Musicale Acustica en Sonologie Prof. Dr. Marc Leman

Praktische gegevens • Cursusmateriaal: http://minerva.ugent.be/

Structuur van cursus • Theorie: – Akoestische grondslagen • Trillingen • faser-model • Geluidsvoortplanting – Sonologie • Fysische parameters van muziek • Spectraal-analyse

Structuur van cursus • Praktijk: - Omgaan met fasers - Geluidsanalyse en -synthese in Matlab - Geluidsanalyse en -synthese in Pure Data - Toepassing met muziek en sensoren Toepassingsprogramma’s: – Cool Edit, AnaloogBox, Praat, Sndan, Toolboxen

Waarom deze cursus • Grondslag van muziek is geluid • Muziekanalyse (extraheren van kenmerken uit klank) • Muzieksynthese (compositie, sound design) • Grondslag voor verdere studies: – Muziekpsychologie (Masters) – Ethnomusicologie (Masters) – Systematische muziekwetenschap (Masters)

Doel van deze cursus • Theoretisch inzicht bijbrengen in het materiaal waaruit muziek bestaat • Praktische oefeningen in omgaan met computer en geluid/muziek • Maken van een toepassing rond muziek en beweging

Historisch • Pythagoras: 580-496 – Onderzoek naar toonverhoudingen – Belang van wiskunde – Harmonie der sferen – Grondslag van de geluidsleer

Historisch • Mersenne: 1588-1648 Traité d'harmonie universelle (1627) • Descartes: verklaard 1596 1650

Compendium Musicae

(1618) -> Isaak Beekman – Belang van experimenten en wiskunde – Muziek kan worden geanalyseerd en rationeel – Geluid is beweging ipv substantie – Beschrijft deeltonen van een tooncomplex – Opvattingen over consonantie/dissonantie – Ars combinandi  automatische generatie van muziek

Historisch • Huygens: 1629-1695 • Rameau: 1683-1764 • Helmholtz: 1824 –1894 • Lord Rayleigh: 1842-1919

Onderzoeksdomeinen • Indeling: Acoustical Society of America • Architecturale • Toegepaste Wetenschappen • Ruiscontrole • Fysische acustica • Spraak en gehoor • Onder water • Medische • Bio • Structurele • Muzikale

Relatie met musicologie • Acustica van muziekinstrumenten – Tonometrie – Modelering  “physical modelling” • Psychoacustica en Muziekpsychologie – Waarneming, interpretatie, emotionele beleving • Muziek en technologie – Interactieve multimedia – Modelleren van muziekperceptie – Muziekzoekmachines

Praktische schikkingen • Theorie: donderdag 17u00-18u30 • Praktijk: maandag 8u30-10u00

Les 1:

Trillingen • Enkelvoudige Vrije Trilling – Beschrijving van de EVT via parameters: Periode, Frequentie, Hoektoename, Amplitude, Fase • Demping • Superpositie • Resonantie • Modulatie

Trillingen: inleiding • Elastische vormveranderingen – Uitrekking, samendrukking, torsie, buiging, trilling • Uitwendige krachten

Periodische beweging • Etienne Jules Marey (1830-1904)

Vleugelbewegingen

Eigenschappen van de EVT • meest eenvoudige trilling • symmetrische beweging • rond een evenwichtspositie • periodisch • verbonden met een cirkelbeweging • geïdealiseerd geval Demo: spring and wave

Analytische beschrijving van de enkelvoudige trilling • Sin  = a/r • Cos  = b/r • Als r = 1 sin  cos  = a = b b

Sinus en cosinus b

Periode en Frequentie • P = periode, de tijd die een punt op de cirkel nodig heeft om : één rotatie uit te voeren één cyclus af te leggen één volledige trilling uit te voeren Eenheid: s/p • f =frequentie, het aantal periodes of trillingen per seconde Eenheid: p/s • Verband tussen P en f

f = 1/P

Periode en frequentie: sinustoon • Sinustoon van 440 Hz • Karel Goeyvaerts: nr 4, 1953 • K.H. Stockhausen: Studie II, 1953

