Transcript zbiór w sensie dystrybutywnym

ZBIORY
PODSTAWY
Ogólne definicje zbiorów
• zbiór jest to zespół (całość) składająca się z elementów (mniejszych
części)
• 2 podstawowe rodzaje zbiorów to zbiór w sensie kolektywnym (agregat)
i zbiór w sensie dystrybutywnym (zbiór w sensie logicznym).
• zbiór w sensie kolektywnym to całość składająca się z jakiś części
będących jej elementami. Np. zbiór „Himalaje” składa się ze wszystkich
gór wchodzących w skład łańcucha górskiego Himalajów
• zbiór w sensie dystrybutywnym to zespół elementów posiadających
tę samą cechę (można również powiedzieć: opisanych za pomocą tego
samego predykatu jednoargumentowego). Np. zbiór „Himalaje” składa
się tylko z jednego elementu: górskiego łańcucha Himalajów
• logika zajmuje się tylko zbiorami w sensie dystrybutywnym i dalej
będzie mowa tylko o takich zbiorach. Dział logiki zajmujący się zbiorami
nazywa się teorią mnogości (mnogość w staropolskim to zbiór)
Symbole
• zbiory oznacza się najczęściej za pomocą dużych liter X, Y, Z (czasami
również A, B, C), jeśli zabraknie nam liter alfabetu, możemy zastosować
dodatkowe oznaczenia, np. Z1, Z2, Z3, X1, X2, Z’ itd.
• zbiory dzieli się na: zbiór pusty oznaczany symbolem , uniwersum
oznaczane symbolem U, zbiory jednoelementowe, zbiory
dwuelementowe, zbiory wieloelementowe
• uniwersum oznaczane symbolem U to zbiór wszystkich zbiorów
(wszystkich istniejących obiektów), uniwersum jest dopełnieniem zbioru
pustego (i na odwrót)
• zbiory jedno lub więcej elementowe można zapisać w postaci nawiasu
okrągłego w którym wyliczone są jego elementy, np. (a), (a,b), (a,b,c) itd.
(zapis taki stosujemy, jeśli te elementy są określone; jeśli elementy są
nieokreślone, wówczas stosuje się zapis za pomocą liter x, y, z)
• w zapisach formalnych teorii zbiorów pojawiają się często symbole „” i
„”, np. „a  Z”. Są to predykaty dwuargumentowe „należy do” oraz „nie
należy do” (w tym ostatnim przypadku jest to predykat dwuargumentowy
połączony z negacją)
Relacje (stosunki) pomiędzy zbiorami
• identyczność: zbiory są identyczne ze sobą, jeśli wszystkie
elementy mają te same
• element x należy do zbioru Z, wtedy i tylko wtedy, gdy element x
należy również do zbioru Y;
• jeśli element x należy do zbioru Z, to element x należy do zbioru Y, i
jeśli element x należy do zbioru Y, to element x należy do zbioru Z.
• Z = Y ≡ /\x(x  Z ≡ x  Y)
• Z = Y ≡ /\x[(x  Z → x  Y)  (x  Y → x  Z)]
• Np. zbiór studentów (x jest studentem) identyczny jest ze zbiorem
uczniów szkół wyższych (x jest uczniem szkoły wyższej)
Relacje (stosunki) pomiędzy zbiorami
• podrzędność: zbiór Z jest podrzędny do (zawiera się w) zbioru Y,
wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru Z należą do
zbioru Y, ale nie wszystkie elementy zbioru Y należą do Z
• Z  Y ≡ /\x(x  Z → x  Y)  \/x(x  Z  x  Y)
• Uwaga: dla tego typu relacji stosuje się również zapis w postaci
symbolu  (tzw. inkluzji właściwej), gdyż zawierają się w sobie
również zbiory ze sobą identyczne)
• Np. zbiór studentów (x jest studentem) jest podrzędny do zbioru
uczniów (x jest uczniem)
Relacje (stosunki) pomiędzy zbiorami
•
•
•
•
nadrzędność: zbiór Y jest nadrzędny do zbioru Z, wtedy i tylko wtedy gdy
wszystkie elementy zbioru Z należą do zbioru Y, ale nie wszystkie elementy
zbioru Y należą do Z
Y  Z ≡ /\x(x  Z → x  Y)  \/x(x  Z  x  Y)
Uwaga: dla tego typu relacji stosuje się również zapis w postaci symbolu ,
gdyż nadrzędne do siebie są również zbiory ze sobą identyczne)
Np. zbiór uczniów (x jest uczniem) jest nadrzędny do zbioru studentów (x
jest studentem)
Relacje (stosunki) pomiędzy zbiorami
• krzyżowanie się: zbiór Z krzyżuje się ze zbiorem Y, wtedy i tylko
wtedy gdy istnieją elementy które należą do Z i do Y, istnieją
elementy które należą do Z ale nie należą do Y, i istnieją elementy
które należą do Y ale nie należą do Z
• Z krzyżuje się z Y ≡ [\/x(x  Z  x  Y)  \/x(x  Z  x  Y)  \/x(x 
Z  x  Y)]
• Np. zbiór studentów (x jest studentem) krzyżuje się ze zbiorem
mieszkańców Głogowa (x jest mieszkańcem Głogowa)
Relacje (stosunki) pomiędzy zbiorami
•
•
•
•
•
