Transcript Bileşik olasılık dağılım fonksiyonu

Bileşik Olasılık Dağılım Fonksiyonu
• Tanım (Bileşik Dağılım Fonksiyonu) (X,Y) iki boyutlu
(kesikli veya sürekli) bir rassal değişken olsun. (X,Y)’nin
bileşik olasılık dağılım fonksiyonu:
• F(x,y)=P(X ≤ x,Y ≤ y) eşitliği ile tanımlanır.
• Kesikli rassal değişkenler
için bileşik dağılım
fonksiyonu şöyle yazılır.
F ( x, y )  P( X  x; Y  y) 
x
y
  f (x , y )
xi  y j 
i
j
• Benzer şekilde sürekli bir bileşik dağılım fonksiyonu da
şöyle yazılır.
x
F ( x, y)  P( X  x; Y  y) 
y
  f (u, v)dvdu
u   v  
Bileşik Olasılık Dağılım Fonksiyonu
• Bileşik olasılık dağılım fonksiyonu için önemli özellikler
şöyle yazılabilir.
• 1) X ve Y rassal değişkenlerinin bileşik dağılım
fonksiyonu F(x,y) olmak üzere;
Lim F ( x, y )  0 ve
x  
y  
Lim F ( x, y )  1 olur.
x 
y 
• 2) X ve Y sürekli rassal değişkenlerin olasılık dağılım
fonksiyonu olmak üzere olasılık yoğunluk fonksiyonu
şöyle yazılır.
 2 F ( x, y)
 f ( x, y) olur.
xy
Bileşik Olasılık Dağılım Fonksiyonu
• Örnek: X,Y sürekli rassal değişkeninin olasılık yoğunluk
fonksiyonu şöyle verilmiştir.
k ( x 2  y)
f ( x, y)  
0
1 x  3 0  y 1
diger
• a) Yukarıdaki bileşik fonksiyonun oyf olabilmesi için k ne
olmalıdır?
• b) Olasılık dağılım fonksiyonunu belirleyiniz.
• Çözüm
• a) Fonksiyonun oyf olabilmesi için iki şart sağlanmalıdır.
• 1) f(x)≥0 olmalıdır. Bunun için k>0 şartı yeterlidir.
 
• 2)
  f ( x, y)dydx  1

şartının sağlanması gerekir.
Bileşik Olasılık Dağılım Fonksiyonu
•
3 1
1
2
1
3
y
1
2
1 0 k ( x  y)dydx  1  k 0 ( x y  2 ) dx  1  k 1 ( x  2 )dx  1
0
2
2
3
x
 27 3  1 1  
x
3
 23
k     1  k        1  k    1  k 
23
3
 3 2  3 2 
 3 2 1
3
• Bu durumda olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle olur.
3 2
 ( x  y)
f ( x, y)   23

0
1 x  3 0  y 1
diger
Bileşik Olasılık Dağılım Fonksiyonu
• b) Olasılık dağılım fonksiyonu
x y
x
y
2
3 2
3
v
2
F ( x, y )    (u  v)dvdu 
(u v  )

23
23 1
2
1 0
du
0
x
3
y
3  u y uy 
2

(u y  )du 




23 1
2
23  3
2 1
x
2
3
2
3  x 3 y xy 2
y y2 
3  2 x 3 y  3xy 2  3 y 2  2 y 


 (  ) 



23  3
2
3 2 
23 
6

• Şu halde odf şöyle yazılır.
0
1

F ( x, y)   (2 x 3 y  3xy 2  3 y 2  2 y)
 46

1
x 1
y0
x3
y 1
diger
Marjinal Olasılık Fonksiyonları
(Marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu)
• Örnek: Aşağıdaki bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonundan
hareketle marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarını
belirleyiniz.
3 2
 ( x  y)
f ( x, y)   23

0
1 x  3 0  y 1
diger
1
3 2
3  2
y 
3
2
f x ( x)   ( x  y )dy 
x
y


(
2
x
 1)


23
23 
2  0 46
0
• fx(x) marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu
1
3
2
 (2 x  1)
f x ( x)   46

0
2
1 x  3
diger
Marjinal Olasılık Fonksiyonları
(Marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu)
• fy(y) marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu
3

3 2
3 x
3  27
1

f y ( y )   ( x  y )dx 

xy


3
y

(

y
)


