Transcript Cap3

Prelucrarea numerica a imaginilor
Cap. 3 Esantionarea si cuantizarea imaginilor
ESANTIONAREA SI CUANTIZAREA IMAGINILOR
1. Introducere
2. Esantionarea in spatiul bidimensional
Principiul esantionarii imaginilor
Frecventele spatiale
Imagini cu spectru limitat
Esantionarea spatiala
Refacerea imaginii utilizand esantioanele sale
Rata Nyquist, efectul "alias" si frecventele de suprapunere
Teorema esantionarii in spatiul bidimensional
Retele de esantionare neregulate si intretesute
Esantionarea optimala
Limitari in procesul de esantionare si reconstructie
3. Cuantizarea imaginilor
Cuantizorul optimal
Cuantizorul uniform
Cuantizarea vizuala:
- Cuantizarea contrastului
- Cuantizarea utilizand zgomot pseudoaleator
Generarea imaginilor bitonale
Cuantizarea imaginilor color
Prelucrarea numerica a imaginilor
Cap. 3 Esantionarea si cuantizarea imaginilor
1.
f(x,y)
Esantionare
f s(x,y)
Introducere
Cuantizare
u(m,n)
Calculator
Digitizare
Calculator
u(m,n)
Conversie
D/A
Monitor
Redare
Esantionarea si cuantizarea imaginilor / afisarea analogica a imaginilor
Prelucrarea numerica a imaginilor
2.
Cap. 3 Esantionarea si cuantizarea imaginilor
Esantionarea in spatiul bidimensional
Principiul esantionarii imaginilor
f(x,y)
x
y
Prelucrarea numerica a imaginilor
Cap. 3 Esantionarea si cuantizarea imaginilor
Imaginea = semnal 2-D = “generalizare” a semnalelor 1-D (variabile in timp):
1-D
2-D
Prelucrarea numerica a imaginilor
Cap. 3 Esantionarea si cuantizarea imaginilor
Frecventele spatiale
- Imaginile pe nivele de gri pot fi privite ca o generalizare la cazul 2-D a semnalelor variabile in timp
(atat cele analogice cat si cele digitale) => echivalentele intre cele 2 tipuri de semnale:
Semnal 1-D (variabil in timp)
Semnal 2-D (imagine pe nivele de gri)
Coordonata temporala t
Coordonatele spatiale x,y
Valoarea instantanee a semnalului: f(t)
Nivelul de gri intr-un punct din scena: f(x,y)
Un semnal 1-D care nu variaza in timp (este
constant) = are componenta de c.a. =0 iar
componenta de c.c. = valoarea semnalului
O imagine perfect uniforma (cu acelasi nivel de
gri in toate pozitiile spatiale); componenta de c.c.
a imaginii = nivelul de gri respectiv
Frecventa maxima din spectrul unui semnal 1-D
este proportionala cu viteza maxima de variatie a
valorii sale instantanee in timp:
νmax ~ max(df/dt)
Frecventele maxime dintr-o imagine (semnal 2-D)
sunt proportionale cu vitezele maxime de variatie
ale luminantei in spatiu:
νmax,x ~ max(df/dx); νmax,y ~ max(df/dy)
=> νmax,x , νmax,y = “frecventele spatiale”
Semnal digital 1-D: descris prin esantioanele sale
=> un vector: u=[u(0) u(1) … u(N-1)], N
esantioane; pozitia esantionului = momentul de
timp discret
Imaginea digitala (semnal 2-D): descrisa prin
esantioanele sale, dar in 2-D => o matrice:
U[M×N], U={u(m,n)}, m=0,1,…,M-1;
n=0,1,…,N-1.
Spectrul semnalului variabil in timp = modulul
transformatei Fourier a semnalului, F(ω);
ω=2πν.
Spectrul imaginii = modulul transformatei Fourier
a imaginii = generalizarea 2-D a transformatei
Fourier, F(ωx,ωy); ωx=2πνx; ωy=2πνy
Prelucrarea numerica a imaginilor
Cap. 3 Esantionarea si cuantizarea imaginilor
Imagini cu spectru limitat
•
Imagine cu spectru limitat = semnal 2-D cu suport spectral finit:
F(νx, νy) = transformata Fourier a imaginii:


