
L

VaR





 
V
Ratio combiné
V
 
L  Y  R  P
 Y run off  RNrun1off  RNrun off


V  P  RN
Y  RduN portefeuille
L combiné
X: Ratio
1   P  RN 

 X 1
V
P

R
V: Volume du portefeuille N
2 Avril 2010




new
 Y new  RNnew
1  RN  P 
L(réserve) : risque de réserve
 L:risque
réserve
  L  prime 
L(prime)
de prime
R : provision
Présentation de mémoire d'actuariat
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Travaux préliminaires
Calcul de Best Estimate
► Définitions
Le Best Estimate est égal à la valeur actuelle attendue de tous les futurs flux de trésorerie potentiels (moyenne pondérée en
fonction des probabilités des résultats distributionnels), basée sur des informations actuelles et crédibles, compte tenu de toutes les
informations disponibles et conformes aux caractéristiques du portefeuille d’assurance ou de réassurance sous-jacent.
► Étapes d’évaluation
Estimer les charges ultimes par une méthode actuarielle
► Déduire les cash flows pour les années futures
► Actualiser les cash flows futurs en utilisant la courbe de taux fournie par QIS 4 (avec l’hypothèse que les paiements
s’effectuent en milieu d'année)
► Déduire le BE (somme de tous les cash flows futurs actualisés)
►
►
Méthode déterministe
►
►
Chain Ladder
Méthode stochastique
►
►
►
Bootstrap
Bootstrap + Mack
GLM
Fréquence de simulation par Bootstrap
Fréquence de simulation par Bootstrap+Mack 1
0.1
0.08
0.09
0.07
0.08
0.06
0.07
0.05
0.06
0.04
0.05
0.04
0.03
0.03
0.02
0.02
0.01
0.01
0
0
0
2 Avril 2010
2000000
4000000
6000000
8000000
10000000
12000000
Présentation de mémoire d'actuariat
2000000 3000000 4000000 5000000 6000000 7000000 8000000 9000000
Page 5
Calcul SCRNL
Formule standard QIS 4
►
Mesurer les volumes et les volatilités dans chaque LoB
►
Mesure de volume : V
►
►
►
►
Mesure de volume du risque de tarification :
Vprem = Max (primes nettes acquises(n+1), primes nettes émises(n+1), 1.05*primes nettes émises(n))
Mesure de volume du risque de provisionnement :
Vres = Best Estimate des sinistres à payer dans chacune des branches;
Mesure de volume de risque de souscription:
V = Vprem + Vres
Mesure de volatilité : σ
►
Mesure de volatilité du risque de tarification : un mix de crédibilité d’une estimation spécifique à l’entreprise
à l’échelle du marché
 (2U , prem,)
et d’une estimation
 (2M , prem,)
 ( prem)  clob   (2U , prem,)  ( 1  clob )   (2M , prem)
►
Agréger la mesure de volatilité (tarification & provisionnement) dans chacune des branches:

V

2
 2 ( prem,lob ) ( res.lob )V( prem,lob )V( res.lob )   ( res,lob)V( res,lob) 
2
Remarque : α=(lob0.5,
) c’est-à-dire qu’une corrélation de 50% est supposée entre le risque de tarification et le risque de provisionnement
V
V
( prem,lob ) ( prem,lob )
( prem,lob )
2 Avril 2010
( res ,lob )
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Calcul SCRNL
Formule standard QIS 4
►
Déduire le capital économique pour le risque de tarification et de provisionnement
►
Formule standard: SCRNL = ρ(σ) * V
►
ρ(σ) est fixée de manière à produire un chargement en capital conforme au standard de VaR de 99,5 % dans l’hypothèse d’une
distribution lognormale du risque sous-jacent:
 ( ) 
►
exp( N 0.995  log( 2  1))
SCRNL = 3*σ* V  1
2
1
►
Approximation : ρ(σ) = 3* σ
►
La diversification géographique est prise en compte dans le QIS4, avec un seuil de matérialité de 5%.
Cas pratique
Volume