 3

23
23
3
23
3


1
1
3  27  9 y  1  3 y  1

 26  6 y 


23 
3
 23
3
1
 (26  6 y )
f y ( y )   23

0
3
0  y 1
diger
Marjinal Olasılık Fonksiyonları
(Marjinal olasılık dağılım fonksiyonu)
• Marjinal dağılım fonksiyonları bileşik bir olasılık dağılım
fonksiyonundan hareketle bir rassal değişkenin alacağı
değerlerin kümülatif olasılıklarını diğer değişkene bağlı
olmaksızın veren fonksiyondur. Marjinal dağılım
fonksiyonları şöyle tarif edilir.
Kesikli dağılımlarda
Sürekli dağılımlarda
x
N
Fx ( x)   f (u i , y j )
i 1 j 1
M
y
Fy ( y)   f ( xi , v j )
i 1 j 1
x
Fx ( x)    f (u , y )dydu
 y
y
Fy ( y ) 
  f ( x, v)dxdv
 x
Marjinal Olasılık Fonksiyonları
(Marjinal olasılık dağılım fonksiyonu)
• Örnek: Aşağıdaki bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonundan
hareketle
marjinal
olasılık
dağılım
fonksiyonlarını
belirleyiniz.
3 2
 ( x  y)
f ( x, y)   23

0
x 1
Fx ( x)   
1 0
1 x  3 0  y 1
diger
x
3 2
3
(u  y )dydu 
23
23 1
1
x
 2
y2 
3
1
2
u
y

du

(
u

)du



2 0
23 1
2

x
3 u3 u 
3  x3 x 1 1  1

(2 x 3  3x  1)
   
   (  ) 
23  3 2 1 23  3 2 3 2  46
0
1

Fx ( x)   (2 x 3  3x  1)
 46

1
x 1
x3
diger
Marjinal Olasılık Fonksiyonları
(Marjinal olasılık dağılım fonksiyonu)
• Fy(y) marjinal olasılık dağılım fonksiyonu
3

3 2
3 x
3 26
Fy ( y)    ( x  v)dxdv 
(  2v)dv
  xv dv 


23
23 0  3
23 0 3
1
0 1
y 3
y
y
3
y
3  26v
3  26y
1
2
2
2


v


y

(
26
y

3
y
)




23  3
 0 23  3
 23
0
1

Fy ( y)   (26 y  3 y 2 ) y  1
 23

1
y0
diger
Marjinal Olasılık Fonksiyonları
(Marjinal olasılık dağılım fonksiyonu)
• Marjinal olasılık dağılım fonksiyonları marjinal olasılık
yoğunluk fonksiyonlarından hareketle de bulunabilir.
Bunun için dönüşüm işlemi şöyle yapılır.
y
x
Fx ( x)   f u (u )du
Fy ( y )   f v (v)dv
1
0
x

3
3  2u
(2u 2  1)du 

u


46
46
3

1
1
1
Fx ( x) 
2 x 3  3x  1
olur.
46
y
y
1
1

Fy ( y )  
(26  6v)dv 
26v  3v 2 0
23
23
0
1

Fy ( y ) 
26 y  3 y 2 
olur.
23
x
3
Fx ( x)  


Şartlı Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
• (X,Y), f(x,y) ortak olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip
iki boyutlu sürekli rassal değişken olsun. fx(x) X’in, fy(y)
Y’nin marjinal yoğunluk fonksiyonları olmak üzere
• Y=y verildiğinde X’in şartlı olasılık yoğunluk fonksiyonu:
f ( x, y)
f ( x / y) 
f y ( y)
f y ( y)  0
• X=x verildiğinde Y’nin şartlı olasılık yoğunluk fonksiyonu:
f ( x, y )
f ( y / x) 
f x ( x)
f x ( x)  0
olur.
Şartlı Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
• Örnek: Aşağıdaki bileşik olasılık yoğunluk
fonksiyonundan hareketle soruları cevaplandırınız.
3 2
 ( x  y)
f ( x, y)   23

0
•
•
•
•
1 x  3 0  y 1
diger
a) P(X<2, Y<0.5) olasılığını,
b) P[(X+Y)<2)] olasılığını,
c) P(X>2/Y>0.5) olasılığını,
d) P(Y<0.4/X>2) olasılığını bulunuz.
Şartlı Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
• a)
• b)
Şartlı Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
• c)
• d) P(Y<0.4/X>2)
3 0.4
P( X  2, Y  0.4)
P(Y  0.4 / X  2) 

