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Modelo
m/Ek/1
Teoría de Colas
Sistemas de colas
Distribución Erlang
Distribución
Constante
Desviación estándar
0
Erlang, k = 1
media
Erlang, k = 2
1/ 2 media
Erlang, k = 4
1/2 media
Erlang, k = 8
1/ 8 media
Erlang, k = 16
1/4 media
Erlang, cualquier k
(1/ k ) x( media)
Teoría de Modelo: m/Ek/1


Un tipo de sistemas de colas especialmente
interesante es aquél en el que las llegadas son
de Poisson y la duración del servicio sigue una
distribución de Erlang, también llamada
distribución K.
Esta distribución resulta de sumar
variables
aleatorias
independientes
e
idénticamente distribuidas con distribución
exponencial de parámetro , y su función de
densidad es:

k k k 1 kt
f X (t ) 
t e
k  1!
Teoría de Modelo: m/Ek/1



es decir, es una distribución gamma de
parámetros . k ,k 
Por tanto, si la distribución es
estacionaria,
 e  t  t  n  k  k
Kn  P A  n 

t k 1e  kt dt
0 n!  k  1 !
este caso, es fácil demostrar que la
intensidad de tráfico para el sistema es:

r
k
Teoría de Modelo: m/Ek/1,
medidas de desempeño
1. Número esperado de clientes en la
cola Lq
2. Número esperado de clientes en el
sistema Ls
3. Tiempo esperado de espera en la
cola Wq
4. Tiempo esperado de espera en el
sistema Ws
MODELO M/Ek/1
Medidas del desempeño del sistema de
colas: fórmulas generales
MODELO M/Ek/1

En el caso particular del modelo M/Ek/1
donde la distribución del tiempo de servicio
es Erlang de parámetros k y µ y por tanto el
tiempo medio de servicio es 1/µ y su
varianza es 1/kµ2, la fórmula de PollaczekKhintchine determina la expresión de la
longitud media de la cola como:
Modelo M/Ek/1
 (k  1)
Lq 
2k (1   )
2
Ls  Ws
Ws  Wq 
1

 1
Wq 
Lq

Usando Tablas de Erlang
Modelo M/Ek/1 ejemplo
Un carwash puede atender un auto
cada 5 min.
 La tasa media de llegadas es de 9
autos/hora. Suponga  = 3.5 min
(aprox.)
 Obtenga las medidas de desempeño
de acuerdo con el modelo M/Ek/1

Modelo M/Ek/1 ejemplo
Ls  Ws  2.437clientes
 (k  1)
Lq 
 1.6875clientes
2k (1   )
1
Ws  Wq   0.2708hrs  16.25 min

Lq
Wq 
 0.1875hrs  11.25 min

2
EJEMPLO

Las llamadas llegan al conmutador de una
oficina a una tasa de dos por minuto, el
tiempo promedio para manejar cada una de
estas es de 20 segundos. Actualmente solo
hay un operador del conmutador. Las
distribuciones de Poisson y exponencial
parecen ser relevantes en esta situación.
Datos



λ = 2 llamadas/minutos
µ = (1 / 20 seg)(60 seg)
µ = 3 llamadas/minuto
RESOLUCIÓN

La probabilidad de que el operador este
ocupado se definirá:

El tiempo promedio que debe de esperar una
llamada antes de ser tomada por él operador