Premiums and
reserve risk
Bootstrap
25 687 862
9.1405%
26.008%
6 680 906
Bootstrap+Mack 1
25 541 324
9.1513%
26.042%
6 651 363
Bootstrap+Mack 2
25 489 859
9.1552%
26.054%
6 641 021
Premiums and reserve risk
Sub risks calculation
2 Avril 2010
Présentation de mémoire d'actuariat
Page 7
Calcul de provisions, vision à un an
Risque de provision
►
Pourquoi une vision à un an
►
►
Sous Solvabilité II, mesure du capital sur un horizon d’un an
Étude du AISAM-ACME
►
►
►
►
Only a few members were aware of the inconsistency between their assessment on the ultimate costs and the Solvency II framework which
uses a one-year horizon
The calibration of the reserve risk needs to reflect strictly the one year horizon rather than a full run-off approach
QIS 3 seems to be consistent with a full run-off approach rather than a one-year horizon volatility
Méthodes et solutions
►
Méthode de Wüthrich : vision de Mack sur un horizon d’un an
►
Méthode de simulation : Bootstrap,
 etc.c
 t 1 Dt 1  
CDRi (Bootstrap
t  1)  E+ Mack,
Rit DMack,
t    X i , n i 1  E  Ri
j
i
1 … … j … …n
j
i
1
1 … … j … …n
1

2 Avril 2010
n-j
n-j
n
n
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Page 8
Calcul des provisions, vision à un an
Risque de provision : cas pratique
►
Erreur de prédiction des différentes méthodes
Erreur d’Estimation
Erreur de Processus
►
Erreur de Prédiction
Calcul Mack
820 091
15.57%
486 829
9.24%
953 705
18.10%
Calcul Wüthrich un an
773 634
14.68%
452 933
8.60%
896 470
17.02%
Bootstrap
-
-
-
-
998 048
19.83%
Bootstrap sur un an
-
-
-
-
957 281
19.02%
Résultats
Volume


Premiums and
reserve risk
Bootstrap
25 687 862
10.791%
31.234%
8 023 239
Mack Bootstrap 1
25 541 324
10.773%
31.178%
7 963 152
Mack Bootstrap 2
25 489 859
10.767%
31.158%
7 942 109
Bootstrap
25 687 862
11.2904%
32.848%
8 438 026
Mack Bootstrap 1
25 541 324
11.2646%
32.764%
8 368 477
Mack Bootstrap 2
25 489 859
11.2555%
32.735%
8 344 118
Premiums and reserve risk
Sub risks calculation
(Vol Wüthrich un an)
Sub risks calculation
(Vol Bootstrap un an)
2 Avril 2010
Présentation de mémoire d'actuariat
Page 9
Modèle de portefeuille pondéré
Variante du QIS4
►
Risque de prime
►
►
►
►
►
µˆ p 
Taux moyen de perte des nouveaux sinistres
 ( prem;lob )
Volatilité relative au risque de prime
et
 ( res;lob )

n
P   Pk
P
k 1

Pk  Yknew  Rknew  Pk
  
 µˆ p 
Pk
k 1 P 

 YkRunOff
k
µˆ r  ket1
Volatilité relative au risque de réserve
 Rknew  Pk
n
  R
Taux moyen de provisions du portefeuille
new
k
k 1
n
Risque de réserve
►
 Y
n
R

2
n
R   Rk 1
k 1

R  R  Y RunOff
  k 1  k k
 µˆ r 
Rk 1
k 1 R 

n
2
Calcule du risque de réserve et risque de prime
►
Estimation du risque de souscription
 Y
n
µˆ 
►
k 1
2 Avril 2010
R
new
k

n

 Pk   Rk  YkRunOff
k 1


P  R
Volatilité relative au risque de souscription
 (lob)
new
k

Pk  Rk 1  Yknew  Rknew  Pk  Rk  YkRunOff
ˆ
  

µ



Pk  Rk 1
k 1 P  R 

n
Présentation de mémoire d'actuariat
2
Page 10
Modèle de portefeuille pondéré
Variante du QIS4: cas pratique
Risque de prime
Risque de réserve
Sinistres
RMS
Grave
Y runoff  RNrun1off
2003
Yknew  Rknew
2004
2005
2006
2003
2007
RNrunoff
2005
2006
2007
Pk
Volatilité de
Tarification
Volatilité de
Provision