Electroakoestische muziekproductie aan het IPEM Productie wereldwijd (Berlin-catalogue, Hein & Seelig, 1996) IPEM productie http://www.ipem.ugent.be/about/LouisDeMeester/~ldm_ned.html

Toename van de hoek • de hoekverandering:          360  [

P



s

/ /

p p

] 2 

P

2 

f

 [

rad

s/p /

p

]  [

rad

p * s

p

] • toename van de hoek

over de duurtijd T

• (t = 0 

T)

 (

t

)  2 

f T t

 [

rad p

*

p

*

s

]

s

Toename van de hoek (2) • Op en neer gaande beweging van de trilling

y

(

t

)  sin  (

t

)

y

(

t

)  sin( 2 

ft

) – Maximale uitwijking als y(t) = 1 – Maximale uitwijking als de hoek = 

/2

Amplitude • Uitwijking van de trilling

y

(

t

) 

y

(

t

) 

A

sin  (

t

)

A

sin( 2 

ft

) • A is maximaal als sin (2  ft) = 1

Een voorbeeld in Matlab

Fase verplaatsing van een golfvorm in de tijd gemeten als een hoek toename van de hoek:  (t) = 2  ft + y(t) = Asin y(t) = Asin(2   (t)  ft + o de trilling wordt als volgt beschreven:  o )

Faserelaties tussen trillingen • Demo: SHM/Phase • Faserelaties

Demping • wrijving • amplitude neemt geleidelijk af • periode blijft constant • amplitudeverval y(t) = e -kt Asin(2  ft)

spring and wave b=0.1

Demping: grafisch • Dalende exponentiële curve • Vrije enkelvoudige trilling • Gedempte trilling

Les 2

Superpositie I: Optelling van 2 signalen met dezelfde frequentie Het resultaat is een signaal met dezelfde frequentie

Superpositie II: optelling van signalen met verschillende frequentie Bij sinusoïdale signalen kan dit aanleiding geven tot periodieke amplitude variaties, genaamd zwevingen of beats

beats

Voorbeeld van beats

Hoe superpositie voorstellen vanuit generatief oogpunt? • Grafisch • Mathematisch

Grafisch: het faser-model

Het faser-concept phasor demo Phasor (3-Dimensional)

Complexe getallen • Elegante manier om signalen te noteren • Gemakkelijk om signaal als roterende vectoren (fasers) voor te stellen

Basiskennis complexe getallen

x

2  1  0 (

x

2

x

   1

j j

*

j

  1 )

Voorstelling van complexe getallen Im -1.3+j j j*1.3

1,3+1.3j

1,3+j -1 = j*j 1 1.3

Re -j = j*j*j

Rekenen met complexe getallen • Optellen: (2 + j3) + (4+j5) = 6 + j8 • Vermenigvuldigen: (2 + j3) * (4 + j5) = 2*4 + j10 + j12 -15 = -7 + j22

-1(=j 2 ) Faser model j Im

e j



j

sin   cos  1 -j (= j 3 ) Re

Amplitude Im

jr

sin 

re j

 r 

r

cos  Re

Positieve en negatieve frequenties Im ???

e j



j

sin   cos  Re ??

e



j



j is draai-operator j Im

e j



j

sin  -1  sin  1 Re -j

j is draai-operator j Im

e j



j

sin  -1  sin   sin  1 Re -j

Positieve en negatieve frequenties Im sin 

e j

  Re

e



j

 (complex geconjugeerde)

Complexe getallen

e j



e



j

 cos   (

e j

 

e



j

 ) / 2 Model voor cosinus Opdracht: - Teken het grafisch faser-model voor de imaginaire sinus

