Transcript say_hab07_02

TEMEL HABERLEŞME
MATEMATİĞİ
Periyodik İşaretler
s(t )  s(t  T0 )
(t )
Zaman Ortalaması
1
s(t )  lim
T  T
T /2
 s(t )dt
T / 2
Zaman-sınırlı
işaretler:
1
s (t ) 
t 2  t1
S RMS 
s 2 (t )
t2
 s(t )dt
t1
Normalize Edilmiş Güç
P
v 2 (t )
R
T /2
 i 2 (t ) R
1
2
P  s (t )  lim
s
(t )dt
T  T 
T / 2
2
Normalize Edilmiş Enerji
T /2
E  lim
T 

s 2 (t )dt
P  E /T
T / 2
•Fiziksel olarak gerçeklenebilir tüm işaretler enerji işaretidir.
Desibel
 Pişaret
SNRdB  10log 
P
 gürültü



•Örneğin işaret gücü gürültü gücünden 10 kat büyük ise 10 dB,
100 kat büyük ise 20 dB,
1000 kat büyük ise 30 dB işaret gürültü oranı elde edilmektedir.
BER
Sistem 2
Sistem 1
10-3
SNR1
SNR2
SNR
Fourier Dönüşümü ve Frekans Uzayı
S ( f )  F  s(t ) 

 s(t )e
 j 2 ft
dt

veya

S ( ) 
 s(t )e
 jt
dt

1, t0
Birim basamak fonksiyonu u (t )  
olarak tanımlandığına göre, herhangi bir
 0 , t <0
a >0 sabit değeri için sürekli-zaman Fourier dönüşümünün tanımını kullanarak
s(t )  e at u (t ) işaretinin Fourier dönüşümünü bulunuz.

Sürekli-zaman
Fourier
dönüşümü
tanımından
S( f ) 
e
 at
u (t )e  j 2 ft dt
elde

edilmektedir. Birim basamak fonksiyonunun tanımı kullanılarak integral sınırları

değiştirildiğinde
S ( f )   e ( a  j 2 f ) t dt bulunmaktadır. Üstel fonksiyonunun integral
0
1
özelliği kullanılarak S ( f ) 
e  ( a  j 2 f ) t
a  j 2 f
a >0 olduğundan t   durumunda e
1
elde edilmektedir.
S( f ) 
a  j 2 f
 ( a  j 2 f ) t

elde edilmektedir. e  j 2 ft  1 ve
0
 e  at e 2 ft  0 olmaktadır. Bu nedenle
Ters Fourier Dönüşümü

s(t ) 
 S ( f )e
j 2 ft
df

veya
1
s(t ) 
2
KUTUPSAL GÖSTERİM:
1
S( f ) 
a  j 2 f
S ( ) 
1
a 
2
2

 S ()e
jt
d

S ( f )  S ( f ) e jS ( f )
 
 j tan 1  
1
1
a
S ( ) 

e
a  j
a2   2
 
S ( )   tan 1  
a
Parseval’in Teoremi





s
(
t
)
s
(t )dt 
1
2


E



S
(
f
)
S
( f )df
1
2


2
s(t ) dt 


2
S ( f ) df
Konvolüsyon
x(t )
y (t )
h(t )
Doğrusal, zaman-değişmez
sistem

y(t )  x(t )  h(t ) 
 x()h(t  )d

Y ( f )  X ( f )H ( f )
Güç Spektral Yoğunluğu (PSD)
T
T

 s (t ) ,   t 
sT (t )  
2
2
 0
, aksi taktirde
t
sT (t )  s (t )   
T 
T /2

1
1
2
2
P  s (t )  lim
s
(
t
)
dt

lim
s
(t )dt
T
T  T 
T  T 
T / 2

2
2

 
ST ( f ) 
1
2
P  lim  ST ( f ) df    lim
 df
T  T
T 


T

 


P  s (t ) 
2
Güç spektral yoğunluğu: P ( f )  lim ST ( f )
w
T 
T
2
 P ( f )df
S

Özilinti (Otokorelasyon)
• Özilinti bir işaretin farklı zaman gecikmeleri altında kendine
ne kadar benzediğinin bir ölçütüdür.
T /2
1
RS ( )  s(t )s(t   )  lim
s(t )s(t   )dt
T  T 
T / 2
Tamamen rasgele bir işaretin özilinti fonksiyonu:
Güç Spektral Yoğunluğu ile Özilinti
fonksiyonu arasındaki ilişki
F
RS ( )  PS ( f )
Beyaz Gürültü
N0
Pn ( f ) 
watt/hertz
2
Rn ( ) 
N0
 ( )
2
Dikgen fonksiyonlar
İki  n (t ) ve  m (t ) fonksiyonu birbirlerine a  t  b aralığında dik ise
b


(
t
)