10.64%
24.89%
10.47%
2 Avril 2010
2004
Premiums and reserve risk
Volume

Premiums and
reserve risk
Bootstrap
25 687 862
30.20%
7 757 734
Mack Bootstrap 1
25 541 324
30.20%
7 713 480
Mack Bootstrap 2
25 489 859
30.20%
7 697 937
Présentation de mémoire d'actuariat
Page 11
Méthode par simulation
Méthodologie générale
Risque de Prime/Tarification
► Formule
Risque de Provision/Réserve
générale:
► Formule
générale:
new
T  (Y new  RNnew
1  RN )  P
T  (Y runoff  RNrun1off )  RNrunoff
► Méthode
stochastique
►
Simulation des
Loss Ratios
► Distribution
►
►
►
2 Avril 2010
usuelle
Normale
Log Normale
Gamma
► Méthode
stochastique
►
Bootstrap sur un an
►
Bootstrap + Mack sur un an
►
GLM
► Distribution
►
Dépendance
►
Présentation de mémoire d'actuariat
usuelle
GEV
Normale
Page 12
Méthode par simulation
Back Modeling N-1, Calibration de la dépendance
1.
Triangle original
2.
3.
Méthode de Bootstrap + Mack
pour construire les triangles « historiques »
4.
5.
……
Calcul de réserve pour
triangle (N-1)*(N-1)
Triangle (N-1)*(N-1)
Calcul de réserve pour
triangle (N)*(N)
6.
7.
Étapes de « Back Modeling »
Préparation des données et triangle
Simulation 1000 fois triangles supérieurs avec une méthode
stochastique
Calcul des provisions pour un triangle N*N et un sous triangle
N-1*N-1 simulé, le sous triangle doit commencer à la même
année de survenance et terminer à la fin de l’année de
survenance N-1
Modélisation de la prime avec les triangles simulés
Calcul du risque de provision en appliquant la formule de
risque
Calcul du risque de prime en appliquant la formule de risque
Calibration de la dépendance entre deux risques
Prime modélisée par les
sinistralités simulés
Modèle de prime en
fonction des
sinistralités passées
Triangle N*N
2 Avril 2010
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Méthode par simulation
Back Modeling N-1, Calibration de la dépendance
Calibration de la dépendance
Branche IRD SHAM
►
Dépendance non linéaire
►
Sélection de la copule
►AIC
►Fonction K(u), L(u) et
►
R(u)
Calibration des paramètres
►Méthode des moments
►Maximum de Vraisemblance
►Inférence sur
les Marginales
►CML
Branche Auto
2 Avril 2010
Branche IARD
Présentation de mémoire d'actuariat
Page 14
Méthode par simulation
Back Modeling N-1, Calibration de la copule
►
Sélection de la copule
Copule
Paramètre par Tau de Kendall
Copule Normale
Copule Gumbel
Copule Clayton
►