 
F  x , y    f x, y e
 j  x  x  j  y  y
 
e
 
dxdy    f x, y e

 j 2   x  x  y  y
 
|F(νx, νy)|
F ( x , y )  0,|  x |  max, x ,|  y |  max, y ;
νy
Notatie: max, x   x0 ;  max, y   y 0
νmax,y=νy0
νmax,x=νx0 νx
-νmax,y=νy0
-νmax,x= -νx0
νmax,x= νx0
-νmax,y=- νy0
νy
Modulul transformatei Fourier
a imaginii cu spectru limitat
Suportul spectral
Spectrul unei imagini de banda finita si suportul sau spectral
dxdy.
Prelucrarea numerica a imaginilor
Cap. 3 Esantionarea si cuantizarea imaginilor
Esantionarea spatiala (1)
Reteaua de esantionare = retea (grila) rectangulara uniforma:
y

g(x,y) ( x, y)  
  ( x  mx, y  ny)
m  n  
x
y

x
Esantionarea imaginii = citirea valorilor functiei continue de luminanta f(x,y) doar in pozitiile
corespunzatoare punctelor retelei:
 f ( x, y), x  mx, y  ny
 f s ( x, y)  
,
0
,
altfel

m, n  Z.

 f s ( x, y)  f ( x, y) g(x, y ) ( x, y)  

 f (mx, ny) ( x  mx, y  ny)
m   n  
Prelucrarea numerica a imaginilor
Cap. 3 Esantionarea si cuantizarea imaginilor
Esantionarea spatiala (2)
• Problema esantionarii spatiale: alegerea valorilor Δx, Δy, astfel incat sa obtinem:
- reprezentarea imaginii digitale printr-un numar minim de esantioane,
- fara a pierde informatie (sau cu pierdere minima de informatie).
(De exemplu: pt. o imagine perfect uniforma, un singur esantion este suficient pt. a reprezenta complet
imaginea => esantionarea se poate realiza pe o grila cu pasi Δx, Δy foarte mari; din contra – daca luminanta
variaza spatial foarte brusc => sunt necesare foarte multe esantioane pentru descrierea imaginii)
 Intervalele spatiale de esantionare (pasii de esantionare) Δx, Δy necesare pentru minimizarea
pierderii de informatie la conversia analog-digitala depind de frecventele spatiale maxime din imagine.
 Conditiile de esantionare sunt deduse pe baza analizei spectrului imaginii, obtinut din transformata
Fourier 2-D a imaginii:
f s ( x, y )  f ( x, y ) g ( x, y ) ( x, y )  transformata sa Fourier :
 
FS ( x , y )    f S ( x, y )  e  j 2  x  x  e
 j 2  y  y
 
 
dxdy    f ( x, y )  g ( x, y ) ( x, y )  e  j 2  x  x  e
 j 2  y  y
dxdy.
 
 Functia g(Δx, Δy) a retelei de esantionare este periodica, cu perioada (Δx, Δy) => poate fi exprimata prin
l
descompunerea in serie Fourier:
k
j 2   x j 2   y

g ( x, y ) ( x, y )  

 a(k , l )  e
k   l  
x
e
y
,
unde :
k
l
 j 2   x  j 2   y
1 1 x y
y
x  e
a(k , l ) 
    g ( x, y ) ( x, y )e
dxdy.
x y 0 0
Prelucrarea numerica a imaginilor
Cap. 3 Esantionarea si cuantizarea imaginilor
Esantionarea spatiala (3)
1, if x  y  0
pt.( x, y )  [0; x)  [0; y ), g ( x, y ) ( x, y )  
,
0, altfel
 a(k , l ) 
1 1
 , k , l   ;  .
x y
Ca urmare, transformata Fourier a functiei fS este:
2 l  y 
2 k  x

j
j
  

 j 2  y  y
1
FS ( x , y )    f ( x, y )    
 e x  e y   e  j 2  x  x  e
dxdy

x


y
 
 k   l  




l 

k 

 j 2  x x    j 2  y  y   
   

1
y 
x   e


dxdy
 FS ( x , y ) 
      f ( x, y )  e
x  y      k   l  




 


 

l 
k 

 j 2  x x    j 2  y  y  
y 
x   e


f ( x, y )  e
dxdy
 FS ( x , y ) 
1
    
x  y k   l      
 FS ( x , y ) 



1
k
l 
   F  x  , y  .
x  y k   l   
x
y 
 Spectrul imaginii esantionate = colectia unui numar infinit de replici spectrale scalate ale spectrului
imaginii originale, centrate pe multipli ai frecventelor spatiale νx,s=1/Δx, νy,s=1/ Δy.
Prelucrarea numerica a imaginilor
Imagine originala
Retea de esantionare
rectangulara 2-D
Cap. 3 Esantionarea si cuantizarea imaginilor
Spectrul imaginii originale (3D)
Spectrul imaginii esantionate (3D)
Spectrul imaginii originale
(reprezentarea 2D)
Spectrul imaginii esantionate
(reprezentarea 2D)
Prelucrarea numerica a imaginilor
Cap. 3 Esantionarea si cuantizarea imaginilor
y
1/x
y s
y s-y 0
y 0
2

2y 0
1/y
1
3
2x0
xs-x0
x0
xs
xs
x
Spectrul imaginii esantionate
Refacerea imaginii din esantioanele sale
 xs  2 x0 ,  ys  2 y0
 1
,( , )  