(t )dt  0
n
m

nm
a
Bir fonksiyon seti 1 (t ),  2 (t ),  3 (t ),  ,  n (t ),  ele alındığında, tüm
fonksiyonlar birbirlerine a  t  b aralığında dik ise
b
  n (t )
a

m (t ) dt
0 , n  m

 K n  nm
K
,
n

m
 n
Karmaşık Üstel İşaretler
e jn0t (n  0, 1, 2, ) üstel işaretlerinin herhangi bir T0  2 / 0 aralığında dikgen
olduğunu gösteriniz.
Dikgenlik özelliğinin incelenmesi için, gerekli integral
b
  (t )
n

m
(t )dt   e jn0t (e jm0t )* dt   e jn0t e jm0t dt   e j ( n  m )0t dt
a
T0
T0
(2.1)
T0
şeklinde oluşturulabilmektedir. Bu integral, n  m durumunda
b
  (t )
n

n
(t )dt   e j ( n  n )0t dt   dt  T0
a
T0
(2.2)
T0
değerini almakta, n  m durumunda ise
b
  (t )
n

m
(t )dt   e
a
T0
j ( n  m ) 0 t
1
dt 
e j ( n  m )0t
j (n  m)0
t1  T0
(2.3)
t1
elde edilmekte ve e j ( n  m )0T0  e j 2 ( n  m )  1 olduğundan
b
  (t )
n

m
a
(t )dt 
1
e j ( n  m )0t1 e j ( n  m )0T0  1  0
j (n  m)0
(2.4)
olarak bulunmaktadır. Dolayısıyla, verilen üstel işaretler
b
  (t )
n
a

m
0 , m n
(t )dt   e jn0t (e jm0t )* dt  
T0 , m  n
T0
şeklinde gerekli özelliği sağladıklarından dikgen fonksiyonlardır.
(2.5)
Fourier Serileri
 n (t )  e jn0t
Herhangi bir işaretin, sınırlı t1  t  t1  T0 aralığındaki karmaşık Fourier serisi açılımı
s (t ) 

ce
n 
jn0 t
(2.1)
n
şeklinde gösterilebilmektedir (  0  2 / T0 ).
Karmaşık Fourier katsayıları:
1
cn 
T0
a T0
 jn0t
w
(
t
)
e
dt

a
Periyodik işaretlerin spektrumu
T0 periyodu ile periyodik s (t ) işaretinin frekans spektrumu
S( f ) 

 c  ( f  nf
n 
n
0
)
(2.1)
şeklinde f 0  1 / T0 frekansının tamsayı katlarında gözüken dürtü işaretleri şeklinde
oluşmaktadır. Frekans spektrumunda oluşan bir dürtü bileşeninin genliği Fourier serisi
katsayı hesabından elde edilebilmektedir.
Bozunumsuz İletim
y(t )  Ax(t  Tg )
Y ( f )  AX ( f )e
 j 2fTg
Dolayısıyla bozunumsuz bir kanalın frekans yanıtı
H( f ) 
Y( f )
 j 2fTg
 Ae
X( f )
Bant-sınırlı İşaretler
S( f )  0 ,
f B
Darbe
Özilinti:
PSD:
Ps ( f )  Tsinc2 (Tf )
Bant Genişliği Kavramları
(a) Yarı-güç veya 3dB bant genişliği: Güç spektral yoğunluğu Ps ( f ) ’in yarı güce
(tepe değerinin 3dB altına) düştüğü frekans değerleri arasında kalan bant
genişliğidir.
(b) Gürültü eşdeğer veya eşdeğer dikdörtgensel bant genişliği: Toplam işaret gücü,
güç spektral yoğunluğunun tepe değerine eşit genliğe sahip bir dikdörtgen
içerisinde kabul edildiğinde oluşan dikdörtgenin bant genişliğidir.
(c) Sıfırdan-sıfıra bant genişliği: Sayısal haberleşme sistemlerinde en yaygın
kullanılan bant genişliği kriteri, işaret spektrumunun merkez göbeğinin bant
genişliğidir.
(d) %99 güç bant genişliği: İşaret gücünün %99’unu barındıran bant genişliğidir. %99
güç bant genişliği, bant-geçiren işaretlerde işaret gücünün %0.5’i işaret bandının
üst tarafındaki frekanslarda ve %0.5’i işaret bandının alt tarafındaki frekanslarda
kalacak şekilde belirlenmektedir.
(e) Sınırlı güç spektral yoğunluğu bant genişliği: İşaret bandının dışında kalan güç
spektral yoğunluğunun belirli bir seviyenin altında bulunma şartı ile belirlenen
bant genişliğidir. Genelde güç spektral yoğunluğunda 35dB veya 50dB azalma
seviyeleri kullanılmaktadır.
(f) Mutlak bant genişliği: İşaretin, işaret bandı dışındaki frekanslarda frekans
bileşenlerinin bulunmaması şartı ile belirlenen bant genişliğidir. Fiziksel olarak
gerçekleştirilebilen tüm işaretler zaman uzayında sınırlı olduğundan mutlak bant
genişlikleri sonsuz olmaktadır.