r  sin(  )
2
1
1
2

1

Paramètre
AIC test
0.584205
4173.41
1.658889
3809.67
1.317778
2137.48
Copule
Distance L(u)
Distance R(u)
Copule Normale
0.017964
0.019172
Copule Gumbel
0.068262
0.414691
Copule Clayton
1.682411
0.899983
Calibration des paramètres
2 Avril 2010
Méthode
MM
ML
IFM
CML
Copule Normale
0.58420
0.58169
0.58471
0.58439
Présentation de mémoire d'actuariat
Page 15
Méthode par simulation
Risque de souscription pour l’année N
►
Simulation du risque de provision d’un an
Projection d’un an
Triangle historique
Calcule risque de provision après la projection
Histogramme
►
Bootstrap sur un an
0.0000004
0.00000035
Méthode Bootstrap
Test de Kolmogorov-Smirnov
Conclusion
Loi Normale
P-value < 0.0001
Refuse H0
Loi Gamma
P-value = 0.009
Refuse H0
Loi Weibull
P-value < 0.0001
Refuse H0
Loi GEV
P-value = 0.713
Accepte H0
0.0000003
Densité
►
0.00000025
0.0000002
0.00000015
0.0000001
0.00000005
0
-4000000
-2000000
0
2000000
4000000
6000000
Bootstrap
Bootstrap
Simulation de Mack sur un an
GEV(0.133,9.652E+5,-4.403E+5)
Histogramme
0.0000006
Méthode Mack
Test de Kolmogorov-Smirnov
Conclusion
Loi Normale
P-value = 0.992
Accepte H0
Loi Gamma
P-value < 0.0001
Refuse H0
Loi Weibull
P-value = 0.006
Refuse H0
0.0000005
Loi GEV
2 Avril 2010
P-value = 0.164
Accepte H0
Présentation de mémoire d'actuariat
Densité
0.0000004
0.0000003
0.0000002
0.0000001
0
-4E+06
-3E+06 -2E+06
-1E+06
0
100000 200000 300000 400000
0
0
0
0
Simulation de Mack
Simulation de Mack
Normal(-1196.284,7.982E+5)
Page 16
Méthode par simulation
Risque de souscription pour l’année N
►
Risque de prime
► Calibration d’une distribution de Loss Ratio historique
►
Loss Ratio Historique
Test de Kolmogorov-Smirnov
Conclusion
Loi Normale
0.689
Accepte H0
Loi Log Normale
0.818
Accepte H0
Loi Gamma
0.870
Accepte H0
Loi Weibull
< 0.0001
Refuse H0
Retraitement du modèle de simulation
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
-1
-0.5
0
0.5
Simulation de Loss Ratio avant retraitement
Avant le retraitement
2 Avril 2010
1
1.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Simulation de Loss Ratio après retraitement
Après le retraitement
Présentation de mémoire d'actuariat
Page 17
Méthode par simulation
Risque de souscription pour l’année N
Calibration de Provision
Bootstrap
Simulation de Mack
Copule
Risque de Provision
Risque de Prime
Loi calibrée pour risque de souscription
VaR (99.5%) par Simulation
Normale
GEV
Normale
GEV/Normale
5 490 036
Normale
GEV
Log Normale
GEV
8 418 248
Normale
GEV
Gamma
GEV
7 484 500
Normale
GEV
Normale
GEV/Normale
5 649 591
Normale
GEV
Log Normale
GEV
8 236 933
Normale
GEV
Gamma
GEV
7 795 037
Normale
Normale
Normale
GEV/Normale
5 807 744
Normale
Normale
Log Normale
GEV
8 173 672
Normale
Normale
Gamma
GEV
7 586 445
Histogramme
Scattergram ( Risque de Souscription)
0.00000014
20000000
0.00000012
15000000
Risque de Souscription
Densité
0.0000001
0.00000008
0.00000006
0.00000004
0.00000002
0
-20000000 -15000000 -10000000 -5000000
0
5000000
10000000
10000000
99.5-quantile
5000000
0
M edian
-5000000
15000000 20000000
-10000000
Risque de souscription
Risque de Souscription
2 Avril 2010
GEV(0.089,2.853E+6,-4.229E+6)
-15000000
Présentation de mémoire d'actuariat
Page 18
Structure de modélisation de risque de
souscription Non-Vie
►
Avantages du modèle
►
►
►
►
Limites du modèle
►
►
►
Calibration de la dépendance plus fine que
QIS4
Un horizon d’un an pour le risque de
réserve
Construction d’une vision dynamique sur
provision et prime
Sensible à la règlement N-1
Modéliser la dépendance sans les graves
Développement futur
►
►
Calibration de la dépendance sur plusieurs
années
Modélisation de la structure de dépendance
entre différentes branches
2 Avril 2010
Présentation de mémoire d'actuariat
Page 19
Questions?
www.chineseactuary.net
2 Avril 2010
Présentation de mémoire d'actuariat
Page 20