Cosinus en sinus uitgedrukt als fasers

e j

  cos  

j

sin  cos 

j

sin   

e j

 2

e j

   2

e



j



e

2  2

j

  

e e j



j

  2 

e



j

 2

e



j



Opdracht

Gegeven e j

  cos  

e



j

 

e j

  (cos   )  (

j

sin   )  cos     (cos  

j

sin  )   cos  

j

sin

j

sin   

e



j

 

j

sin   ((cos   )  (

j

sin   ))   (cos  

j

sin  )   cos  

j

sin 

Bereken

:

e e j



j

 

e



j

 

e



j



De mooiste formule (Euler)

e j

  1  0 Toon aan dat dit inderdaad het geval is

Spelen met fasers • Fasers optellen:

r

1

e j

 1 • Fasers vermenigvuldigen: 

r

2

e j

 2

r

1

e j

 1 *

r

2

e j

 2 

r

1

r

2

e j

(  1   2 ) • Conventie: om de tijd voor te stellen zullen we afspreken:   

t

 2 

ft

Toepassing: fasers met dezelfde frequentie optellen

r

1

e j

( 

t

  1 ) 

r

2

e j

( 

t

  2 )

r

1

e e j



t j



t e j

 1  * (

r

1

e j

 1

r

2

e j



t e j

 2 

r

2

e j

 2 )  

Toepassing: fasors met verschillende frequentie optellen geeft beats • Gegeven:

r

1

e j



t



r

2

e j



t stel

:      • En reken uit:

dan

:

r

1

e j



t



r

2

e j

(    )

t r

1

e j



t



r

2

e j

(    )

t r

1

e j



t e j



t

(

r

1  (

r

2

e j



t



r

2

e j



t

) *

e j



t

)

r

1

e

Toepassing: fasers vermenigvuldigen

j

 1 *

r

2

e j

 2 

r

1

r

2

e j

(  1   2 )

Van complex naar reëel Re(

e j

 )  cos  Im(

e j

 )  sin  Opgelet: Merk op dat j weg is.

e j

  cos  

j

sin 

Van reëel naar complex (analytisch signaal) Hilbert transformatie: alle frequenties worden 90° verschoven tegenwijzerzin

z y

(

t

)  (

t

) 

H

{

x

(

t

)}

x

(

t

) 

jy

(

t

)

stel x

(

t

)  cos( 

t

)

H

{

x

(

t

)}

e jwt

 cos   cos(

t

 

t



j

sin  2 

t

)  sin( 

t

)

Les 3

Resonantie • Inwerking uitwendige kracht: impuls periodiek willekeurig • Verschil in trillingsfrequentie voorwerp en uitwendige kracht groot: demping klein: zwevingen geen verschil: resonantie maximaal

Muziekinstrumenten bestaan uit: generator: voert energie toe onder de vorm van impuls of periodieke trilling resonator: trillingsgevoelig object of luchtruim

Generator en Resonator: schema input output

Impulsrespons • reson: input = impulssignaal output = gedempte enkelvoudige trilling eigenfrequentie

Impulsrespons Voorbeeld • 3 resonatoren en hun impulsrespons

Frequentierespons • Input = sinussignaal • Output = sinussignaal met gelijke frequentie maar verschillende amplitude

Frequentierespons Voorbeeld • Respons van een reson op een sinusoïdale input

Voorbeeld: de Helmholzresonator animatie http://www.phys.unsw.edu.au/jw/Helmholtz.html

Xylofoon didibadimba

Tshokwe Xylofoonspeler

Tacoma Narrows Bridge

Modulatie • Amplitudemodulatie (AM) • Frequentiemodulatie (FM) • Vibrato en Tremolo

Amplitudemodulatie • Modulator • Drager • Gemoduleerd signaal • Gemoduleerd signaal in zoom

Frequentiemodulatie • Drager • Verandering van modulatieindex en modulatiefrequentie

Vibrato en Tremolo • Vibrato = frequentiemodulatie • Tremolo = amplitudemodulatie • Combinatie

Voorbeelden van frequentie en amplitudemodulatie

Les 4

Golftypes: verplaatsing van partikels • energieoverdracht

Golflengte en Golfsnelheid • Golflengte afstand in één periode • Golfsnelheid/Geluidsnelheid de afstand per seconde v =  f

Medium en geluidsnelheid • gassen • water • vaste stoffen • vacuüm

Golftypes • Longitudinale Trillingen • Transversale Trillingen

Transversale golven

loodrechte verplaatsing

Wavemotion • Lopende transversale golf

(LTG)