H ( x , y )   ( xs ys ) x y
 0,
altfel

, sau
, sau
x 
1
2 x 0
,y 
1
2 y 0
~
F ( x , y )  H ( x , y ) Fs ( x , y )  F ( x , y ).
Prelucrarea numerica a imaginilor
Cap. 3 Esantionarea si cuantizarea imaginilor
Rata Nyquist, efectul "alias" si frecventele de suprapunere
y
y0
2 y0
0
2 x0
x0
0
x
Efectul alias – frecventele de suprapunere
Teorema esantionarii in spatiul bidimensional
1
1
  xs  2 x 0 ;
  ys  2 y 0
x
y
, atunci
f ( x, y)  
 sin(x xs  m)  sin( y ys  n) 

f (mx, ny)
(
x


m
)

m, n  
xs

 ( y ys  n) 


Prelucrarea numerica a imaginilor
Cap. 3 Esantionarea si cuantizarea imaginilor
Retele de esantionare nerectangulare si intretesute
n
n
νy
1/2
F(νx, νy)=1
2
1/ 2
νx
2
1
1/2
-1/2
-1 0 1 1
2
3 m
-2
-1
1
0
2
1
2 m
-1/2
b) retea dreptunghiulara G1
a) Spectrul imaginii
νy
x
νy
1
x
x
-1
c) retea cu intretesere G2
0
x
1
νx
νx
d) spectrul pentru G1
e) Spectrul pentru G2
Fig.6 Esantionarea intretesuta
Prelucrarea numerica a imaginilor
Cap. 3 Esantionarea si cuantizarea imaginilor
Esantionarea optimala ; Functii de interpolare a imaginilor
Funcţia de
interpolare
unidimensională
Reprezentare
grafică
Funcţia de
interpolare
bidimensionala
pa(x,y)=p(x)p(y)
Definiţia
p(x)
Rspunsul în
frecvenţă
pa(1,2)
pa(1,0)
1
1/x
Dreptunghiular
(filtru ordinzero)
p0(x)
-x/2
x/2
0
x
p0 ( x) p0 ( y )
x
0
4x0
1/x
Triunghiular
(filtru ordinunu)
p1(x)
1
 x 
rect  
 x 
x
  
  
sinc 1  sinc 2 
 2x 0 
 2y 0 
-x
x
0
1
1
 x 
tri  
x  x 
x
2
p1 ( x ) p1 ( y )
   
  
sinc 1  sinc 2  
2



 2y0  

x0
p0 ( x)  p0 ( x)
x
0
4x0
1
filtru ordin-n
n=2, pătratic
n=3, spline cubic
pn(x)
0
x
n1
p0 ( x ) p0 ( x )
n convolu@
ii
pn ( x ) pn ( y )
x
0
4x0
 x2  1
 ( x2  y2 ) 
exp 
exp
2
2
2
2 2 
2
 2 2

1
Gaussian
pg(x)
      
sinc 1 sinc 2 
 2x0  2y0 
0


1
exp  2 2 2 (12  22 )
x
x
0
2
1
Sinc
0
x
1
 x  y


sinc sinc 


 x  y rect  1  rect  2 
xy


 2x0 
 2y0 
1
 x 
sinc 
 x 
x
0
2x0
2x
f ( x, y)  

a
m ,n  0
m ,n
 m ,n
Prelucrarea numerica a imaginilor
Cap. 3 Esantionarea si cuantizarea imaginilor
Limitari in procesul de esantionare si reconstructie
Imagine
intrare
Apertura
sistemului de
scanare
ps(-x,-y)
g(x,y)
Sistem de
esantionare
ideal
x,y
gs(x,y)
Sistem de
afisare
pa(-x,-y)
Model de scaner real
Fig. 7 Schema-bloc a unui sistem de esantionare real
Pa(x,0)
Filtru de refacere sau
spectrul sistemului de
afisare
xs/2
-xs/2
Spectrul
imaginii
esantionate
x
Spectrul imaginii de intrare
Pierderile de spectru
Spectrul imaginii
refacute
-0
-xs/2
0
xs/2
Eroarea de interpolare
Fig. 8 Efectul real al interpolarii
g~(x,y)
Prelucrarea numerica a imaginilor
Cap. 3 Esantionarea si cuantizarea imaginilor
3. Cuantizarea imaginilor
3.1. Privire generala
iesirea
u
Cuantizor
cuantizorului
u’
rL
rk
t1
t2
tk
r2
r2
r1
Fig. 9 Cuantizor si functia de cuantizare
tL
Eroarea de
cuantizare
Prelucrarea numerica a imaginilor
Cap. 3 Esantionarea si cuantizarea imaginilor
3.2. Cuantizorul optimal in sensul minimizarii MSE (=cuantizorul Lloyd-Max)
L ti 1
tL 1
e  E[(u  u' ) ] 
2
 (u  u' )
2
    (u  ri ) 2 pu (u)du
p u (u)du
i 1 ti
t1