P ( X  2)
3
P(Y  0.4 / X  2) 

2
3 2
0 23 ( x  y)dydx
3
3
2
(
2
x
2 46  1)dx
3
3
y2
2
(x y  )

23 2
2
0.4
0
3
3 2x3
x
46 3
2
3
2
dx
(
0
.
4
x
 0.08)dx

23 2
0.32


 0.42
35
0.76
46
Bileşik olasılık fonksiyonu örnek
•
Örnek: Aşağıda bir bileşik fonksiyon verilmiştir.
 xy 2

f ( x, y)   12
0

0 xc
0 y2
diger
a) Yukarıdaki fonksiyonun bir olasılık yoğunluk
fonksiyonu olabilmesi için c ne olmalıdır? (cevap c=3 )
b) Bileşik olasılık dağılım fonksiyonunu belirleyiniz.
0
 2 3
x y
F ( x, y )  
 72
1
x  0, y  0
x  3, y  2
diger
Bileşik olasılık fonksiyonu örnek
•
c) Marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarını belirleyiniz.
2x
f x ( x) 
9
•
0 x3
0 y2
d) Marjinal olasılık dağılım fonksiyonlarını belirleyiniz.
2x 2
Fx ( x) 
8
•
3y 2
f y ( y) 
8
y3
Fy ( y ) 
8
e) P(X>2, Y<1) olasılığını bulunuz.
3 1
xy 2
5
P( X  2, Y  1)   
dydx 
12
72
2 0
Bileşik olasılık fonksiyonu örnek
•
f) P[(X+Y)<4] olasılığını bulunuz.
2 4 y
P( X  Y )  4  

0 0
2
xy 2
x2 y2
dxdy  
12
24
0
4 y
0
dy
2
y (4  y )
1 16 y
y 
4
dy 

2
y



24
24
3
5

0
0
17.06

 0.711
24
2

•
2
2
3
5
g) P[X>2/(Y>1)] şartlı olasılığını belirleyiniz.
3 2
P( X  2, Y  1)
PX  2 /(Y  1) 

P(Y  1)
xy 2
2 1 12 dxdy
2
2
3y
1 8 dy
3
3

1 xy3
12 2 3
2
1
dx
2
y3
8 1
1  7x2 
1 7x
35
dx



12  6  2 72 35 8
12 2 3
PX  2 /(Y  1) 


   0.55 olur.
7
7
7 72 7
8
8
8
3
İki Rassal Değişkenin Bağımsızlığı
•
Tanım: (X,Y), bir S örnek uzayında tanımlanan iki boyutlu
kesikli rassal değişken olsun. (xi,yj) i=1,2,…, M; j=1,2,…,N,
(X,Y)’ nin mümkün sonuçları ise X ve Y rasgele
değişkenlerinin bağımsız olmaları için gerek ve yeter koşul
tüm (xi,yj) çiftleri için
f ( xi y j )  f x ( xi )  f y ( y j ) yani
P( X  xi , Y  y j )  P( X  xi )  P(Y  y j )
•
Benzer şekilde X,Y Sürekli rassal değişkenlerinin bileşik
olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x,y) ve marjinal olasılık
fonksiyonları fx(x) ve fy(y) iken;
f ( x, y)  f x ( x)  f y ( y)
•
oluyorsa istatistik olarak X ve Y değişkenlerine bağımsız
rassal değişkenler denir. Bu şart sağlanmıyorsa bu
değişkenlere bağımlı rassal değişkenler denir.
Bileşik olasılık fonksiyonu örnek
•
Örnek: X, Y rassal değişkenlerinin bileşik olasılık dağılım
fonksiyonu aşağıda verilmiştir.
0

F ( x, y )  cx 2 y 3
1

x  0, y  0
x  2, y  1
diger
a) Yukarıdaki fonksiyonun olasılık dağılım fonksiyonu
olması için c ne olmalıdır?
b) Olasılık yoğunluk fonksiyonunu yazınız.
c) Marjinal yoğunluk fonksiyonlarını yazınız.
d) Marjinal dağılım fonksiyonlarını yazınız.
e) X ve Y rassal değişkenlerinin bağımsızlığını
araştırınız.
f) P(X<1/Y>0.5) şartlı olasılığını bulunuz.