• Staande transversale golven

(STG)

Lopende en staande transversale golven

Lopende transversale golven • Komen tot stand door een enkelvoudige trilling • De beweging wordt doorgegeven

Lopende transversale golf in het basilair membraan http://www.uni-tuebingen.de/cochlea/tschechisch/cochlea_scaled_cz.htm

• Georg von Békésy (1899-1972)

Staande transversale

richting)

– Knopen: op  golven • Bij terugkaatsing (tegengestelde punten die steeds in rusttoestand verkeren /2 van elkaar verwijderd – Buiken: punten die een maximale uitwijking hebben op  /2 van elkaar verwijderd

Longitudinale trillingen • Trillingsrichting = Voortplantingsrichting • Wavemotion

Links • Algemeen: http://www.gmi.edu/~drussell/Demos.html

• http://hyperphysics.phy astr.gsu.edu/hbase/sound/soucon.html

• Golven: http://physics.nad.ru/Physics/English/wav_ref.htm

• Interferentie: http://129.13.103.40/shop/evaluation/10/demo_uk/Wellen/In terfe/Interfe.htm

• Weerkaatsing: http://129.13.103.40/shop/evaluation/10/demo_uk/Wellen/Re flex/Reflex.htm

Lopende Longitudinale Golven • Op en neergaande bewegingen komen overeen met plaatsen van hoge en lage druk

Staande Longitudinale Golven • In een open buis • In een gesloten buis

Zaalakoestiek • Berlijnse Filharmonie, 1963, H. Sharoun

Systemen met meerdere trillingsmodes • Vier vrijheidsgraden • Meerdere Trillingsmodes

Trillingen in luchtpijpen • Staande longitudinale golven in een open buis • Staande longitudinale golven in een halfopen buis

Trillingen in staven (inharmonische modi) • InharmonischeTrillingsmodi

Trillingen membranen (inharmonische modi) • • Rectangular Membrane Circular membrane

Trillingen in Staven en Platen • Staven : Gender

Chladni - patronen • Trillende platen: – Chladni platen – Viool – Vergelijking

Chladni – patronen via hologram interferometrie • Klokken :Chladni patroon van een handbel

Trillingen in gitaren – Gitaren

Geluidsvoortplantingsfeno menen • Golffront • Dopplereffect • Diffractie • Reflectie • Impedantie

Links: • http://www.phys.unsw.edu.au/mu sic/

Golffront • Meetkundige plaats van alle punten van een trillingsbron die voor het eerst in beweging komen.

• sound radiation

Dopplereffect • Christian Doppler 1842 • Toonhoogteverandering • Afhankelijk van de beweging van de bron – Doppler

Diffractie • Buiging om een hindernis

Reflectie • Echo • Reverberatie reflectie van golven

Echo • Herhaling • Langer dan 0,1 sec later (17 m.)

Reverberatie • Veel echo’s • Korter dan 0,1 sec • Reverberatietijd 0 0,8 1,5 2,5 5

Impedantie • transmitted pulse • Actie-reactie verhouding in verschillende systemen

Impedantieovereenkomst • Impedantieovereenkomsttransformator

Les 5

Sonologische Analyse • Frequentie • Fase • Intensiteit • Duur en Transiënte Eigenschappen • Spectrale Samenstelling

Frequentie • Sinustonen: aantal pieken per seconde • Tooncomplexen: meerdere enkelvoudige trillingen tonen = deeltonen of partialen • Frequentie --- Toonhoogte

Tooncomplexen • Harmonisch tooncomplex: deeltonen van het tooncomplex zijn veelvouden van de grondtoon • Inharmonisch tooncomplex: niet alle deeltonen van het tooncomplex zijn veelvouden van de grondtoon