 (tk  rk 1 ) 2  (tk  rk ) 2  pu (tk )  0
tk

 2  (u  rk ) pu (u )du  0 1  k  L
rk
t
t k 1
k
t k 1
r r
t k  k k 1
2
 up (u)du
u
rk 
 Eu|u  k 
tk
t k 1
 p (u)du
u
tk
pu (u)  pu (tj ),
tj 
zk  t1
[ p
A
t k 1 
u
1
(t  t ),
2 j j 1
(u)]1/ 3 du
t1
t L1
[ p
u
t1
(u)]1/ 3 du
 t1
t j  u  t j 1
Prelucrarea numerica a imaginilor
Cap. 3 Esantionarea si cuantizarea imaginilor
1

12 L2
t L1

1/ 3
  [ pu (u)] du
 t1

3
pu(u)
u
t1
t2
  (u   ) 2 
pu (u) 
exp

 2 2 
2 2
1
2 
2

(
tj
tj+1

tL+1

pu (u) ,sau exp   u  
(Gaussian)
2
varianta , - valoarea medie)

(Laplacian)
Prelucrarea numerica a imaginilor
Cap. 3 Esantionarea si cuantizarea imaginilor
3.3. Cuantizorul uniform = cuantizorul optimal atunci cand pu(u) este:
 1
,t1  u  t L 1

pu (u)   t L 1  t1
0 in rest

(t k21  t k2 ) t k 1  t k
rk 

2(t k 1  t k )
2
tk 
q
t k  1  t k 1
2
t L 1  t1
,
L
t k  t k 1  t k 1  t k  constant  q
t k  t k 1  q ,
rk  t k 
q
2
q /2
1
q2
2

u du 
q  q/ 2
12

 2 2B
2
u
, deunde SNR  10log10 2 2B  6  BdB
Prelucrarea numerica a imaginilor
Cap. 3 Esantionarea si cuantizarea imaginilor
3.4. Metode de cuantizare vizuala
a. Cuantizarea contrastului
Semnal de
luminanta
f( )
luminanta /
contrast
u
c
-
f 1( )
contrast /
luminanta
c’
cuantizor
MMSE
u’
Fig.11 Cuantizarea contrastului
c   ln(1  u),0  u  1
c  u 
sau
b. Cuantizarea utilizand zgomot pseudoaleator
u(m,n)
+
v(m,n) Cuantizor v’(m,n)

pe k biti
+
+
u’(m,n)

-
(m,n)
Zgomot
pseudoaleator
uniform,[-A,A]
Fig. 12 Cuantizarea utilizand zgomot pseudoaleator
Prelucrarea numerica a imaginilor
Cap. 3 Esantionarea si cuantizarea imaginilor
a.
b.
c.
d.
Fig. 13
a.
b.
c.
d.
imagine cuantizata pe 3 biti, conturarea este vizibila;
imagine pe 8 biti cu zgomot pseudoaleator uniform intre [-16,16];
imaginea v’(m,n), este v(m,n) cuantizata pe 3 biti
imaginea obtinuta dupa scaderea zgomotului pseudoaleator
Prelucrarea numerica a imaginilor
Cap. 3 Esantionarea si cuantizarea imaginilor
4. Generarea imaginilor bitonale
Luminanta
v(m,n)
0  u(m,n)  A +
Limitare
v’
v’(m,n)
+
+
0  (m,n)  A
Afisare
Bitonala
A
Matrice pseudoaleatoare
Fig.14 Generarea digitala a imaginilor bitonale
 40
 80

H1  140

120
 20
60 150 90 10 
170 240 200 110

210 250 220 130

190 230 180 70 
100 160 50 30 
 52
 60

 68

76
H2  
132

200
212

204
44
36
4
28
12
20
84 92
140 148
228 236
252 244
196 188
124 132 140 148 156
116 200 228 236 164
108 212 252 244 172

100 204 196 188 180
156 52 44 36 124

164 60
4
28 116
172 68 12 20 108

180 76 84 92 100
Demo: http://markschulze.net/halftone/index.html
Fig.15 Matrici de tip "halftone"
Prelucrarea numerica a imaginilor
Cap. 3 Esantionarea si cuantizarea imaginilor
Fig.3.16
Prelucrarea numerica a imaginilor
Cap. 3 Esantionarea si cuantizarea imaginilor
5. Cuantizarea imaginilor color
T1
RN
T1 ’
RN’
T2 ’
GN’
Cuantizor
GN
BN
Transformare
de coordonate
T2
Cuantizor
Transformare
inversa
T3 ’
T3
Cuantizor
Fig.17 Cuantizarea imaginilor color
BN’