wykluczanie się: zbiór Z wyklucza się ze zbiorem Y, wtedy i tylko wtedy
gdy nie mają one żadnych elementów wspólnych
Z )( Y ≡ ~ \/x(x  Z  x  Y)
Z )( Y ≡ /\x{[x  Z → ~ (x  Y)]  [(x  Y → ~ (x  Z)]}
Z )( Y ≡ /\x[(x  Z → x  Y)  (x  Y → x  Z)]
Np. zbiór studentów (x jest studentem) wyklucza się ze zbiorem
mieszkańców Biskupina w epoce brązu (x jest mieszkańcem Biskupina w
okresie brązu)
Relacje (stosunki) pomiędzy zbiorami
ćwiczenia
• ustal zależności pomiędzy następującymi zbiorami:
• (1) Z – delfiny; Y - ssaki morskie: podrzędność, bo wszystkie delfiny są
jednocześnie ssakami morskimi ale nie wszystkie ssaki morskie są
jednocześnie delfinami, jeśli jednak weźmiemy pod uwagę, że niektóre
delfiny żyją w Amazonce, to wówczas będzie to krzyżowanie się
• (2) Karpaty - Z; Tatry - Y: wykluczanie się, bo obydwa zbiory są
jednoelementowe a jednocześnie Karpaty to nie to samo co Tatry
• (3) Polacy - Z; studenci - Y: krzyżowanie się, bo niektórzy, ale nie
wszyscy, Polacy są studentami i na odwrót
• (4) kwiaty - Z; uczniowie - Y: wykluczanie się, bo żaden kwiat nie jest
studentem i żaden student nie jest kwiatem
• (5) łysi – Z; okularnicy – Y: krzyżowanie się, bo niektórzy łysi, ale nie
wszyscy, są okularnikami, i niektórzy okularnicy, ale nie wszyscy, są
łysymi
Działania na zbiorach
• suma dwóch zbiorów: x należy do sumy zbiorów Z i Y wtedy i
tylko wtedy gdy x należy do zbioru Z lub x należy do zbioru Y
• /\x(x  Z  Y ≡ x  Z  x  Y)
• Np. do sumy zbiorów studentów (x jest studentem) i mieszkańców
Głogowa (x jest mieszkańcem Głogowa) należą wszystkie osoby
będące albo studentem, albo mieszkańcem Głogowa (albo jedno i
drugie)
Działania na zbiorach
• iloczyn dwóch zbiorów: x należy do iloczynu zbiorów Z i Y wtedy
i tylko wtedy gdy x należy do zbioru Z i x należy do zbioru Y
• /\x(x  Z  Y ≡ x  Z  x  Y)
• Np. do iloczynu zbiorów studentów (x jest studentem) i mieszkańców Głogowa (x jest mieszkańcem Głogowa) należą wszystkie
osoby będące jednocześnie studentem i mieszkańcem Głogowa
Działania na zbiorach
• różnica dwóch zbiorów: x należy do różnicy zbiorów Z i Y wtedy
i tylko wtedy gdy x należy do zbioru Z i x nie należy do zbioru Y
• /\x(x  Z - Y ≡ x  Z  x  Y)
• Np. do różnicy zbiorów studentów (x jest studentem) i mieszkańców Głogowa (x jest mieszkańcem Głogowa) należą wszystkie
osoby będące studentami i nie będące mieszkańcami Głogowa
Działania na zbiorach
• dopełnienie zbioru: x należy do dopełnienia zbioru Z wtedy i
tylko wtedy gdy x należy do uniwersum i nie należy do zbioru Z
• dopełnienie danego zbioru oznaczamy symbolem danego zbioru
plus znaczek „’ ”, np. Y’ to dopełnienie zbioru Y
• /\x(x  Z’ ≡ x  U  x  Z)
• Np. do dopełnienia zbioru studentów (x jest studentem) należą
wszystkie obiekty nie będące studentami
Działania na zbiorach - ćwiczenia
•
•
•
•
•
•
ustal sumę, iloczyn, różnicę (Z – Y) i dopełnienie sumy dla następujących zbiorów:
(1) Z – delfiny; Y - ssaki morskie: suma = wszystkie ssaki morskie (jeśli założymy, że wszystkie delfiny to również ssaki morskie, jeśli uwzględnić delfiny żyjące
w Amazonce, wówczas sumą będzie zbiór wszystkich ssaków morskich oraz
delfinów słodkowodnych); iloczyn = wszystkie delfiny żyjące w morzu; różnica =
delfiny słodkowodne; dopełnienie = wszystkie obiekty nie będące ssakami
morskimi i delfinami słodkowodnymi
(2) Karpaty - Z; Tatry - Y: suma = zbiór dwuelementowy którego elementami są
Karpaty i Tatry; iloczyn = Karpaty; różnica = zbiór pusty; dopełnienie = wszystkie
obiekty nie będące Karpatami i Tatrami
(3) Polacy - Z; studenci - Y: suma = wszyscy Polacy oraz wszyscy studenci;
iloczyn = wszyscy polscy studenci; różnica = wszyscy Polacy nie będący
studentami; dopełnienie = wszystkie obiekty nie będące Polakami i studentami
(4) kwiaty - Z; uczniowie - Y: suma = wszystkie kwiaty i wszyscy uczniowie;
iloczyn = zbiór pusty; różnica = wszystkie kwiaty; dopełnienie = wszystkie
obiekty nie będące kwiatami i uczniami
(5) łysi – Z; okularnicy – Y: suma = wszyscy łysi i okularnicy; iloczyn = wszyscy
łysi okularnicy; różnica = wszyscy łysi; dopełnienie = wszystkie obiekty nie
będące łysymi i okularnikami