Harmonisch tooncomplex • Grondtoon = fundamentele • Deeltonen = veelvouden van de

grondtoon

• Fundamentele = eerste

harmonische

• Deeltonen = harmonischen

Veelvouden van de grondtoon • Harmonischen • Frequenties = f, 2f, 3f, 4f, … 1ste harmonische: E4 = 330 Hz 2 de harmonische: E5 = 660 Hz (octaaf) 3 de harmonische: B5 = 990 Hz (octaaf + kwint) 4 de harmonische: E6 =1320Hz (2 octaven) 5 de harmonische: Gis6=1650 Hz (2 oct.+grote terts) Tooncomplex van 1 tot 5 Toevoeging van harmonischen

Intervallen • Frequentie van tweede noot gedeeld door die van de vorige Interval tussen eerste en tweede harmonische 2f / 1f = 2:1 bvb. 660 Hz / 330 Hz = 2*330/1*300

Intervallen • Interval tussen tweede en derde harmonische • 3f / 2f = 3:2 • Bvb. 990 Hz / 660 Hz = 3*330/2*330

Toonschaal

• Diatonisch (witte toetsen) • Chromatisch (wite en zwarte toetsen)

interval Prieme Kleine Secunde (Grote)Secunde Kleine terts Grote terts Kwart Tritonus Kwint Kleine Sext Grote Sext Kleine Septiem Grote Septiem Octaaf Intervallen stappen 0 1 2 21 22 221 222 2212 22121 22122 221221 221222 2212221 halve stappen 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ratio 1:1 9:8 5:4 4:3 3:2 5:3 15:8 2:1

Toonschaal: afstanden tussen tonen • Onderverdeel het octaaf in 12 gelijke stappen, zodat f * (a*a*…) = 2f 12 a 12 = 2 a = 2 1/12

Gelijk-getemperde schaal f k = f r * 2 k/12

Harmonischen

Subharmonischen

Frequentie van een Harmonisch Tooncomplex • Grootste gemene deler van de deeltonen • Virtuele toon • virtual pitch

Periodiciteit van een harmonisch tooncomplex Random Phase (nharm=20) 1 0.5

0 -0.5

-1 0 0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

Same Phase (nharm=20) 0.035

0.04

0.045

0.05

1 0.5

0 -0.5

-1 0 0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

• Voorbeeld van een tooncomplex met 20 harmonischen. De afstand tussen de grootste pieken komt overeen met één periode van de fundamentele.

Relatie frequentie toonhoogte • Frequentie = technische term • Toonhoogte = muzikale term • Relatie = niet lineair (MEL schaal)

Frequentiebereik • Menselijk gehoor – Lage frequenties: 20 – 200 Hz – Midden frequenties: 200 – 5000 Hz – Hoge frequenties: 5000 – 20000 Hz • Infrasound: onder 20 Hz • Ultrasound: boven 20000Hz

Toonschalen • Gelijk-getemperd:

Fase Random Phase (nharm=20) 1 0.5

0 -0.5

-1 0 0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

Same Phase (nharm=20) 0.035

0.04

0.045

0.05

1 0.5

0 -0.5

-1 0 0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

• Willekeurige fase • Gelijkgestelde fase

Fasegevoeligheid • directiviteit

Intensiteit • Intensiteit is de hoeveelheid energie die per tijdseenheid voorbij een gegeven punt van een medium getransporteerd wordt.

• Concepten van intensiteit: – Akoestische Intensiteit (I) – Geluidsdruk Intensiteit (p) • Evenredigheid: I 

p²

Decibelschaal • Van Pascal naar Bell • Een vergelijking tussen: – Gemeten kwantiteit I – Referentiekwantiteit Io • Gehoorsdrempel

Referentiewaarde • referentiewaarde voor het akoestische intensiteitenniveau Ir

10 -12 Watt/m²

• referentiewaarde voor het geluidsdruk niveau Pr

2 x 10 -5 µPa Newton/m² = 20

Akoestisch Intensiteitenniveau IL

verhouding tussen gemeten intensiteit (I) en de referentiewaarde (Ir) IL = 10log 10 I/Ir = p²/p² r I/Ir

Geluidsdrukniveau SPL

Verhouding tussen: gemeten druk (p) en referentiewaarde (pr) SPL = 10log 10 (p²/p² r ) SPL = 20log 10 (p/p r )

Effectieve waarde • Relatie tussen amplitude en intensiteit • Effectieve waarde (hor. lijn) berekend op basis van één periode.

RMS amplitude • Tijdsvenster – Traag = van 1000 ms – Snel = 125 ms – Impuls = 35 ms • Effectieve waarde of RMS – Kwadraat – Gemiddelde over de tijd – Vierkantswortel

Optelling van twee gelijke geluidsbronnen • Er is geen lineair verband • Verdubbeling van het intensiteitenniveau komt overeen met een toename van ca 3 dB

Intensiteit afname (1) • Afname van intensiteit met afname van afstand • Verdubbeling afstand = afname van 6.02 dB

Intensiteit afname (2) • Afhankelijk van de afstand tot de bron

Duur en Transiënte eigenschappen • Duur = tijd: in seconcen, in samples • Bepalen van begin en einde: – Zero crossing – Transiënte eigenschap

Zero Crossing als criterium 1 0.5

0 -0.5

-1 0 0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

1 0.5

0 -0.5

-1 0 0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

• Een signaal met ruis • Een signaal zonder ruis

Transiënte eigenschap • Trillingen ondergaan veranderingen in de tijd • Overgangsgebieden van trilling naar rust – Aanzet – Stabiele toestand – Verval • Amplitudecurve (omhullende)

Tijdskarakteristiek 1 0.5

0 -0.5

-1 0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1 1 0.5

0 -0.5

-1 0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1 • Toon met tijdskarakteristiek • Toon zonder tijdskarakteristiek

Gebieden • Aanzet (aangroeien, attack) • Stabiele toestand (aanhouden , sustain) • Verval (wegsterven, decay)

Les 6

Spectrale samenstelling • Superpositie van sinusoïdale signalen • Tijdsdomein – Frequentiedomein

Decompositie als projectie • Decompositie van een vector

v

 

v

1 ,

v

2 , Decompositie

v

3  

x

1 

x

2 

x

3  1 , 0 , 0   0 , 1 , 0 , 0 0 , 1    ( ( ( 

v



v v

    

x



x

2 

x

3 1 ) ) )    (  ( (  

v

1 ,

v

2 ,

v

3

v v

1 1 , ,

v v

2 2 , ,

v v

3 3          1 0 , , 0 1 , , 0 0 0 , 0 , 1  )  )  )   

v v

1

v

1 1    1  0 0 

v

2

v

2 

v

2  0   1 0   

v

3

v

3

v

3   0  0 1   

v

1

v v

2 3

v

 

v

1  

x

1 

v

2  

x

2 

v

3  

x

3 

k

3   1

v k

 

x k

Phasors • Phasor als een vector

Complex getal

E

(  )  cos  

dE d

(    )

E

(  )    sin

e j

 

j

sin  

j

cos   cos  

j

sin  

e j

 

j

(cos  

j

sin  ) 

jE

(  )

Complex getal • Complex getal als som van cos en sin

Amplitudespectrum en fasespectrum • Geluidsprisma • http://www.jhu.edu/~signals/index.html

Tijdsdomein Frequentiedomein • Amplitudespectrum en fasespectrum

Voorstelling in TD en FD • 1kHz • Beats • Amplitudemodulatie • Frequentiemodulatie • Harmonisch tooncomplex

Gefilterde ruis • Voorstelling in tijdsdomein en frequentiedomein • Witte ruis , gekleurde ruis, banddoorlaatfilter

Effect van resonantie op een spectrum • Opeenstapeling van filters – Eerste 200 samples – – Amplitudespectrum Gefilterde spectrum

Klankkleur van klinkers (1) • Klinker i

Klankkleur van klinkers (2) • Klinker a

Formanten van klinkers • Voorstelling in spectrale domein en tijdsdomein

Fourier Synthese • Demo: Fourier Series

Spectrogram • Glissando als voorbeeld

Glissandospectrogram • STDFT

Spectrogram: conceptuele voorstelling Parameters met effect: Vensterlengte, Venstertype, Hop factor, Zero padding

Klokken • Synthese van een klokkenklank